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第五期 开普勒定理
和万有引力定律
2022年1月4日
劳夫
的三定律
眉宇间，白茫茫的雪地，亲吻着大地最后一抹秋色。
抬头望去，有淡淡的星河，宝蓝色映衬着夜色的呢喃。
大如宇宙星云，小如世间尘埃，万物相连，看不见，看不见，无声无息……
如果影子不能相依，愿星星与你同在，梦中……
——格拉斯镇调香师
小时候，我们听老师讲牛顿在桃树下发现万有引力定律的故事。 当煮熟的苹果从雌蕊上掉下来时，受伤的是牛顿，但砸碎的是人类对自然的认知。
有趣的工程谈·第五期
当我们在体测中进行立定跳高时，我们一定希望重力消失一秒钟。 事实上，这是不可能的。 万有引力是宇宙中最基本的排斥力。 只要两个有质量的物体存在，它们之间就一定存在万有引力。
生活中，万有引力很常见，但大多数物体都被地球“吸引”，人们基本感受不到人与人之间万有引力的存在。 而放眼宇宙，当两个物体分别是行星和恒星时，它们之间的引力就会显得非常巨大。 这种力就像一根绳子，将两个天体绑在一起，使行星围绕恒星做周期性运动。
随着年龄的增长，我们会学到更多。 我们知道，行星的运动符合开普勒三定理。
小学阶段我们就知道万有引力定律结合曲线运动公式可以引入开普勒三大定理。 而且，将万有引力定理与开普勒定理结合起来，我们可以更准确地描述天体的运动。
那么本期趣谈工程我们将对万有引力定理的推导过程以及开普勒定理和万有引力定理的应用有更深入的了解。 例如，在已知行星的轨道为椭圆的条件下，我们是否可以利用开普勒三定理来推导出万有引力定律？ 这是我们本期趣谈工程要讨论的问题之一。
由于篇幅所限，还有很多知识需要朋友们在以后的学习中去探索。 话不多说，现在就让我们开始本期有趣的工程讨论吧！
目录
行星的运动
① 万有引力定律
② 开普勒定理
有心
① 瞬间
② 动量的动量
③ 动量动量定律和动量守恒理论
④ 有心
#尽责性是保守主义的证明
轨道微分方程 - Biene 公式
① 利用比电阻公式计算轨道多项式
② 极坐标系下的圆柱曲线多项式
③利用能量准则求轨道多项式（选读）
开普勒定理和万有引力定律
①利用开普勒三定理和比奈公式推导万有引力定律的物理方法
平方比例重力和稳定性
①当前余额和稳定余额
②平方比例引力与圆形轨道的稳定性
行星的运动
01
万有引力定理
我们在学校阶段就学过：世界上的物体，小到天体，小到尘埃，也就是一切有质量的物体，都会受到力的影响。 这个力我们也叫万有引力，这个定律，我们就叫它万有引力定律。
这个伟大的定理是由美国科学家牛顿发现的； 后人在牛顿发现的基础上建立了万有引力定理，并设计了实验来测量万有引力常数G，最终给出了万有引力定理在国际单位制中的表达：
万有引力定律的文字描述如下：
“任何两个粒子都通过其中心连线的方向产生相互吸引力。这种引力的大小与其质量的乘积成反比，与其距离的平方成正比，并与物理成分有关两个物体以及它们之间的媒介。类型并不重要。”
——《自然哲学的物理原理》
事实上，万有引力定理的推导过程充满坎坷。 历史上，伽利略早在1632年就提出了离心力和向心力的初步观点。1645年，贝里亚德提出了重力与平方成正比的思想。 万有引力与相互作用物体的质量积成反比，这是从发现万有引力平方定理到发现万有引力定理的必经阶段。
艾萨克·牛顿从1665年到1685年花了两六年的时间，沿着离心力-向心力-重力-万有引力概念的演变顺序，最终提出了“万有引力”的概念和词汇。
从1665年到1666年角动量定理公式推导过程，牛顿只使用了离心力定理和开普勒第三定理，因此他只能证明圆形轨道上的引力平方正比关系，而不能证明椭圆轨道上的引力平方正比关系。 1679年，他懂得了开普勒第二定理，但证明方法没有突破，还停留在以前的水平。 几年后，牛顿按照开普勒第三定理、向心力定理、物理极限的概念和微积分的概念，用几何方法证明了这个困境。
02
开普勒三定理
