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[!--downpath--]注意数学定理、公式的适用条件和应用范围
数学定理和公式通常都是在一定的理想化模型下构建或推论下来的，都只在一定条件下和一定范围内才适用，因而应用数学定理和公式来剖析、解决实际问题时，必须注意其适用条件和应用范围。但是，这点却常常被中学生所忽略，她们在各类练习中往往不加剖析地从题给数据出发，乱套乱用数学公式来求答案，有的还对数学定理和公式盲目地作不合理的外推，得出错误的推论。为了克服中学生乱套乱用数学公式的毛病，使她们能正确、灵活运用数学定理、公式来剖析、解决实际问题，我们在数学教学中注意了如下几个方面。
一、阐明数学公式的类型、适用条件和应用范围
高中数学中常见的数学公式有如下三种类型，它们各有其适用条件和应用范围。
（一）实验公式。数学学是一门以实验为基础的学科，对一些实验得到的规律性推论常用公式的方式抒发下来，这类数学公式称作实验公式。诸如，玻意耳一马略特定理、查理定理、盖.吕萨克定理和库仑定理，应当强调实验是通过实验和剖析总结下来的。班主任在进行教学时要捉住这一特性，突出公式的适用条件。诸如，讲解玻意耳一马略特定理时，在演示实验的过程中，就要突出实验装置本身和实验过程所反映的这一定理的适用条件，把数学定理和它的适用条件融合为有机的整体，进而使中学生弄清这一定理必须是一定质量的二氧化碳（理想二氧化碳）在等温条件下的变化才适用，即实验公式只适用于得到推论的范围。
一些通过实验总结下来的数学定理，其适用范围绝不能盲目外推到极端。比如真空中库仑定理的公式等，只适用于真空中两个相对静止的点电荷，但这种中学生常常从“纯物理化”观念来看待数学公式，对点电荷的数学含义缺少正确的理解，进而得出当时，的谬论。之所以形成这些谬论。1．因为把r不合理地外推到趋近于零；2。没有真正理解点电荷的含意。由于当时，两电荷Q1和Q2早已足够大，不能再把它们看成点电荷了，而应看成是带电体。这时Q1、Q2的互相作用很复杂，库仑定理描述不了它们之间的互相作用，因此库仑定理就不适用了。又如，对查理定理和盖·吕萨克定律有些中学生也因为不合理外推到体温达到绝对零度，得出二氧化碳的浮力与容积都等于零的谬论。形成错误的缘由，在于没有真正理解二氧化碳的气温根本不可能达到绝对零度。根据分子运动论，二氧化碳分子无规则的热运动永远不会停止。这么二氧化碳分子对器壁总有碰撞，因此总有浮力；另外，二氧化碳分子有一定容积，无论二氧化碳被冷却到哪些程度，二氧化碳分子本身的容积也不可能等于零。为此，在教学中应当使中学生弄清二氧化碳三定理和理想二氧化碳的状态多项式，是对一定质量的理想二氧化碳在常温常压或低温低压下而言的，不要盲目外推到高温或高压因而形成差错。
（二）定义公式。
引用新数学量自然要给它下定义，由此把该化学量所反映的客观事物的本质属性或物质的运动规律阐明下来。定义一个数学量要符合下列两个要求：1．定义的结果能从量的方面反映出事物的化学性质或特点，即定义的结果应当跟引用该量的目的一致上去；2．定义本身符合事物的客观实际，即定义所得到的量值受客观事物的本质属性或物质的运动规律所阻碍。在大多数情况下，数学量的定义还用物理方式抒发下来，这就是数学量的定义公式。诸如电场硬度是描述电场的力的性质的数学量；电势是表征电场的能的性质的数学量。用物理工具对这种概念进行确切地描述，于是得到、这些公式都是定义公式，也是量度公式。通常情况下定义公式的适用范围就是在研究物质的本质属性或物质的运动规律时所设的条件范围，但绝大多数定义公式都是普遍适用的。
（三）诱导公式。有的数学公式是由一些已知的数学公式经过一定方式的物理变换或推论而得到的，这类公式称作诱导公式或导入公式。诸如，点电荷的电场硬度的公式：应当强调：诱导公式的适用范围，通常受拿来推论的各化学公式的适用范围的共同限制。上述推论过程中使用了电场强度的定义公式和库仑定理，因为库仑定理只能拿来估算相对静止的点电荷。间的互相斥力，因而诱导公式也只适用于估算真空中静止的点电荷的电场硬度。又如，匀强电场中的电场硬度的公式：按照上述同样的道理，这一诱导公式“只适用于估算匀强电场中的电场硬度，但是d必须是A、B两点沿电力线方向的距离。
