绕定轴转动的质心
强基培优专题7
湖南省岳阳市第二中学
专题概述
上个专题，我们把许多（有限或无限）相互联系着的质点所组成的系统称作质点组。如果这种质点连续密集分布且质点宽度离保持不变则构成了质心。本节知识将涉及到质心动力学内容，这是2019年推行的全省高等高校实行“强基计划”以来，校考数学大纲中的增补内容。作为校考中的必考内容，主要是刚体和质点组的运动定律及其动能定律，至于质心动力学部份仅限于绕固定转轴的质心平衡、转动定律、角动量守恒等基础知识的应用。
因为质心绕定轴O转动时，质心上任一质点都在垂直于转轴平面内运动。质点的位置常用极座标（r,Ѳ）来确定，类似于质点动力学的探究方法，研究问题还是从运动的描述、力的疗效性、或从质心转动状态的变化缘由着手，皆因质心运动的空间性较强，对质心的描述较为复杂，概念较多。
一．质心转动的描述
1.角位移φ：过定轴作固定平面Ⅰ，在转动的质心上过定轴作运动平面Ⅱ，并设平面Ⅱ从平面Ⅰ开始运动，至时间t，两平面所夹的二面角叫角位移。
2.角速率ω：在⊿t时间顶角位移⊿φ与⊿t之比为质心的平均角速率。记作：ω平均=⊿φ/⊿t。当⊿t→0时，ω=lim⊿φ/⊿t。在垂直转轴，距轴r处线速与角速关系为V＝ω·r…①
3.角加速度β：与角速率定义相像，记作：β=lim⊿ω/⊿t，
在垂直转轴，距轴γ处的切向加速度与角加速度关系为
at＝lim⊿V/⊿t=β·r…②
4.各运动量关系：当β为常量时，类比匀加速直线运动，有
ω＝ω0＋βt…③
φ＝φ0＋ω0t＋βt2/2…④
ω2＝ω02＋2β(φ-φ0)…⑤
例1：有一车轮绕轮心以角速率ω匀速转动，轮上有一虫子自轮心沿一根轮组向轮边以初速为V0，加速为a作匀加速爬行，求虫子运动轨迹。
解：以轮心为原点，沿虫子爬行的轮辋初始位置方向为直径方向构建极座标，则在时间t内，车轮转过角度θ＝ωt，虫子爬过的距离：ρ＝V0t＋at2/2，消掉参数t，得ρ＝V0(Ѳ/ω)＋a(Ѳ/ω)2/2；此即虫子运动的轨迹。
例2：一飞轮作定轴转动，其转过的角度θ与时间t的关系式为：θ＝at＋bt2－ct3（SⅠ制），式中a、b、c均为恒量。试求飞轮的角加速度β的表达式及距转轴r处的切向加速度at和法向加速度an。
解：∵ω=limΔѲ/Δt＝a＋2bt－3ct2
∴β=limΔω/Δt＝2b－6ct
可得r处切向加速度at＝βr=2br-6rct
和法向加速度an=rω2=r(a＋2bt－3ct2)2
例3：分针从零点开始计时，在12小时内，长针和短针将会
（1）在什么时刻重合？
（2）在什么时刻成反向直线？
（3）在什么时刻成直角？
解（1）：长针角速ω1=2π/60rad／min
短针角速ω2=2π/60×12rad/min
Δω=ω1-ω2=11π/30×12rad／min
两针重合,必有角位移之差：
ΔѲ=Ѳ1-Ѳ2=2kπ(k=1,2,3,…)
t=ΔѲ/Δω=12×60k/11min…①
由①可知：k=0时，t0=0,即开始时刻；
