一、角动量定律及角动量守恒定律 1、力对点的力矩：如图所示，定义力F对O点的力矩为：M=rF 大小为：扭矩的方向：扭矩是一个矢量，其方向可以用左手螺旋定则来确定：左手食指并拢，其余四指弯曲，当弯曲方向从矢状半径变化时与力的方向成大于1800°的角度，食指指向的方向就是扭矩的方向。 2、力对转轴的扭矩：力对O点的扭矩在经过O点的轴线上的投影称为力对转轴的扭矩。 1）力平行于轴线，则M=0； 2）质心上的外力F位于垂直于旋转轴的平面内，旋转轴与力的作用线之间的距离d称为力对旋转轴的力臂。 该力与力矩臂的大小的乘积称为力F作用在旋转轴上的扭矩，用M表示。扭矩的大小为：MFd或：
2、其中是F和r的倾斜角。 3）如果力F不在垂直于旋转轴的平面内，则该力可分解为两个力，平行于旋转轴的分力F1和垂直于旋转轴的平面内的分力F2。 只有分力F2才能影响质心的旋转状态。 对于定轴旋转，扭力M只有两个方向，沿旋转轴方向或沿旋转轴反方向，可转化为标量法，其方向用正、消极的。 3. 合成扭矩是每个分力的扭矩之和。 合力F=Fi，外力矩MrF=rFi=rFi=Mi 为MMi 4. 质点角动量定律及角动量守恒定律 在讨论质点的运动时，我们用动量来描述机械状态运动，并讨论机械运动的状态 运动过程中观察到的动量守恒定律。同样，在讨论质点相对于空间中某一点的运动时，我们也
3、角动量可以用来描述物体的运动状态。角动量是一个非常重要的概念。 在旋转问题中，它的作用类似于（线性动量）。在研究力对质点的作用时，考虑力对时间的累积效应，从而导出动量定律，因此得到动量守恒定律；当考虑力对空间的累积效应时，可得出动能定律，从而得到机械能守恒定律和能量守恒定律；而对于扭矩对时间的累积效应，则可得出角定律可以得到动量和角动量守恒定律；而扭矩对空间的累积作用，可以得到质心旋转动能定律，这是下一节的内容，本节主要讨论角动量定律和质心绕固定轴旋转的角动量守恒定律。在此之前，讨论角动量定律和质点对于给定点的角动量守恒原理。 下面将讨论角动量以及质点的角动量和质心从力矩对时间上的累积效应，介绍角动量的概念
4、数量守恒定律。 1 质点的角动量 () 描述旋转特性的数学量 1) 概念 1、质量为 m 的质点以速度 v 运动，相对于坐标原点 O 的位置矢量为 r，定义粒子相对于坐标原点 O 的角动量 是位置向量与质点动量的向量积，即 L=rP=rmv 角动量是一个向量，其大小为 L=式中，为质点动量与质点位置矢量的倾角。 (1)从天体到基本粒子，一切事物都具有旋转的特性。 然而，从18世纪角动量的定义来看，直到20世纪人们才开始认识到角动量是自然界中最基本、最重要的概念之一。 它不仅在经典热学中很重要，在现代化学中也有更广泛的应用。例如电子绕原子核运动，具有轨道角动量，电子本身具有载流子运动，具有载流子运动
5、角动量等。 原子、分子和核系统的基本特性之一是它们的角动量仅具有某些离散的大小。 这称为角动量的量子化。 因此，角动量在描述这些系统的特性中起着重要作用。 (2)角动量不仅与质点的运动有关，还与参考点有关。 对于不同的参考点，同一粒子具有不同的位置向量，因此角动量也不同。 因此，在描述粒子的角动量时，必须指定它相对于哪个参考点。 (3)角动量L=rP=rmv的定义与力矩M=rF的定义相同，因此角动量有时也称为动量矩。 (4) 如果质点做圆周运动vr，并且在同一平面内，则角动量的大小为2L=mrv=mr，写成向量的方式为L=mr2 (5)
6、匀速直线运动时，虽然位置矢量r发生变化，但质点的角动量L保持不变。 L==mvd2 质点角动量定律(of) (1)质点旋转定理：讨论质点在力矩作用下角动量如何变化。 设质点的质量为m，在合力F的作用下，运动多项式为dvd(mvF=ma=m=dtdt)将上式与位置向量r叉乘，得到d(mvrF=rdt考虑 dddr(rmv=r(mv + 和 v=vv=0dtd 得到 rF=(rmvdt 由扭矩 MrFd 和角动量 L 定义
7. =( 得到Mdt描述：质点到参考点O的合力的力矩等于质点到O点的角动量随时间的变化率。有些书上称之为旋转粒子的定理（或角动量动量定律的微分法）。这在方式上类似于牛顿第二定理F=P/t，其中M对应于F，L对应于P。 （2）定律将上式改写为Mt=LMdt 是扭力与作用时间的乘积，称为冲量，对上式积分可得 t2Mt=L2- In式中，L1和L2分别为质点在t1和t2时刻的角动量，Mt为质点在t2-t1时刻受到的冲量t1的时刻的角动量。角动量定律粒子：对于同一参考点，粒子受到的冲量矩等于质量
