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1. 2021/8/141 一、 of mass，质心Rigid body（刚体（））是与质量分布有关的代表点，其位置代表平均意义上的质量分布中心点，其表示平均意义上的质心分布 3-2 Rigid body law Rigid body law 2021/8/142 For a of N : a of N :,, ,,21 )(/笛卡尔坐标系中的分量公式： 笛卡尔坐标系中的分量公式： 刚体的势： 刚体的势： ///2021/8//d 对于质量分布连续的物体为具有连续质量分布的物体的量公式： 量公式
2.: body body line line ) d(///d 刚体的位置向量: 刚体的位置向量: n 刚体和重心(刚体和重心(的)是两个不同的概念）是两个不同的概念，重心是月球引力对物体各部分的合力，重心是月球引力合力的作用点作用在物体各部分的力（即重力就是重力）。刚体的位置和重心不一定重合。。作用点，刚体的位置和重心的位置不一定重合。 2021/8/144 例3-8 求腰长为等边直角三角形均匀板的刚体位置 腰长为a 刚体位置. 设. 取厚度为面积元素, 厚度为dx ，设板的单位面积元，设板的单位面积质量为面积
3. 的质量，然后这个区域元素的质量，那么这个区域元素的质量就是解： 解： 取坐标轴如图，根据对称性分析，根据对称性分析我们可以知道2 /02//8/145 二二，质心运动定律，质心运动定律是由刚体位置推导出来的矢量公式： 由刚体位置矢量公式： 刚体的速度为 刚体的速度为 刚体的加速度为 刚体的加速度为/8/146 由牛顿第二定理推导出牛顿第二定理）1（对于
4、对于系统中成对的内力和内力，/8/147刚体的运动等价于一个质点的运动，刚体的运动等价于一个质点的运动。 该粒子具有粒子系统的总质量。 它所受的外力就是质量。 这个粒子具有粒子系统的总质量，它所受的外力是粒子系统所受的所有外力的矢量和。 作用在点系上的所有外力的矢量和。 Laws of Rigid Body : Laws of Rigid Body : /8/148 1. law 1. 动量定理是基于牛顿运动定理：由牛顿运动定理：) 称为冲量()。
5. 其中3-3动量定律动量守恒定律动量守恒定理动量守恒定理动量守恒定理2021/8/149 (1)冲量的方向为所有元素冲量的方向为所有元素脉冲方向之和的方向向量。 动量定律 动量定律反映了力随时间的累积作用，反映了力随时间的累积作用对粒子形成的疗效。 用于影响粒子形成。 ItFd质点在运动过程中，合外力的冲量等于质点动量的增量。 在此过程中，合外力的冲量等于质点动量的增量。 ): ): /8/1410(2) 动量定律中的动量与冲量
6、量是矢量，符合矢量动量定律。 矢量动量定律中的动量和冲量都是矢量，符合矢量叠加原理，或者可以用权重估计：叠加原理，或者用权重估计：/8/1411(3)计算平均力（力）在撞击、冲击和碰撞问题上。 (4) 动量定律是牛顿第二定理的积分法，只适用于动量定律。 就是牛顿第二定理的积分法。 只适用于惯性系。 F(t)(5)动量定律在处理模量时非常方便。 动量定律在处理模具量时非常方便。 2021/8/
7、1412，研究锤子对腔体的作用过程，研究锤子对腔体的作用过程，利用垂直方向的动量定律，以垂直向下为正。 借助垂直方向的动量定律，以垂直向下为正。 例3-9 质量为m=0.3t的重物从h=1.5m的高度自由落到锻造的螺孔上，螺孔发生变形。 如果动作的时候是在锻造的螺丝孔上，螺丝孔会变形。 如果动作时间（1）=0.1s，（2）=0.01s。 找出锤子对空腔的平均力。 找出锤子对空腔的平均力。 以重锤为研究对象，分析受力，以重锤为研究对象，分析受力，绘制受力图。 做一个力图。 解决方法： 解决方法： 解决方法一： 解决方法一:)()(/N2N.s,.)(
8. 101FN.s,.)(/8/1413 解法二：研究锤子从自由落体到静止的全过程，解法二：研究锤子从自由落体到静止的全过程，其动量变化为零.其动量变化为零。02)/(重力作用时间为重力作用时间为gh/2支撑力作用时间为支撑力作用时间由动量定律：由law of : //8/1414 例子3-10 一根绳子越过某个滑轮，绳子的两端分别系着一根质量为m和m的绳子，物体A和B越过某个滑轮，两端分别系有质量为m和m的物体，m小于m。B静止在地面上，当静止在地面上时，绳子在A自由下落并下落距离h时被拉紧。发现刚拉紧绳子的时候，绳子跟在两个物体后面。
