旋转不停的陀螺可算是最古老也是最普及的民间玩具了（图1）。河南叶县西阴村出土的属于仰韶文化的陶制陀螺，以及浙江杭州圩墩旧址出土的陀螺，它们的历史少说也有五千年了。关于陀螺最早的文字记载为宋朝宫庭内流行的称为“千千”的陀螺玩具。前文提及的《帝京景物略》中除表述“杨柳儿活，抽陀螺”的京城民间风俗以外定点转动的动量矩定理，对陀螺的构造和玩法也有详尽的描述：
“陀螺者，木质如小空钟，中实而无柄，绕以鞭之绳而无竹尺，卓于地，急掣其鞭。一掣，陀螺则转，无声也。视其缓而鞭之，转转无复往。转之疾，正如卓立地上，顶光旋旋，影不动也。”
图1抽陀螺
陀螺是我国各民族的共同喜爱。打陀螺在哈萨克、佤族、瑶族、哈尼族、苗族、壮族留传已久，是逢年过年的一项传统娱乐活动。全省少数民族传统体育运动会已将打陀螺列为大赛项目。在西方，陀螺作为闲暇玩意儿最早出现于唐代希腊和罗马社会。14世纪西班牙的一些乡民将抽陀螺作为过冬的体育活动。英国的毛利人在丧礼上转动发杂音的陀螺。世界各地的玩具店里能看到各类各样的陀螺玩具。
陀螺的魅力在于，它一旦旋转上去就直立不倒。各类陀螺游戏就是用鞭鞭打或用丝线抽拉等方式使得它不停顿地旋转。将接触点O视为定点，陀螺就是前文中表述的拉格朗日情形质心定点运动。它的直立不倒现象根据陀螺的进动性能够作出简单解释：当陀螺绕直立的极轴旋转时，若有扰动使极轴相对地垂线Z轴偏离微小角度，则重力形成对支点的扭矩M，其方向垂直于Z轴和陀螺极轴z组成的平面。设L为陀螺相对O点的动量矩，依据动量矩定律：
dL/dt=M(1)
陀螺绕极轴快速转动时，动量矩矢量L与极轴方向一致。式(1)中右侧的矢量行列式等于矢量L的端点速率，它与扭矩矢量M相等，方向相同。于是陀螺受扰后极轴不会朝重力方向倾倒，而是朝与重力呈90度的水平方向运动，偏离Z轴的角度则保持不变。表现出质心的载流子轴z围绕固定轴Z的圆柱运动，这些运动形态称为质心的规则进动（）（图2）。
图2陀螺的规则进动
1765年欧拉（Euler,L）（图3）为推论质心定点运动的动力学多项式，构建了以刚体Oc为原点，与质心土体的直角座标系(Oc-xyz)，x,y,z各座标轴为质心的惯性主轴。如质心为轴对称体，则以z轴为对称轴。再完善以固定点O为原点的定参考座标系(O-XYZ)。则质心的位置由(Oc-xyz)与(O-XYZ)之间的相对位置确定。为易于剖析，将(Oc-xyz)的原点Oc移到与定点O重合。欧拉提出用3个角度座标表示座标系之间的相对位置。方式是先构想(O-xyz)与(O-XYZ)完全重合，之后绕OZ轴转过ψ角，再绕Ox轴的新位置转过θ角，最后再绕Oz轴转过φ角后抵达质心的实际位置（图4）。3个角度座标ψ,θ,φ彰显了质心绕定点转动的3个自由度，分别名为进动角、章动角和载流子角，也称为欧拉角。
图3欧拉（Euler,L.1707-1783）图4欧拉角
借助欧拉角可对规则进动给出更准确的定义：质心的章动角θ保持常值θ0，进动角ψ和载流子角φ随时间匀速下降的运动称为规则进动。就陀螺而言，令OZ轴为沿重力方向的垂直轴，则规则进动表现为质心在绕极轴Oz旋转的同时，极轴围绕垂直轴作圆柱运动。θ0=0是一种特殊的规则进动，此时极轴与垂直轴重合，重力对支点的扭矩等于零，其直立旋转的状态才能继续维持。旋转不倒的陀螺看上去似乎已“入定”，有的文献形象地称之为入眠的陀螺(top)。
