5-3 1. 绕定轴旋转的刚体的角动量质心上的质量元，绕定轴做圆周运动的角动量为： 2. 旋转定理 M = 角加速度质点与质点所受扭矩2成反比。内扭力质心任意两点之间的相互斥力大小相等、方向相反，且在同一条直线上。 两个力的力臂相等，所以两个力的力矩大小相等，方向相反。 因此，两个内力的合力为3。在刚体的情况下，质心被视为由许多质点组成。 对于质点i，假设其质量旋转定律：当质心绕固定轴旋转时，质心的角加速度与其角加速度相同 合成的外力矩与转动的力成反比质心的时刻。 说明： 1）外力矩与旋转力矩的合成是相对于同一转轴； 2）旋转定理的地位等同于粒子动力学中的牛顿第二定理，是解决质心在定轴上旋转问题的基本多项式。 3. 旋转力矩 3. 旋转力矩 1. 定义质心。 旋转力矩等于每个质点在质心上的质量与每个质点到旋转轴的距离的平方的乘积之和。 2、说明•转动力矩为标量；•转动力矩为加性；•单位：kgm3。 如果质量是连续分布的，则在估计旋转扭矩时。 轴扭矩。 示例 2. 求质量为 m、半径为 R 的均匀环的旋转力矩。轴垂直于环的平面并通过圆心。 mRdm 中均匀圆盘的旋转力矩。 轴线垂直于圆盘平面并通过圆盘中心。
解：取一个直径为r，宽度为dr的细环，可知转动力矩与l无关。 因此，实心圆锥对其轴的旋转力矩也为 mRdr4，这是影响质心旋转力矩的原因。 质心的总质量：具有相同形状、大小和旋转轴的均匀质心。 总质量越大，转动力矩越大； • The of mass 质量分布 质量分布：具有相同形状、大小和旋转轴的质心，质量分布离轴越远，旋转力矩越大； • 转轴位置：质心相同，转轴位置不同，转动力矩不同。 4. Axis 4. Axis 两轴平行，距离为L/2。 可见，如果mLMLL中任意轴与刚体轴平行，距离为d，质心转动矩为J，则存在平行轴定律： 1) 转动通过刚体的轴力矩最小； 2) 平行轴定律可用于估计质心的旋转力矩。 将上述推导推广 *垂直轴定律 对于板的中心，如果构造坐标系Oxyz，其中z轴垂直于板且Oxy平面在板内，则刚体的旋转力矩板的轴心等于 x 轴和 y 轴的旋转力矩 薄环或薄圆柱盘或圆锥的旋转力矩之和 3. 角动量定律和旋转定律具有固定轴的刚体基于质心角动量定律：当旋转轴给定时，作用在质心上的力冲量矩等于旋转轴角动量的增量重心。 5. 刚体定轴旋转的旋转定理的应用 5. 刚体定轴旋转的旋转定理的应用 题目类型 1. 给定旋转力矩和转矩，求角加速度； 2.知道旋转力矩和角加速度，求扭矩； 3. 给定扭矩和角加速度，求旋转扭矩。
解题步骤 1.确定研究对象； 2.受力分析； 3、选择参考系和坐标系； 4.列出运动多项式； 5. 求解多项式； 6. 必要时讨论。 注意以下几点： 1.扭矩和旋转力矩必须指同一根旋转轴； 2、应选择转轴的正方向，以便于确定已知扭矩或角加速度、角速率的正负； 3.当系统既有旋转物体又有平面物体时，旋转物体根据旋转定理构造多项式，平面物体根据牛顿定理构造多项式。 示例 1. 质量为 M 和半径为 R 的定滑轮（作为一个均匀的圆盘）缠绕着一根细绳。 绳子的一端固定在滑轮的一侧，另一端挂着一个质量为m的物体向下垂。 忽略轴处的摩擦力，求物体m从静止下降到高度h的速度和此时滑轮的角速度。 一种均匀的细直杆，由 mghah 制成刚体的角动量定理公式，其两端有固定的光滑水平轴，因此可以在垂直平面内旋转。 初始杆静止在水平位置，求其在该条纹角处的角加速度和角速度。 解：杆条条纹是加速过程，外扭是重力对O的扭转。取上面质量元dm，当杆在套角时，重扭矩为： 则求角速率例3 . 如图所示，质量为 m、直径为 R 的均质圆盘绕其中心在水平台上旋转。 设圆盘与工作台之间的摩擦系数为μ，圆盘以角速率ω转动多长时间才能静止？ 解：以圆盘为研究对象，它受到重力、工作台的支撑力和摩擦力的作用，前两个力对中心轴的力矩为零。
取圆盘上任意一个直径为r，长度为dr的薄环，整个环所受的摩擦力矩等于环上粒子所受摩擦力矩的总和。 由于环上各质点上摩擦力矩的力臂相等刚体的角动量定理公式，力矩方向相同，若取ω方向为正方向，则整个环上的力矩为M在整个圆盘上 四、刚体定轴转动角动量守恒原理 若质心上的总外扭力为零，即M=0=常向量 角动量守恒原理：当作用在质心上的总外扭力为零，或不在合力作用下，质心的角动量保持不变。 讨论： 有两种情况：如果转矩发生变化，质心角速度也随转矩变化，但两者的乘积不变。 当转矩变大时，角速度变小； 当旋转扭矩变小时，角速率变大。 潜水员朱可夫斯基凳子花样滑冰运动员的旋转性能惯性导航仪（陀螺仪）角动量守恒的应用角动量守恒定理动量守恒定理自然界中的动量守恒定理能量守恒定理角动量守恒定理电荷守恒， of mass, of mass, of , etc. 例1. 如图所示，质量为m的炮弹以水平速度射入悬在顶端的长棒上端，而通过后速度降低 3/4。 , 求壳通过杆后的角速度。 已知杆的长度为l，以质量为例 2、如图，在同一点悬挂单摆和等长的匀速直杆，杆的质量为m等于单摆的摆。 开始时，直杆自然下垂，单摆的摆杆被拉到高度h，使其从静止状态下垂，并在垂直位置与直杆弹性碰撞。 求碰撞后直杆上端到达的高度h。 设碰撞后直杆的角速度为v'，摆的速度为v'。 从角动量守恒，弹性碰撞时机械能也守恒：