开普勒定律是英国天文学家开普勒提出的关于行星运动的三个定理。 第一定理和第三定理发表于1609年，是开普勒根据天文学家第谷对火星位置的观测总结出来的； 第三个定理发表于1619年。这三个定理也分别称为椭圆定理、面积定理和调和定理。
椭圆定理：所有行星绕太阳运行的轨道都是椭圆，太阳位于椭圆的一个焦点上。
面积定理：连接行星和太阳的线在相同的时间内扫过相同的面积。
和谐定理：所有行星绕太阳公转的时间的平方与其轨道半长轴宽度的立方成正比，即：
随后，学者们将第一定理改为：
“所有行星（和彗星）的轨道都是圆柱形曲线，太阳位于其焦点之一。”
只有当行星的质量远小于太阳的质量时，第二定律才准确。 如果认为行星也能吸引太阳，这就是二体问题。
修正后的第三定理的具体表达式为：
其中，m1和m2是两颗行星的质量，m0是太阳的质量。
有心
顾名思义，有“意力”，即排斥力中有“力心”。
对于任何行星来说，它所受到的力主要是太阳对其的引力。 这个引力的作用线仍然穿过太阳中心，人造月球卫星也是如此。 它所受到的力几乎只有月球的引力，而这个引力的作用线也穿过地球的中心。
一般来说，如果作用在运动质点上的力的作用线仍然经过某一点，我们就说作用在这个质点上的力是中心力。 中心力的大小通常是矢量半径r（粒子与力中心之间的距离）的函数，并且力的方向始终沿着粒子与力中心的连线。 趋于固定点的力是重力，离开固定点的力是力。
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扭矩
我们在中学研究杠杆问题时引入了“力臂”的概念，它是指“从作用在杠杆上的力的一端到杠杆所在直线所画的垂直线的宽度”。位于”。
我们知道图中所示杠杆的均衡条件为：
我们把
称为F1和F2的力臂，我们取乘积
扭矩称为F1、F2，利用矢量积法，我们可以将扭矩写为：
以向量L的方向作为支点指向力的作用点。
动量时刻
我们模仿扭矩的定义来定义动量矩。
假设有一个物体以v的速度运动，我们在它周围选取一个参考点O，并通过O做一个轴l，该物体可以看作一个质量为m的粒子。
定义向量r的模长度为质点到轴l的距离，r的方向为轴到质点m的方向。
所以 m 的动量矩为：
动量动量定律与动量守恒理论
小学时，老师教我们：“作用在质点上的力通常会改变物体的动量”。 我们可以推测：作用在质点上的扭力也会改变质点的动量矩，因为它们是一一对应的。 我们把它拿出来验证一下。 这个猜测正确吗？
扭矩M等于r和F的矢量积。为了获得扭矩M形成的疗效，我们将运动多项式乘以矢量r：
在左侧，我们得到：
由复合函数的导数定律可知：
在第二期体育分析中，我们谈到：
即向量函数在某一点的行列式也是一个向量，且该向量与该点的原向量垂直，因此从向量积的计算规则可知：
然后我们得到：
因此，
如果将上式写成权重表达式，
然后还有：
借助导数的知识，可以按照上面的方式写成：
其中，i、j、k分别为x、y、z轴方向的单位向量，当向量相等时，知道对应的权重系数也相等，即可得到权重表达式。
因此，扭转确实可以改变动量矩，这些关系称为动量矩定律，也称为角动量定律。 即“质点对惯性系中固定点或固定轴的动量的微分商（行列式）等于作用在同一点或同一轴上的力矩与作用在同一点或同一轴上的力”质点。”
若设 J 为动量矩，M 为扭矩，则动量矩定律可写为：
其计分方法为：
上式右边称为动量矩，因此质点动量矩的变化量就等于该时间内外力给予质点的动量矩。
如果质点不受外力作用，则质点的动量矩对于该点来说是一个常数向量，这种关系称为动量矩守恒定律，或角动量守恒定律。
补充了扭矩和动量矩相关的知识后，我们就可以继续研究意念力了。
在向心力作用下，质点仍作平面运动，由于F与向量r共线，r×F=0，J为常数向量。 根据我们刚才补充的知识，粒子满足角动量守恒定律的条件。
而向心力F的大小通常是径向矢量r的函数，即：
或者
在笛卡尔坐标系中，以力为原点，质点运动平面为xy平面，则质点运动的微分方程为：
