1 背景
粒子系统的角动量定律有几种形式。设粒子系统中第i个粒子的质量为mi，位置矢量为ri，速度为
，外力为Fi，则静止点（惯性系原点）的角动量定律为
(1)
这是基本的方法。 刚体也有角动量定律：
(2)
在
是质点i相对于刚体C的位置矢量和速度。质心是一个动点，但它很特殊，因为它是系统的平均位置（以质量加权），或者说质心的一阶原点矩质量空间的位置分布。 式（2）左边的“反作用力偶的角动量”可以看作是某种二阶中心力矩（如果把速度换成矢量半径）。 如果对于其他运动点P，角动量定律就没有那么简单了，就会多出一项：
(3)
在
是质点i相对于动点P的位置向量和速度，rCP是刚体相对于点P的位置向量。这里多出来的一项是因为动点有加速度，所以当换成a非惯性系统，每个质点也受到惯性力。
它是惯性力和扭矩的总和。 若动点为刚体，则rCP=0，惯性力与力矩之和为0，式(3)右边第二项不存在。
对于质心的情况，上面的每一个定律都有更具体的方法，这里不再赘述。 但此时对于瞬心也有角动量定律（或旋转定理）。文献[1]来自质心绕瞬心的动能定律
(4)
（P为瞬心，MP为质心所受绕瞬心的力矩，IP为质心绕瞬心的转动力矩，ω为质心角速度），得到质心绕瞬时中心的旋转定理（角动量定律）：
(5)
这个定理的理解有一定的障碍：瞬心是静止的（一个突然静止在质心上的点），但它也在运动（空间的极点是瞬心相对于质心的轨迹）固定系统）。 怎么理解呢？ 有更常用的方法吗？ 如何从通常的粒子系统动力学中导入？ 这就是本文所关注的。
2 参考点变化时的角动量定律
仔细考虑后，你会发现这是改变参考点的问题：参考点是静态的，所以不涉及速度的参考系变换； 但不同的静态点在不同的时间被用作参考点，所以称为参考点变化。 （与此类似的一个概念是力点的变化，不是力点的位移，不做功。）
下面推论。对于粒子系统中的任意一个粒子i，假设它所受的外力之和为Fi，所受的内力之和为fi，则根据牛顿第二定理，我们有
(6)
假设一个参考点P（见图1），粒子i的相对位置向量为
(7)
一般情况下，参考点被选中后不会被替换。 有 driP/dt=
.但是如果有参考点变化，那么
(8)
在
为参考点的变化率。利用相对位置向量riP对式(6)左边进行交叉乘法，得
将其与索引 i 相加，并注意内部扭矩的总和成对抵消
，可用的
(9)
在
是相对于参考点 P 的组合外部扭矩，
(10)
是粒子系统相对于参考点P的弱冠动量。式(9)是参考点变化时的角动量定律。
考虑下面的另一种理解方式。 定律（9）也可以理解为参考点移动时的角动量定律，但是在估计粒子的角动量时，位置向量使用相对（相对于移动点）势向量，但是绝对 仍用于速度，因此参考点未更改 Tie。 式(10)中的riP=ri(t)-rP(t)既可以理解为不同时刻相对于不同静止点的矢量半径，也可以理解为相对于同一运动点P的矢量半径。因此，参考点是一系列静止点还是移动点与相对位置向量无关。 唯一需要注意的是，无论怎么解释，粒子的速度始终是绝对速度。 如果将“参考点变化”理解为“参考点移动”，则含义由“不同静态参考点的变化率”变为“同一移动参考点的移动率”，公式(8)由“相对位置向量的变化率”（不是谁的速度，也不是谁的速度相对于谁）使得“粒子i相对于运动参考点P的速度
”。
这种新的理解方式合理吗？ 合理的。 最初，角动量的定义涉及位置矢量和速度。 向量需要指定参考点，速度需要指定参考系，两者不一定捆绑在一起。 通常，所谓动点角动量定律（3）（包括偶角动量定律（2））会同时改变参考点和参考系。 如果只改变参考点而不改变参考系，则得到法则（9）。 另外需要注意的是，扭力只包括位置矢量，因此只与参考点有关，与参考系无关。 在不同的参照系中，力和力矩是相同的。
法则 (9) 可能包含各种特殊情况。 如果P点是静止的，则返回法则(1)。如果改变参考系，让质点相对于运动点P的速度出现在表达式中，则式(10)变为
或写成
(11)
在，
(12)