k=1时，t1=720/11min，即1:5’27‘’3
k=2时，t2=1440/11min,即2:10’54‘’5
…………
k=11时，t11=720min，即12h。
可见，长短针重合共出现11次。（不含k＝0）
解（2）：两针成反向直线，角位移之差为
ΔѲ=Ѳ1-Ѳ2=(ω1-ω2)t=(2k-1)π(k=1,2,3,…)
=>t=(2k-1)π/(ω1-ω2)=360(2k-1)/11min…②
其中k＝1,2,3,……。
根据上问算法,反向直线也出现11次。
解（3）：两针成900时，角位移之差为
ΔѲ=Ѳ1-Ѳ2=(ω1-ω2)t=(2k-1)π/2(k=1,2,3,…)
=>t=(2k-1)π/2(ω1-ω2)=180(2k-1)/11min…③
根据上问算法,12小时内两针成直角出现22次。
点评：本题早已给出条件为12小时，故可以令①②③中t=60×12min,分别得到相应的最大正整数K,即为所求的出现次数。
二．质心转动的本质
1..力矩（动量矩）：质心的转动惯性大小由质心中每质点与该质点到转轴的距离的平方之积所决定，数学上定义它为力矩。对质心可以记作：I=∑Δmiri2…①是描述物体转动惯性的数学量。与“质量是平动惯性的量度”相当。单位是千克米2。式中Δmi为质心上任一质量元，ri为该质量元到转轴的距离。
2.扭力：τ=M=rxF=rFsinѲ,矢量、方向用左手螺旋法判定。大小除了与F的大小方向有关，并且与力的作用点（位矢r）有关。是改变质心绕轴转动角速率的诱因。单位是千克米2/秒2。注意：这一概念可以推广到某一质点相对参考点O的扭矩,即τ=r×F=rFsinѲ；也可以推广到某一质点系相对参考点O的扭矩,即τ=∑τ外=∑ri×Fi,（注意质点系中∑τ内=0与内力的冲量相像，而且内力的功不为零）；
3.质心转动定理：M=Iβ（或τ=Iβ）定点角动量守恒，其中β=Δω/Δt,称之角加速度，它与质点的平动加速度相对应。其实，从因果角度看：扭力是形成质心角加速度的缘由，故质心转动定理与质点动力学中牛二律对应。假如合扭力M=0，则β=0。此时质心静止或匀角速转动，称之为转动平衡；因而M=0与共点力平衡条件F=0(矢量式)一起构成通常物体的平衡条件。
例4：按照力矩定义求:（1）对均质的长为L的细棒，其对过中心转轴和过端点转轴的力矩：（2）均质圆盘，直径为R，对过圆心的与面垂直的转轴和与面平行的转轴的铁损。
解：（1）设杆密度ρ=M/L,对过中心的轴：
I＝2·∑Δmiri2
＝2∑Δmiri2＝2ρ∑ri2Δr
＝2ρ[(L/2)3/3-0]＝ML2/12.
对过端点的轴：I＝∑Δmiri2＝ρ·
＝ρ[L3/3-0]＝ML2/3
解：（2）设圆盘密度ρ=M/πR2,对过圆心与面垂直的转轴：
I＝∑Δmiri2＝ρ2π∑ri3Δr
＝ρ·2π[R4/4-0]＝MR2/2.
按照垂直轴定律得对过圆心平行于大盘的转轴：
Ix=Iy=Iz/2=MR2/4.