9.紧。 求两个物体在绳子第一次被拉开时的速度，以及它们能上升的最大高度。 速度，以及可以上升的最大高度。 绳索张紧时的力图。 绳索张紧时的力图。紧接绳索张紧前，物体绳索紧接紧前，物体A的速度为ghv2 解：解：经过短暂的撞击过程后，两物体速度相等一个短暂的撞击过程，动量率分别等于两个物体动量定理动碰动公式，分别对两个物体应用动量定律（ in ）： 定律（ in ）： )()()(T2021/8/ the rope be , there is : 考虑到绳子不能被拉伸, 有: force, force FT1, FT2 , so . , is . 绳子被拉紧了
10、最后，绳子拉紧后，系统A和B的加速度为系统的加速度，也就是绳子刚拉紧时两个物体的速度。 两个物体的速度。 当速度为零时，当物体速度为零时，物体B达到最大高度，达到最大高度H：022)()()(/8/1416* 2.变质量的运动多项式物体2.变质量物体的运动多项式设置假设时间t，物体的质量为时间，物体的质量为m，速度为，速度为（c），还有一个，并且还有一个质量元dm，速度为，速度为。vut+dt组合后的共同结果速度为力矩合并后的共同速度。vvd将物体和质量元视为系统，并且动量定律把物体和质量元素看作一个系统，动量定律um
11.)d)(d(tdF省略二阶小量,省略二阶小量,)(dd酸败量物体运动多项式为负,当dm为负时,表示物体质量为.当它是负数时，表示物体的质量减少了.Small. 2021/8/1417 例3-11 质量为质量为m的均质链，总长度为m的均质链，总长L，握住它的下端，握住它的下端，使上端离地的高度为h。松手后让它自由落到地上。然后让它自由落到求链条落在地面上的宽度为上，当链条落在地面上的宽度为l时，当地面受到链条的作用时，链条对地面的排斥力的大小地面 力的大小 解法： 解法：用酸败物运动量的多项式求解 酸败物运动多项式
12.解决。 落在地面上，链段在地面上的速度为零，链段作用在地面上的速度为零。 作用在非落地部分（m-ml）的外力有重力，作用在地面上的外力有重力。 以及大地赋予它的力量。 向下是积极的：它的力量。 向下的方向为正：) () () (dd) () (dd为2021/8/) (dd) () (dd free fall: free fall :) () () (22 链条对上的排斥力地面为链条对地面的斥力为)23((链条落地重力)(链条落地重力)2021/8
13. /1419 例3-12 矿石从传送带落下 矿石从传送带A落到另一条传送带又落到另一条传送带B，它的速度，它的速度v1=4m/s，方向是在与垂直方向一致，方向与垂直方向成30度角，输送带的角度与水平方向成15度角。 其速度的角度为v2=2m/s。 如果传送带的传送能力是恒定的，则设置 。 若输送带的输送能力一定，则设k=20kg/s。 求落在传送带 B 上的矿石落在传送带上时受到的力。 力量。 解： 解：设m为在某极短时间t内落在传送带上的矿石质量中m=某极短时间内落在传送带上的矿石质量，即m=kt，则 of this ore 矿石砂动量增量为12)(/8/1420
14.它的大小是.398.)（假设这个矿砂在t时刻的平均排斥力在t时刻是力，由动量定律，由动量定律F）(.79)( tvmF by by)(2vmvm 2021/8/== == 常数向量根据刚体运动定理：根据刚体运动定理：若0iF 3. 3. 即如果作用在系统上的外力之和为零，系统的总运动量如果作用在系统上的外力之和为零，则系统的总动量保持不变变化，这个推论称为量保持不变，这个推论称为
15.做动量守恒定律（动量守恒定律（）.CiamF rule/8/1422 (2)当外力远大于内力时，系统可以近似。当外力力远大于内力，系统可近似认为 系统的总动量守恒。(如：碰撞、撞击过程等) 总动量守恒。(如：碰撞、撞击过程等) .) (1)动量守恒是指系统的总动量保持不变，但系统中每个动量守恒是指系统的动量总和保持不变，但系统中每个粒子的动量是可以改变的。质点的动量是可以改变的，它是通过内力来传递和交换的。它是通过内力来传递和交换的。解释（3）权重公式）（）（）（当常数时当常数时xFvmp