事实上，r²=x²+y²，m是粒子的质量。 可见，用上述公式来研究意向力是非常不方便的。 所以，我们可以尝试使用极坐标系来研究这个问题。
在第二期中，我们展示了极坐标中粒子的加速度分量：
因此，我们可以由此写出质点在极坐标系中的运动微分方程：
注意第二个式子是可以整除的，即：
两边积分：
也可以写成：
其中h是常数，现在我们来理解上式的数学意义。
在第二期中，我们给出了极坐标中粒子速度的表达式：
因此动量纵向分量矢量的大小为：
径向分量矢量的大小为：
由于径向分量矢量经过O点，即到O点的动量矩的大小为0，而动量的纵向分量到O点的动量矩的大小
同时，它也是整个质量点到O点的动量矩的大小，所以公式：
也就是说，在极坐标系中，存在中心力和动量矩守恒定律的物理表达。
事实上，对于心力来说，外力矩r×F=0，动量J是一个常数向量，它的权重实际上是一个常数。
将运动微分方程的第二个方程代入力矩和动量守恒定律，可得方程组：
这就是粒子在向心力作用下应满足的方程组。
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保守势力的证据
证明力是保守的，就是证明力所做的功与路径无关。 例如，重力是保守力，万有引力也是保守力。 这样，我们开始证明，有心也是一种保守的力量。
刻意工作量为：
我们可以在极坐标中分解力：
同理，我们也可以对元素位移进行同样的分解：
因此，在极坐标中，功的表达式为：
在前面的讨论中，我们得到：
那么乘积多项式可以分为：
事实上，F(r)的原函数一定存在，因此定积分的值只与起点和终点对应的向量r有关，与路径无关。 （这个要和我们学过的定积分区别开来，因为A和B表示的是位置，也就是说积分运算是在实际曲线上进行的。r1和r2是位置对应的积分极限，相当于把现有曲线上的积分移到坐标系的轴上来计算图像的面积，所以无论从A→B，对应的积分极限都是一样的。又因为原来的函数是判断存在 ，所以显示的结果是函数图像与坐标轴围成的面积，即积分结果始终相同。）
或者我们可以借助第三、第四阶段中卷曲的知识来判断该力是否为保守力，即判断：
无论是否恒定，为了证明公式成立，我们记下上式在平面极坐标系下的权重：
制作：
所以：
所以有心是一种保守的力量。
但必须存在一个势能V，满足意向力：
去掉上式左边的负号后，我们称之为标量场的梯度（梯度是由函数方向行列式在某一点的最大值决定的向量，其大小为该点方向行列式的最大值。）
又因为势能差与原点的选择无关，所以：
此时势能函数V实际上只是向量r的函数，即V=V(r)。 至于机械能守恒原理，其实是成立的，其具体表达为：
其中E是粒子的总能量，是一个常数。
轨道微分方程 - Biene 公式
在第二节中，我们提出了质点在向心力作用下的运动微分方程：
那么我们可以猜测：从这个方程组中，我们能否找到质点的轨迹方程r(θ)=r？
对于多项式群中的每个等式，我们可以通过求解微分多项式得到参数多项式：
然而，在很多情况下，我们无法导出这样的显式函数，而只能将它们表示为关于t的隐式函数。
那么我们是否可以修改上面的多项式，从而导入粒子的轨道微分方程呢？
虽然可以，因为在热问题中，要得到轨道多项式，一般需要先求出运动定律，然后从运动定律中消去t。 在意力问题中，我们可以使用另一种方法：先消除参数t，然后尝试寻找运动规律。
基于这些想法，我们不妨先从方程组中消除角度θ。
为了方便估算，我们一般做如下货币兑换、顺序：
代入方程组第二个方程，可得：
并且由于：
代替
必须：
类似地我们可以得到：
捆
代入方程组第一个方程，可得：
我们称这个公式为比奈公式。 当F为重力时，F为乘号，否则为正号。 借助这个公式，我们不仅可以得到已知力条件下的轨道多项式，还可以从已知粒子在中心力作用下的轨道多项式得到中心力F(r)的具体方法力量。
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借助 Biene 公式计算轨道多项式
