自由落体运动是初速度为零的匀加速直线运动，其位移公式为：$h = \frac{1}{2}gt^{2}$。这个公式可以通过以下步骤进行推导：
1. 匀变速直线运动的位移公式：设物体下落的总时间为$t$，初速度为$v_{0} = 0$，加速度为$a = g$，则匀变速直线运动的位移公式为$h = \frac{v_{0}}{2}t + \frac{1}{2}at^{2}$。
2. 速度和时间的关系：自由落体运动中，物体的速度与时间成正比，即$v = gt$。
3. 位移和速度的关系：根据匀变速直线运动的位移公式，有$h = v_{0}t + \frac{1}{2}at^{2}$。将$v = gt$代入上式，得到$h = gt(t - 1) + \frac{1}{2}gt^{2}$。
4. 化简位移公式：当时间$t \longrightarrow \infty$时，物体下落的位移趋近于自由落体运动的位移，即当$t \longrightarrow \infty$时，$h \longrightarrow \infty$。因此，可以将上式化简为$h = \frac{1}{2}gt^{2}$。
通过以上步骤，我们可以得到自由落体运动的位移公式：$h = \frac{1}{2}gt^{2}$。这个公式可以用来计算自由落体运动的位移、速度和加速度等参数。
假设一个物体从高度为h的平台上自由落下，求其落地所需的时间。
首先，根据自由落体运动的定义，我们可以列出物体的运动方程：
s = v0t + 1/2gt^2
其中v0为初始速度（此处为0），g为重力加速度。
接下来，我们假设平台的初始速度为0，那么物体的初速度也为0。因此，运动方程变为：
s = 1/2gt^2
将高度h代入上式，得到：
s = 1/2gt^2 = h
两边同时除以t^2，得到：
s/t^2 = h/t^2 = g
t = sqrt(2h/g)
这个例题中，我们通过自由落体运动的定义和运动方程推导出了时间t的计算公式。通过这个公式，我们可以方便地计算出物体落地所需的时间，从而进一步研究自由落体的运动规律。