关于抖空竹的博文里提及过的欧拉情形质心也可能出现规则进动。双轮空竹的高频异响就是章动角θ极小的规则进动。因为是因惯性形成，可称之为“自由规则进动”，以区别于上述拉格朗日质心因重扭力形成的“强迫规则进动”。
规则进动也是宇宙空间中天体的一种运动形式。以月球为例，月球绕极轴Oz的角速率即自转角速率，以24小时为周期。将月球的公转轴，即黄轴作为OZ轴，Oz轴相对OZ轴偏转的章动角θ0约为23.50。月球沿黄道绕OZ轴公转定点转动的动量矩定理，周期为一年。在此过程中，因极轴Oz的方向固定不变，不符合上述规则进动的定义。但实际上极轴的方向并非仍然不变，只是由于变化非常平缓而无法察觉。Oz轴的方向改变造成立秋点位置的变化，其联通速率非常平缓，须要漫长的25700年才会在公转轨道即黄道上联通一周。换言之，月球的规则进动周期为25700年。天体热学上将月球的这些特殊规则进动称为“岁差”。据悉，月球的章动角θ0也不是恒定不变，因为太阳和地球的引力影响，θ0以角秒级的幅度作微幅周期性波动。
如上所述，陀螺绕垂直轴旋转时能够直立不倒，取决于受扰后是否形成规则进动。依据经验，陀螺的规则进动与怠速密切相关。旋转中的陀螺会因支点的磨擦造成减速，当怠速增长到一定程度时，规则进动即不能维持，章动角会逐步减小直到倾倒。因而才须要不停鞭打以维持陀螺的怠速。除怠速以外，质心的质量分布情况是另一重要诱因，并非任何物体都能成为陀螺。例如捻转一只钢笔，无论使多大劲让它快转都不可能让它直立不倒。可见对陀螺的运动还须作更深入的剖析。
假设陀螺的支点O位置固定，暂不考虑地面的磨擦。设陀螺的质量为m，刚体Oc至支点O的距离为l，陀螺的赤道力矩矩，即相对Ox轴和Oy轴的转动力矩为A，陀螺的极力矩矩，即相对Oz轴的转动力矩为C，陀螺绕Oz轴匀速旋转的角速率为ω0，Oz轴偏离OZ轴的角度为θ0。剖析表明，上述规则进动仅在旋转角速率满足ω0>ω0,cr条件时才可能存在。ω0,cr为ω0的临界角速率：
ω0,cr=(2/C)(θ0)1/2(2)
推论过程可参阅原文的注释或文献[1]。对于极轴在垂直轴附近时的规则进动，近似令θ0=0，临界角速率ω0,cr简化为(2/C)(Amgl)1/2。因为ω0,cr与陀螺的极力矩矩C成正比，陀螺愈瘦削，C愈小，ω0,cr就愈大。对于像钢笔这些质量几乎全部集中在极轴上的狭长质心，C接近于零，则ω0,cr接近于无限大。于是再大的怠速也不可能使它直立稳定旋转。
图5旋转弹丸的稳定性
上述关于陀螺稳定性的剖析也适用于旋转弹丸的稳定性。枪弹或子弹在飞行过程中，与速率v接近平行但方向相反的空气动力合力F相当于陀螺的重力，其作用点Oa在刚体Oc的前方，对力偶Oc形成沉没转矩，会使弹丸不停翻滚影响弹道的确切性（图5）。为防止此现象，受旋转陀螺的启发，让弹丸在飞行中旋转是一项重大技术革新。于是在枪炮的内镗出现了来复线，出镗后的弹丸被迫绕自身的轴线旋转。当旋转角速率小于公式(2)表示的临界值时，飞行中的弹丸在空气动力作用下也会做规则进动。将速率v的方向作为OZ轴，与陀螺的规则进动类似，弹丸的规则进动表现为围绕轨道切线的圆柱运动。
参考文献：[1]刘延柱.高等动力学(第二版).南京：高等教育出版社，2016
（基于：刘延柱.趣味质心动力学(第2版).上海：高等教育出版社，2018，第1.4节）