为了估计方便，我们把太阳和月亮都看成质点，但设太阳的质量为ms，行星的质量为m，则万有引力定律可知，太阳和月球之间的斥力太阳和行星可以写成：
式中，G为万有引力常数，k²=Gms是一个与行星无关而只与太阳有关的量，称为太阳高斯常数。 R是月球中心和太阳中心之间的距离。 将万有引力定律的表达式代入比奈公式：
现在：
如果我们做：
于是原来的公式就变成了：
所以我们的主要任务就是解这个微分方程。
如果我们做：
那么微分方程可以写为：
我们用 xi 的一阶导数将方程两边相乘，得到：
写成乘积多项式，即：
借助分部积分，完成上述积分，可得：
其中，C为积分常数，然后将dθ除以一侧，开根为：
再次积分，得到：
所以我们可以得到：
这里的调整采用了三角函数的导出公式。
和：
或者：
式中，A和θ0是两个积分常数。 如果我们自动旋转调整极轴，则可以使θ0=0，则上式可分解为：
如果订购：
那么上面的公式可以写成：
这是原点位于焦点的圆柱曲线的极坐标方程。
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极坐标圆柱曲线方程
小学时我们学过直角坐标系下的圆柱曲线的标准多项式，那么当我们使用极坐标系时它们的表达式会是什么样子呢？
虽然，我们只需要利用几何方法和简单的估计方法（以椭圆为例）就可以推导出极坐标系下圆柱曲线的多项式。
P为正焦弦宽度的一半，r为焦点到曲线上一点的距离，半焦距为c，半长轴长度为a，θ为两者的倾角r 和 x，那么我们可以写出准数多项式：
将点 (c,p) 代入笛卡尔系统中椭圆的标准多项式：
得到：
所以我们可以将准线写为：
半焦距也可写为：
借助椭圆的第二个定义，我们可以得到方程（取左焦点）：
积分获得：
此时极坐标系的原点就是左焦点。
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选择
读
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使用能量准则求轨道多项式
这一点仍然需要围绕念力的本质来展开。 在前面的讨论中，我们得出了正念力是保守力的推论。 这样，机械能守恒理论就应该成立了，我们想，是否可以用总能量E作为判据呢？ 那么我们现在来讨论一下这个问题。
其实前提是F(r)的方法已知，我们来尝试求势能V(r)的具体方法。
后面提到：
在力函数中，V只能是r的函数，则：
所以：
以无穷大为势能零点，引力势能为：
因此机械能守恒定律可以写为：
现在，让我们找到一种方法来消除 dt 项：
进行以下转换：
并且由于：
代入机械能守恒定律可得：
然后我们分离变量并得到：
我们可以使用积分公式：
对原公式积分，可得：
然后求解r，即：
与标准多项式：
比较一下就知道：
所以：
①E<0，e<1，轨道为椭圆。
②E=0，e=1角动量定理公式推导过程，轨道为抛物线。
③E>0，e>1，轨迹为双曲线。
开普勒定理和万有引力定律
前三节我们重点解释了意念力的本质及其相关应用，但借助意念力的知识，我们给出了粒子在意念力作用下的轨道微分多项式——比奈公式。
所以在本节中，我们将利用开普勒三定理和比奈公式来尝试推导万有引力定理。
根据开普勒第二定理，我们知道单位时间内径向矢量扫过的面积A相等，即：
让我们尝试找到面积相对于时间 t 的变化率的表达式：
P1和P2是行星运动时轨道上的两个相邻位置。 当P1和P2很接近时，扫掠面积约等于三角形OP1P2'的面积，即：
但：
所以：
由已知条件可知：
如果两者都恒定，那么行星对太阳的动量矩守恒，即行星对太阳的力的力矩为0，那么行星上所受的力一定是中心力。
现在，我们有了开普勒第一定理：
轨道为椭圆，以右焦点为极点，多项式为：
或者：
将这个关系代入比奈公式并注意：
所以：
所以：
The above shows that the force on a is to the of the .