8、点角动量增量。 成立条件：惯性系中3个质点的角动量守恒定律（） 若质点上的合外扭力为零，即M=0，则Lrmv常数向量为角动量：当粒子所受的力相对于参考点时，所产生的外扭力为零时，粒子相对于参考点的角动量为常数向量。说明：（1）原理条件质点角动量守恒M=0，可能有两种情况：合力为零； 合力不为零，但合外扭矩为零。 如：质点做匀速圆周运动。 当质点做匀速圆周运动时，作用在质点上的合力就是所谓的指向圆心的向心力，因此它的扭矩为零。 因此，当质点做匀速圆周运动时，其到圆心的角动量守恒。 除此之外，只要力作用在粒子上
9、存在心力，心力对力中心的力矩始终为零，因此质点对力中心的角动量在心力作用下守恒。 太阳系中行星的轨道是椭圆形，太阳位于两个焦点之一。 太阳作用在行星上的引力是指向太阳的向心力。 因此，如果以太阳为参考点O，则行星的角动量守恒。 特殊情况：（1）在向心力作用下，质点相对力心的角动量守恒； (2)匀速直线运动。 (2)角动量守恒是数学的另一个基本定律。 角动量守恒在天体运动和微观粒子运动的研究中具有重要作用。典型例子1。如图所示，一根长度为L，质量为M的静止均匀细棒，可以在水平面内绕光滑的固定轴2O穿过杆的端部并垂直于杆的长度。 转动力矩为 ML/ 3 质量为 m、速度为 v 的弹丸沿水平面内缘运动，
10、杆垂直方向射出，穿过杆的自由端。 假设弹丸穿过杆后的速度为v/2，则杆的角速度应为 (AML(B2ML(C3ML(=概述 mvL =ML+)，选(D)解：角动量守恒，2在光滑的水平面上，有一个轻弹簧，一端固定，另一端连接质量m=1kg的滑块，如图所示，弹簧自然是l-1 - 1宽度l0=0.2m，顽固系数k=100N·m，当t=0时，弹簧宽度为0，滑块速度v0=5m·s，方向垂直于弹簧，在某一时刻，弹簧位于同一初始位置的垂直位置，宽度l=0.5m，找到此时的滑块
11、速度的大小和方向。解：00==mv+k(-0解2v=v0-km可得(-02=4m/s,=3003 假设卫星绕卫星做圆周运动则在运动过程中，卫星的 ( A. 角动量守恒，动能也守恒 (B. 角动量守恒，但动能不守恒 (C. 角动量不守恒，但动能不守恒)动能守恒（D.角动量不守恒，动量不守恒）提示：卫星上唯一的外力是万有引力，也就是“心灵力”，所以角动量守恒；外力不做功，所以动能守恒。4 如果外力作用在热系统上的合力为零，则外力_（填充或不填充一定）的合力为零；在这些情况在热系统中的动量、角动量和机械能这三个量中角动量定理公式是什么，必须守恒的量是_提示：例如：合力是
12, 0，但产生的扭矩不为0，此时动量必须守恒。 5 将一根长度为 l 的细绳一端固定在光滑水平面上的 O 点，另一端系在质量为 m 的球上。 绳子一开始是松弛的，球到点O的距离为h，使得球沿着光滑水平面以一定的初速度沿着垂直于球初始位置和点连线的直线运动O.当球与O点的距离达到l时，绳子拉紧，使球沿一条以O点为中心的正方形轨迹运动，则动能EK与初始动能EK0之比小球做圆周运动时的 EK/EK0==2=2lv0l 提示：小球在运动过程中角动量守恒：mv0h= 如图所示，在水平光滑的桌子上中间一个小孔O，放一根绳子连接，质量m=
13、将4公斤小物体绳子的另一端从小孔中垂下，用手拉动。 开始时，物体在直径为R0=0.5m的工作台上旋转，其线速度为4m/s。 缩短物体旋转直径，绳子最多只能承受600N的拉力。 绳子刚断时角动量定理公式是什么，物体的旋转直径R是多少？ 提示：N、G合力为0，T为向心力，因此物体角动量守恒：mv0R0=mvR，拉力提供向心力：mv2T=R，可同时求解。 m，一根刚度系数k=8N/m的弹力绳，绳子一端系着质量为m=0.2kg的小球B，另一端固定在水平面上的A点。 最初弹力绳是松的，球 B 的位置和速度 v0 图中显示速率 v 和初速度 v0 提示：球受到 G、N、T，前两个扭矩之和为 0 ，前者是意向力。 因此，小球的角动量守恒：如下运动所示，当小球B的速度为v时，它到A点的距离最大，弹力绳的长度为l =0.8m。 求此时的速度=且滑动过程中只有T做功，因此球和弹力绳的机械能守恒：0=mv2+K(l-可同时求解。