物体的转动惯量也可以用下式表示，回转半径定义为（8.1.35）。 对于具有相同几何形状的均质物体，它们的回转半径相同。 由上式可知，有106个(8.1.36)。 本书附录列出了几种常见同质物体几何形状的转动惯量和回转半径，供读者参考。 半径为r，外圆上缠绕一根细绳。 绳索的一端系在重物B驱动的固定轴O上，当重物B绕固定轴O旋转时，重物B下落的加速度即为加速度。 以轮子A、绳子和重物B为研究对象。 轮子绕轴线O为固定轴转动，重物作直线运动。 设圆轮的角速度和角加速度分别为ω。 将粒子系统的动量矩定理应用到定轴上。 对上式左边gr求导后，可写为gr。 前面导出的动量矩定理要求力矩 O 的中心必须是惯性参考。 系统中点固定，给实际应用带来一定的不便。 对于任意移动点，动量矩定理具有更复杂的形式。 然而，粒子系统相对于质心的动量矩定理在形式上与粒子系统相对于固定点的动量矩定理保持相同。 以惯性参考系为固定坐标系Oxyz，建立跟随质心C平移的坐标系Cx′y′z′，称为质心平移坐标系。 如图8-5所示，固定坐标系Oxyz与移动坐标系Cx′之间的y′z′中矢量直径分别为r。 图8-5中平移坐标系相对于质心的绝对速度和运动坐标系Cx′y′z′的相对速度分别在固定坐标系Oxyz (8.1. 37) 中动量矩质心平移坐标系中粒子系统相对于质心的坐标为(8.1.38)。 固定坐标系中粒子系统相对于O点的绝对运动动量矩为(8.1.39)。 方程 (8.1.37 ) 将第一个方程代入方程 (8.1.39) 得到 (8.1.40) 然后将方程 (8.1.37) 中的第二个方程代入方程 (8.1.40) 右边第二项）得出（8.1.41）。 注 ，其中 m 为粒子系统的总质量，式（8.1.41）可写为式（8.1.38），式（8.1.42）右边最后一项最终为 L 的动量得到 (8.1.45) 该力矩等于质心矢量半径与粒子系统动量的矢量积以及粒子系统相对于质心的动量矩的矢量和相对于质心的平移坐标系。
由粒子系统的动量定理表达式(8.1.17)到不动点，代入方程(8.1.45)，得(8.1.46) 求导后，得(8.1.47)。 注意，(8.1.49) 方程(8.1.47)可以重写为(8.1.50)。 上式右边第一项是r′，它是粒子系统相对于质心平移坐标系的动量矩。 计算中必须使用粒子的相对速度。 事实上，可以用绝对速度来代替。 由式(8.1.37)和式(8.1.38)可得 (8.1.52) 由质心的定义可知，式右边第二项等于0，第一项为粒子相对于粒子系统的绝对速度。 质心动量矩的矢量和，即粒子系统相对于质心的动量矩，记为L。因此， (8.1.53) (8.1.54)方程（8.1.54）解释说，粒子系统相对于质心的动量矩为 时间的一阶导数等于外力系统相对于质心的主矩。 该定律称为粒子系统相对于质心的动量矩定理。 比较式（8.1.22）和式（8.1.54）可以发现，粒子系统相对于不动点的动量矩定理和相对于质心的动量矩定理在数学形式上是相同的。 本节质心运动定理表明，粒子系统质心的运动只与外力系统的主矢量有关，与外力系统的分布无关。 本节中粒子系统相对于质心的动量矩定理也表明，粒子系统相对于质心的动量矩的变化率取决于外力系统的主矩。 因此，通过两个力系的特征量动量矩定理表达式，外力系的主矢量和相对于质心的主力矩，与质心运动和相对于质心的运动联系起来可以分别建立粒子系统。
对于六个自变量描述的刚体运动动量矩定理表达式，由于动量定理提供了三个方程，相对于质心的动量矩定理也提供了三个方程，因此动力学方程是封闭的。 需要注意的是，对于粒子系统的动量矩定理，所取的矩中心已经从固定点扩展到了特殊的移动点，例如质心。 除质心外，一般来说，关于动点的动量矩定理还应增加与质心运动有关的附加项，而不能应用方程（8.1.54）的形式。 当然，在一定条件下，对于某些动点（如瞬时速度中心）在一定条件下，上述形式的动量矩定理仍然可以成立。 因此，应用该定理时请注意这一限制。 图8-6 刚体109的平面运动