是以动点P为原点在新参考系中测得的角动量，
为刚体相对于P点的位置矢量。将式(11)代入式(9)可得
这就是普通运动点的角动量定律 (3)。 若取P点为刚体C，则rCP=0，
. 则式（11）给出LC=L'C（即以刚体为参考点时，无论质点速度在惯性系还是质量系，得到的系统角动量为同), 和公式 (9) 这得到 MC=dLC/dt=dL'C/dt。 这就是刚体的角动量定律。
3 质心绕瞬心的角动量定律
我们关心质心，在平面运动的情况下。 只要质心有角速度ω，就存在速度为0的瞬心P。这里要分析一下“瞬心”的概念。 众所周知，质心的运动可以用瞬心体极在空间极上的无滑移滚动来代替[2,3]。 物体两极上的点与质心固定相连，可视为质心上的点，这些点依次静止成为瞬心。 空间的两极在静止系统中是固定的，它上面的所有点总是静止的。 据悉，还有一个可想而知的小环，它始终在身体极点和空间极点的切点处，所以是动点。 在不同的场合下，某一时刻的“瞬心”可以指空间极迹上的切点P1（限于此时，简称“空间点P1”），也可以指空间极迹上的点P1。速度为0的物体极迹P3（也仅限于此时，简称“本体点P3”）也可以指运动小环P2（所有矩）。 两者的空间位置始终相同，只是运动情况不同。 因此，作为位置矢量参考点时，两者可以任意切换，但涉及到速度和加速度时必须注意。如果将上述角动量定律（9）理解为针对改变参考点，那么参考点就是一系列静止不断变化的空间点P1，变化率为
; 如果理解为同一个移动点（参考点移动）的情况，那么这个参考点就是小环P2，它的移动速率也是
.如果采用我们最习惯的理解——本体点P3质点系的角动量定理公式，一定不能感觉到人体瞬间心率为0。
=0！
通过以上分析，得到各点的绝对率公式
(13)
中，由于这里只涉及到相对位置向量，所以瞬时中心P可以是前两者中的任意一个，不做说明（其实一般理解为本体点P3）。 但是，式(9)右边第二项，如果理解为运动速度，则P点只能指代小环P2，可以估计为
(14)
其中 ω 垂直于所有矢量和速度（平面运动）使用，因此
. 注意最后两个公式的理解：小环P2还在运动，刚体C到P2的距离rCP2也在变化，促进意义的获取； 身体点P3还在身体的极点上变化，所以rCP3会变，这就是这个意思。
同时，对于瞬心点P的角动量(10)，速度已经明确定义为粒子的绝对速度，势向量riP中的点P无需明确瞬心的理解，但可以根据需要选择：
(15)
在
是单位张量，
由于这个原因
定义的张量。 注意，无论点 P 是运动点（小环）、体点还是空间点，都可以定义这样的张量。 由于 riP 始终有意义且定义明确，因此张量的估计结果始终相同。 但若称其为“刚体的转动矩张量”，习惯上要求P点为固定于质心的点（即体点P3）。 也就是说，
只是一个张量，并且只有
通常可以称为“刚体的旋转力矩张量”，尽管它们的结果总是相同的。 因此，当体点P3在体极上不断变化时，
也会随着时间而改变。
将上述结果代入角动量定律(9)，得
在，
是质心围绕物体瞬时中心P3的旋转力矩张量的zz分量，认为ICzz是常数。取上式的z分量，注意ω只有z分量，所以我们有
则得到质心在平面内运动时质心到瞬时中心的旋转定理（5）（IP是IP3zz的缩写）。 两边同时除以dθ=ωdt，得到式(4)。 本文关注的核心问题也得到了解决。
现在我们可以总结一下：为什么我们要在公式（10）之后和公式（13）之前谈参考点（或瞬时中心）P的多重理解？我们的核心是公式（9）和公式（10），其中
和
是绝对速度，
是参考点的变化率。但是我们非常熟悉（或喜欢使用）“点的移动率”这个概念，我们将
理解为“移动点的速度”就可以满足我们的习惯，只要保证
和
只为绝对速度。 在质心情况下，由于我们的目标是解释定律（5），其中涉及的旋转力矩习惯上被理解为绕“刚体上的点”（而不是中的点）的旋转力矩a ), 我们需要瞬心P和兼顾本体点P3的作用来满足我们的习惯。 因此，在式（9）～式（10）及后续推论中，最终将riP理解为相对于物体瞬时中心的矢量半径（见式（15）），