综上所述、、，这三个公式的适用范围分别是，1．是定义公式，它对任何静电场都是普遍适用的；2．能拿来估算真空中点电荷的电场硬度；3．只能拿来估算匀强电场中的电场硬度。这儿要指出条件是数学公式创立的重要根据，脱离数学公式存在的条件，去讨论公式中的各量之间的关系，那是没有意义的。
应当强调，上述三类公式的分辨并不是绝对的。有些定理表面看来可以由其他定理推论下来，但实际上也是实验定理。诸如，动量守恒定理在热学中似乎可以由牛顿第二、第三定理推论下来；并且可以依据牛顿第二定理和动量守恒定理推导入牛顿第三定理。但事实上，动量守恒定理跟牛顿运动定理一样也是以实验为基础，通过对实验的剖析、归纳推理而总结下来的。也就是说，牛顿运动定理和动量守恒定理都是实验定理，它们是相互独立的数学定理，但是动量守恒定理的适用范围远远超出了牛顿热学的适用范围。牛顿运动定理只适用于精典热学的范围，对微观粒子的运动和高速运动的物体不适用。而动量守恒定理仍可应用。因而在教学中既要把握数学规律的通常性，也要注意它们的特殊性。
二、用发展的观点阐述数学定理和公式的适用范围
客观世界是绝对真理，而人类的认识只能是相对真理。为此，教学中必须注意以发展的观点来阐述数学定理和公式，引导中学生在知识的不断推进过程中，更好地理解数学定理和公式的适用范围。诸如，教学质量守恒定理时，必须分辨低速下还是高速下的质量守恒。1．在低速下焦耳定律定义及公式，是静止质量守恒，不考虑质能关系。即在低速下，两样东西并在一起，合成的质量就等于原先质量之和，不管发生哪些变化，最后的质量也是不变的。2．在高速下，则要依据相对论考虑动质量以及质能关系。像在高能核反应中，将发生质量巨亏，这时，就必须依据爱因斯坦的质能等式，由去查证质量守恒，结果质量依然遵照守恒定理。又如，教学能的转化和守恒定理时，我们结合教学内容，让中学生认识到能量是物体（或物体系）运动状态的量度，物质运动的方式是多种多样的，因而能量的方式也是多种多样的。每种方式的能都是跟物质的某种方式的运动相对应的，能量既不会凭空形成，也不会陡然消失，它只能从一种方式转化为另一种方式，或则从一个物体转移到别的物体，在转化或转移过程中总能量保持不变。能的转化和守恒定理反映了物质的运动不断地由一种方式转化为其他方式这一客观规律。从这个意义上说，能的转化和守恒定理是绝对真理。但是在认识发展的长河中，它也是相对真理。因为物质的无限多样性，物质层次的无限可分性，物质运动方式的无限多样性，因而，与之相对应的各类能量的方式及其转化还有待于被发觉。从能量守恒定理发觉至今，早已又发觉了许多当时所不晓得的物质存在方式和能量方式，大大丰富和发展了能的转化和守恒定理的内容，今后还必定发觉新的物质方式和对应的新的能量方式。从这个意义上说，能的转化和守恒定理是还有待于进一步充实和建立的相对真理。
三、灵活运用数学定理和公式的适用条件
指出数学定理、公式的适用条件的同时，要引导中学生不要孤立地、片面地看问题，而应当与“科学具象”的思维方式联系上去，或则采用“转化”的方式，捉住事物的相互联系来灵活地剖析、解决有关的问题。
（一）对适用条件隐蔽的数学定理和公式，要阐述其来龙去脉，并设计有针对性的课堂练习，引导中学生真正领会其适用条件，并据以剖析、解决有关的问题。
比如，对阿基米德定理，要使中学生从理论上懂得物体在液体中遭到的压强是如何形成的—一物体在液体中遭到的向下的压力比向上的压力大，而这个压力的差就是液体对物体的压强，这样她们能够真正领会这个定理的适用条件，进而防止不考虑压强形成的杀件而盲目地套用公式；诸如下边这道课堂练习题：“河旁有一木桩，漏出地向的容积为。当退潮时，湖水把木桩全都吞没，求此时水对木桩的压强是多人？因为在题给的情况下，木桩并没有遭到水对它向下的压力，所以水对木桩的压强为零。这时这个公式就不能应用。
（二）个别数学公式，尽管适用条件彼此不同，但在一定条件下可以统一上去，化繁为简。诸如焦耳定理在纯内阻电路中，、、三个关系可以通用而且在通常情况下这三个关系式是不能通用的。由于公式是电路中所消耗的总电能，其中有一部份转变为内能，也可能有一部份转变为其他方式的能（如电路中有直流电动机、电解槽、变压器，则部份电能就转变为机械能、化学能、磁场能），为此，要估算电压通过电路时有多少电能转变为热时，就必须用Q＝UIt这一公式估算。它对一切电路部是适用的.。
