——科教期刊（电子版）2019年第28期/10月（上）——135期大学数学动量定律和动能定律教学讲解 姜俊（北京大学电子技术学院，成都，成都） 摘要 大学数学中有两个重要的定律：粒子系统的动量定律和粒子系统的动能定律。 这两条定律可以从牛顿第二定理和微积分知识中严格推导出来，因此中学生可以对这两条定律有更好的理解。 关键词 大学数学 粒子系统动量定律 动能定律 中图分类号：O313.2 文献编号：A1 粒子系统动量定律 学过数学的中学生都知道粒子系统动量定律：对于任何系统，系统所受外力合力的冲量等于系统动量的增量。 下面给出严格的证明。 1.1 单个质点动量定律 对于单个质点，假设该质点的质量为 m，其受到的外力为 ，其加速度为 ，根据汤顿第二定理： 由（1）和（2）可得（1）和（2）：在经典热力学范围内，m 可以认为是一个常数。 因此质点系的动量定理表达式，可以等待： (3) 粒子收到的基本冲量等于粒子动量的微分。 若外力作用于质点的时间在此时间区间内，则对(3)式取定积分： (4) 合成外力的冲量有： (5) 单个质点的动量定律：合成外力作用在质点上的冲量等于质点动量的增量。
1.2 粒子系统的动量定律 假设一个系统由 n 个粒子 m1、m2…、mn 组成，第一个粒子 m1 所受的合外力为 ，作用于第二个至第 n 个粒子的内力分别为 ，第一个粒子结束时刻的动量为 ，初始时刻的动量为 ，则单个粒子的动量定律（4）适用于第一个粒子。 其实有： (5) 同样，类似的方程： =(6)...=(7) 这n个多项式都相乘： 考虑到：牛顿第三定理，内力总是成对出现，大小相等，方向相反，作用在同一条线上。 因此：所有内力的冲量相乘后必然等于0，即： 所以最后可得： = 化简上式，其中： 为系统所受总外力的冲量， 为系统末端动量， 为系统始端动量。 最后我们得到： 这就是热科学中质点系统动量守恒原理：系统所受到的总外力的冲量等于系统动量的增量。 2 粒子系统动能定律 粒子系统动能定律：对于一个系统，所有外力的功加上所有内力的功就等于系统动能的增量。 下面给出严格的推论。 2.1 单个质点动能定律假设质点 m 所受的合外力为 ，在 的作用下，质点 m 沿任意曲线从 A 点运动到 B 点。 质点在 A 点的速度为 v，在 B 点的速度为 v0质点系的动量定理表达式，即该路径上的无限短位移。 那么外力所做的单元功为： (8) 采用自然坐标系，实际上有： (9) (注：t为切线方向，n为法线方向) 和： (注：ds为位移段 (10) 将(9)、(10)代入(8)可得： (注：) (11) 根据牛顿第二定理： (12) 将(12)代入(11)可得： (注：) (13)整个过程中所做的总功： (14) 即单个粒子的动能定律：对于单个粒子来说，所有外力所做的功等于粒子动能的增量。 2.2 粒子系统动能定律 同样，假设系统由n个粒子m1,m2…,mn组成，对于第一个粒子m1，所有外力所做的功为W1，所有内力所做的功为w1，则利用动能定律(1 4) 对于单个粒子，我们可以得到： (15) 同样，对于第二个……