记住几种常见质心的力矩：
(1)圆环对过中心且与环面垂直的轴：I＝MR2
（2）圆环对过中心的半径轴：I＝MR2/2
(3)圆球对沿半径的轴：I＝2MR2/5;
（4）球壳对沿半径的轴：I＝2MR2/5
例5.如右图所示，长为L的均质杆，A端为球铰，B端与铅垂墙壁的磨擦质数为u=√3/3,已知L=√2OA。试求均质杆平衡时，图示夹角a的最大值。
解析：对AB进行受力剖析（A点除外），如图2所示．其中N的方向垂直于面xOz，磨擦力f的方向为垂直于OB且在x0z平面内（由于B点的运动轨迹为以O为圆心,0B为直径的圆）重力、弹力、摩擦力三力不在一平面内，属于空间力系．
当α角取最大时，平面x0z平面对B的磨擦力正好达到最大静擦力，即f=µN.AB仍处于平衡状态，三力关于A点的合扭力为零．因为三个力为空间力，直接求合扭力较困难，一般求解绕某定轴的合扭力．现选择过A点平行于Oz的轴为固定轴，则重扭力为零，磨擦扭力为fcosa·OA，弹力N的转矩为N·，由合转矩M=0，得
fcosa·OA=N·OBsina…①
又由几何关系得OB2=L2-OA2…②
其中f=µN…③
三式联立解得a=(µOA/OB)=√3/3=300。
点评：本题可以选择不同的转动轴求解．有兴趣的朋友比较一下，哪一转轴较为简便。
例6.V形槽中放置一直径为R，的匀质圆锥，槽边与水平倾角为α，如右图1所示，接触处的磨擦质数µ=tanφm，圆锥里G,设转动圆锥所需的最小质心矩为Lm，则当φmtana时，物体静止；若µω=r02ω0/r2…①
又由题意知r=r0-vt…②
联立①、②解出ω(t)=r02ω0/(r0-vt)2…③
解⑵据牛二律F(t)=mrω2=m(r0-vt)ω2(t)…④
联立③、④解出F(t)=mr04ω02/(r0-vt)3。
例12.用角动量守恒定理来解释宇宙中的星系都具有盘状结构？即为何都呈现扁平状？
鲜：若把某个层次的天体系统看作是不受外力的孤立系统，在产生盘状结构之初,原始气云弥漫在很大的空间范围，绕着系统刚体旋转具有初始角动量，因为万有引力的作用原始气云开始收缩。从原始气云直至产生盘状结构，因为系统角动量始终是守恒的，在垂直于角动量的大盘中，随着系统收缩，盘内旋转速率减小，当离心力与引力平衡时，不再收缩。而在垂直大盘方问将不遭到此很制，将在引力作用下继续收缩，因而渐渐产生盘状结构。
四.专题小结
1.转动力矩：I=∑Δmiri2，转动物体的属性，是转动物体惯性的量度。但跟质量略有区别，力矩跟距离转轴的远近r有关定点角动量守恒，对连续均匀分布的质点系（质心）I=J=∫r2dm.（有些教材用J表示铁损）。
2.扭力：M=r×F=rFsinѲ,是形成角加速度的缘由，或则说是改变物体（质点、质点系、刚体）转动状态的内因。扭矩的疗效不仅仅跟力的大小、方向有关，还跟力的作用点距离转动参考点（转轴）的远近有关。
3.质心转动定律：M=Iβ，是指质心所受的对于某定轴的合外扭矩等于质心对此定轴的转动力矩与质心在此合外扭矩作用下所获得的角加速度的乘积。即合转矩是形成质心角加速度的诱因。
4.质心角动量及其守恒：角动量L=r×P=rpsinѲ=Iω（Ѳ为r与p的倾角），方向垂直于位矢r和动量p所组成的平面，指向是由r经大于180度的角转入p的手指螺旋前进的方向。引入角动量的意义:一是为了更好的描述转动物体的运动状态，二是改写转动定律M=Iβ=IΔω/Δt=ΔL/Δt后，发觉M=0时，有ΔL=MΔt=0;即外力对定点的扭力之和为零时，质点系(包括转动的质点、刚体)的角动量保持不变。这是一条能跟质量守恒、能量守恒等定理等价的宇宙基本法则。
5.质心是一种特殊的质点组，它的特征在于：质心的大小与形状仍然不变，也即是质心内任意两质点之间的距离保持不变。通常地说，一个自由的质点有三个自由度，N个质点所组成的质点组，假如没有哪些约束，即便有3N个自由度。而质心因为内部任意两质点间的距离保持不变，却只有六个自由度。实际中质心还常遭到一些约束条件的限制，比如转动轴是固定不变的等等，它的自由度将会多于六个。这也是我们为何还能从质心定轴转动的描述、刚体定轴转动的本质-----转动定理、刚体定轴转动的角动量三个方面来讨论质心运动的理由。
2023.1.16.