（三）运用“转化”的方式，捉住事物的相互联系；灵活运用数学定理的适用条件。诸如讲解运动的合成和分解的适用场合时，为了克服中学生解题时不认真剖析“适用条件”和孤立、片面地对待“适用条件”的毛病，应当通过课堂练习，让中学生弄清运动的合成和分解跟相对运动是密切不可分的。有些运动的合成和分解的问题。实际上就是所选定参照物不同的问题。因而。研究运动的合成和分解的问题时，必须正确选定参照物，离开参照物的选取去讨论合运动和分运动是没有意义的。所以处理问题的关键在“抓参照物的正确选定，把研究相对运动跟研究运动的合成和分解结合上去，使中学生并明白。在选取参照物后，只有同一物体同时参与两种或的种以上运动时，就能求其合运动（这也称作合成、分解问题的同体性）；不同物体的两个运动其实是同时进行的，也是不能合成的。但应当注意，有的问题表面看来是两个物体的同时运动，却可转化为同一物体同时参与两种运动，这样就符合了运动的合成的适用场合，就可以求其合成运动。诸如，“船在静水中的速率V船是2米／砂，水流速率V水是1米／秒；问河堤上静上的人看船顺水时的速率是多大？即求船岸边的速率是多少？这个问题其实表面看来，船进V船和水速V水是不同物体的两个运动，却可转化为同一物体（船）同时参与两种运动──以河堤为参照物，船在流水中同时参与两种运动：1．船速即船的航行速率，也就是船在静水中的速率V船＝2米／秒。2．因为水流前进时，船亦急剧前进、因此船随水流前进的速率（对河堤而言），它的量值和方向都跟水流速率相同，即2米／秒；所以可求其合速率V船岸＝2米／秒十1米／秒二3米／秒；。这样既引导中学生养成剖析问题的习惯，又对“运动的合成和分解的适用场合获得了透彻的理解。
（四）运用等效方式确立“研究对象”，或则将个别数学公式经过物理演化后得出新的数学公式，使所研究的问题符合个别数学定理的适用条件，因而灵活地运用这种定理来解答问题。诸如理想二氧化碳的状态等式只适用于一定质量的理想二氧化碳的情况，即只有在状态变化过程中二氧化碳质量保持不变的情况下，这个公式才适用。若两个状态二氧化碳的质量不同，就不能简单地套用这个公式，必须把“研究对象”转化为一定质量二氧化碳后再用这个公式去解。一般是把“变质量”的气态问题转化为“定质量变容积”的气态问题，或选择相关连的局部的二氧化碳作为“研究对象”来处理。应当强调：气态的实际问题有好多属于发霉量问题，如排气、漏气、抽气、进气、打气等等。关于排（漏）气问题，可以构想把排（漏）出的二氧化碳仍包含在内的全部二氧化碳作为“研究对象”焦耳定律定义及公式，即“研究对象”的容积仍包括排（漏）出的二氧化碳的容积。同样，关于进（打）气问题也可采用类似方式。诸如：“有一筒打算作气割用的二氧化碳，筒内的湿度是27℃，这时简内二氧化碳的浮力是40＊105帕，这么，从筒内放出一半质量的氢气之后，并使筒内剩余二氧化碳的气温增加到12℃时，求这种剩余二氧化碳的浮力是多大？”在运用等效方式确立“研究对象”时，应构想放出到筒外的一半质量的二氧化碳和筒内的二氧化碳经历同样的变化，因而在确立“研究对象”时，把简内的二氧化碳和放出到筒外的氧气合在一起（即把两者构想为经历相同的变化过程）作为“研究对象”，这样“研究对象”如就成为一定质量的二氧化碳──如，得。
另外理想二氧化碳的状态多项式经过物理演化即气态密度多项式后，就可适用于同一种二氧化碳（理想二氧化碳）质量发生变化时的情况（不管质量有无改变均适用）。这就是说，经过物理演化后，不但公式抒发方式不同了，但是它所反映的数学意义也就不同了，因此公式的适用条件也随着改变了。
（五）认真剖析条件的转化，正确运用相应的数学定理来解答“变条件”的综合题。在解答“变条件”的综合题时，要认真剖析题目所反映的整个化学过程的不同阶段（分过程）及其条件的转化，条件变化后，所适用的数学定理和公式也要急剧改变。诸如“用冲击摆测弹丸的速率”这一实验（小学数学课本下册P．336－P．339），要引导中学生弄清这道“变条件”综合题所反映的整个化学过程，应分为两个不同的运动阶段来处理，并分别依照完全非弹性碰撞动量守恒（第一个运动阶段）和沙箱（摆锤）。摆动过程机械能守恒（第二个运动阶段）而得到了这一关系式（式中L为摆长），因而问题就迎刃而解了。通过这一“变条件”综合题的剖析，中学生不但弄清了在解决碰撞问题时怎样分别正确运用动量守恒定理和机械能守恒定理来剖析和解决问题，并且更好地把握了这两个守恒定理各自的适用条件及其应用。
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