理解为动点（小环P2）的速度（见式（14）），
和
一定还是绝对率（见式（13）及其代入式（14）～式（15））。
4 几种角动量定律的应用与比较
下面以一道题为例，说明上述角动量定律的应用。 如图 2 所示，一个直径为 R、质量为 M 的均匀圆锥在角度为 θ 的粗糙斜坡上沿最倾斜的方向滚动。 以离斜坡最远的点A为参考点，建立角动量定律。
在列举多项式之前，先分析一下“A点”的含义。 正如“即心”有多重含义，这里的“A点”也可以有多重含义。 假设有一条直线位于运动平面内，平行于斜面，与斜面的距离为2R。 一个移动的点（或小环）仍然位于圆锥与直线的切点。这样，“A点”的意义和作用有以下几种可能：（1）直线上的一个固定点，在研究时刻处于切点； (2) 直线上的一系列静态点（参考点变化， Rate to
); (3)小环(率也
, 仅用于表示相对势能，速度仍使用绝对速度）； (4) 一个小圆环(它既是势能的参考点，也是速度参考系的原点)； (5) 锥体边缘上的一系列点，总是在相切点，不同的时间取不同的点； (6) 固定在质心上的锥体边缘上的一个确定点，在研究时刻只在切点上。
以上六种理解中，最后一种最常见，（5）上面不讨论（略），（2）和（3）是等价的。不管理解如何，右边的扭矩在角动量定律是一样的，都是
（在反秒方向为正）。
根据式（1）的理解，应使用定静点的角动量定律（1）。 系统到A点的角动量为刚体角动量与相对于刚体的角动量之和，后者为-RMvC，前者为ICω（IC为相对于刚体的旋转力矩刚体）。因此有
(16)
根据（2）（3）的理解，应使用多项式（9）。此时方程右边第二项为0，第一项中的角动量也为ICω－RMvC，所以等式是
(17)
公式（17）和公式（16）看似一样，但毕竟公式（17）左边有两项，但本题第二项为0。
根据式（4）的理解，对于普通的运动点质点系的角动量定理公式，需要用到角动量定律（3）。此时，参考点A的速度总为
，加速度始终为 aC。 多项式右边第二项为-RMaC，第一项A点的角动量为ICω，因为刚体相对于A点总是静止的。因此有
(18)
根据式（6）的理解，平时动点还是要用角动量定律（3），但此时A点的速度为vC+ωR，加速度有一个平行的（在斜面上）分量aC+βR，也有垂直份量。 但垂直分量不需要考虑，等式左边第二项为-RM(aC+βR)。 左边第一项，力偶相对于A点的速度沿斜率下降，为ωR，而相对于刚体的角动量仍为ICω，所以相对于A点的角动量在括号是R(M·ωR) +ICω。所以多项式是
(19)
可见，无论怎么理解，得到的方程（16）~多项式（19）都是等价的。
其实，为了找到质心“绕瞬时中心旋转定理”的“不均匀性”的理论依据，我们从最原始的方式入手，引入角动量定律的新方式，其中质点的速度是绝对速度，但位置矢量指的是可以连续变化的点，所以称为“参考点变化时的角动量定律”。 由此我们引入“绕瞬心旋转定理”。 为了便于理解，我们还对“即心”的可能含义进行了辨别分析，为推导过程做铺垫。 最后，我们通过一个例子来比较角动量定律各种方法的用法。 本文这种新形式的角动量定律其实更具有一般性，只是提供了一种新的手段； 现有的手段（静点角动量定律、反作用力偶、反动点）已经足够了。
参考
[1] 张汉庄, 王文权． 热学[M]． 第 3 版。 南京: 高等教育出版社, 2015, 201-202.
[2] 周彦波． 理论热学教程[M]． 第 3 版。 上海：高等教育出版社，2009：146.
[3] 朱兆轩，周启钊，尹金生． 理论热学（上）[M]． 上海：上海大学出版社，1982：186。
作者简介：吴寻，男，学校一级班主任，研究方向为小学数学竞赛，主要从事高中数学竞赛教学工作，@； 黄益斌，男，副院长，主要从事科研和教学工作，并兼任多门主干课程教学工作，。
引文格式：吴迅，黄宜斌。 参考点变化时的角动量定律[J]. 化学与工程, 2020, 30(6): 75-78,83.
结尾