But so far there is still a , the in the :
It is not a fixed value, and it does not mean that the is the law of .
So we still have to use 's third .
We use the :
For , get:
When the the , A=πab, and the time is T, then:
和：
因为
所以：
to 's third , the right side of the above is a that has to do with , so even h and p are to , and the right side of the above (p/h²) is a that has to do with .
If order:
Then we can write as:
This is the of the law of .
and
I don't know if you have such a doubt: Why does just the law of , is it not the law of cubic ?
Of , to this , we only need to look up at the stars again. At this time, we will all find that the sun, moon, and stars are in , but they do not move and . It is not to think that the of the be in a state.
These are what we call in .
For , if there is a in the open space and a ball is at the , the whole can be in a state of force .
, these are . If we give the ball a small in the , the ball will lose its and fall from the .
, if the ball is put into a semi- bowl, as shown in the :
No how small a we give the ball, and as long as the ball is still in the bowl, the ball will tend to a state.
We call the first kind of the , and the kind the .
So in order to find out why obeys the law, we can from the of orbit.
For , we the of .
For , the :
It is a . It can be known from that if the track is a , the speed is equal , that is:
the angle θ, we get:
或者：
So the -order :
into the ratio :
The that be when the orbit of the is a orbit under the of force is :
在：
It the force on the mass of a unit.
Next, let's a to the will the of the 's .
Order rate:
a :
Both ξ and its in the can be as a very small , and the is into the , and we get:
This is so that the be seen at a , so we need to use the to the two sides of the into a :
Note that since ξ is an , then:
for , we get:
在：
Take the first-order trace, and a
可以放
as:
C2 is whose value is of the of the .
Next, let's study the of of C1 on the of the .
We order:
① When C1
the right side by ξ' to get:
both sides at the same time, with the help of the by parts , we get:
现在：
pass :
, the , we get:
不可缺少的：
After the above , you will get:
Where θ0 is the , and ξ is :
Use the to , and use A, B to the :
After that, we the of the other two cases, and list the total below:
只有在当C1＞0时，ξ的表达式才能始终保持在小量状态。另外两表达式的ξ值就会随着θ的减小而减小，最终趋向无穷。
因而，当矩形轨道上运行的质点满足：
时，就会渐趋稳定。
所以
在特殊情况下，我们考虑引力与距离的n次方成正比的情况。 Right now:
这么很容易得到：
代入C1＞0得n＜3。
所以只有当n=-1或n=2时吸引力能够给出稳定的方形轨道。且n=-1时，力与距离成反比；n=2时，力与距离的平方成正比。
所以万有引力就会满足平方正比规律。
参考书目
①《理论热学教程》第四版——周衍柏
高等教育出版社
②《高等物理》第七版——同济学院物理系
高等教育出版社
③《微分几何》第四版——梅向明/黄敬之
高等教育出版社
④《高等代数》第五版——北京学院物理系
高等教育出版社
⑤《线性代数》第六版——同济学院物理系
高等教育出版社
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土木工程与热学大学融媒体中心网路工作室依托于大学融媒体中心举办相关工作，推介专业，趣说学科。有趣也有料！
供稿|土木工程与热学大学融媒体中心网路工作室
编辑|季怿慧
校对|蒋煜
初审|朱佳君张驰豪王若冰陈立伟