16. (4) 定理不仅适用于宏观物体，也适用于微观领域。 该定理除了适用于宏观物体外，还适用于微观领域。 2021/8/1423* 4. 火箭飞行 4. 火箭飞行假设时间t，尼克斯的质量为时间，热火的质量为m，速度为，速度为v（向下和向上），at， dt, the jet in , 吐出二氧化碳 dm(0), jet, jet相对于的速度相对于的速度（称为喷射速度称为喷射速度）为u（向上向上），这降低了灰熊队的速度，使湖人队的速度降低了dv。 若忽略重力等外力，由动量守恒的动量守恒定理可得定理)(d()d)(d(省略二阶小量，省略二阶小量，2021 /8/14
17、24 设u为常数，常数0lnd0，设尼克斯开始飞行的速度为零，质量为 设尼克斯开始飞行的速度为零，质量为m0，当燃料为，当燃料耗尽时，湖人剩余质量为m，马刺剩余质量为m。 这个时候鹈鹕能达到的速度是，而鹈鹕这个时候能达到的速度是灰熊的质量比尼克斯的质量要多于2021/8/1425级别的湖人：多- level : i-th level jet speed level jet speed iN level mass ratio level mass ratio, ln, final : final : 2021/8/1426 例子3-13 eg 如图
18、如图，让炮车以仰角发射炮弹，炮车发射炮弹。 炮车和子弹的质量分别为m和m，子弹的出射速度为As，子弹的出射速度为v，求炮车的后坐速度，求炮车的后坐速度v大炮车。 大炮与地面之间的摩擦力被忽略。 大炮与地面之间的摩擦力被忽略。 解决方案： 解决方案：选择枪架和子弹组成的系统。 选取炮架与子弹的组成体系进行内外力分析。 内外力分析。 忽略炮架与地面的摩擦力，系统水平方向的动量守恒。 系统的水平动量守恒。 2021/8/ 炮车后坐速度 考虑炮车后坐速度：垂直方向的动量是否守恒？ 思考：垂直方向的动量是否守恒？系统水平方向的动量守恒：系统的水平方向
19. 动量守恒：2021/8/1428 爆燃力是物体爆裂时的内力，比重力小得多。 在爆燃中，动量可以被认为是守恒的。 例3-14 一个静止的物体爆炸成三块，其中两块质量相同，一个静止的物体爆炸成三块，其中两块质量相同，并且以相同的速度飞行，速度相同，均为30m /s 沿相互垂直的方向打开，第三块沿相互垂直的方向飞走，第三块的质量恰好等于两块质量之和。 尝试发现第三块的质量恰好等于这两个块的质量之和。 找出第三块的速度（大小和方向）。 程度（幅度和方向）。 解决方案： 解决方案： 3)()()(/8/142
20, 9m/s)(2.,45,即He和He and都在南京，而且都在同一平面，都在同一平面，)()()(/8/1430例3-15 质量是两个儿子，质量分别是m1和m2，两个儿子在光滑的水平湖上用绳子互相拉，在光滑的水平湖上他们一开始是静止的，距离就是绳子拉的距离彼此。开始时，它是静止的，距离是 l。问他们将在哪里。问他们将在哪里相遇？他们将在哪里相遇？将两个孩子和绳子视为一个系统动量定理动碰动公式，并且动量在水平方向守恒。系统，水平方向的动量守恒。连接两个儿子的直线上的任何一点是
21、以连接两个儿子的直线上任意一点为原点，向右走为原点，向右走为x轴为正方向。 轴为正。解法：解法：设一开始孩子的坐标分别为x10和x20，任意时刻的速度分别为v1和v2任意时刻坐标为，坐标为x1和x2。 2d 由运动学关系: 由运动学关系: 2021/8/202d 相遇时: 相遇时: x1=) (由动量守恒: 由动量守恒: (1)代入公式(代入公式(1)得到)得到
22. 2021/8/ 结果显示，在纯内力的作用下，两个女儿会在共同的刚体中相遇。 上述结果也可以直接由刚体运动和同刚体相遇来判断。 上述结果也可以直接由刚体运动定理得到。 查出。 有相遇时有2021/8/1433 作业： 作业：3.9, 3.17, 3./8/1434 如果两个或两个以上的物体在相遇，物体之间的相互作用 如果两个或两个以上的物体在相遇在 中，物体之间的相互作用只持续很短的时间，这种现象就是效果只持续很短的时间，这种现象就是碰撞（碰撞）。eg ,
23、、熟铁等，微观颗粒。 如：撞击、打桩、铁艺等，微观粒子间的非接触相互作用过程为散射（The non- is (), etc.）等等。讨论讨论两球的中心对中心碰撞也称为正向碰撞（ ()）：即两球碰撞前后的速度在两球中心连线上两个球。即两个球碰撞前后的速度在 两球中心连线。 1. of the of of the the ： : 2021/8/.'s : the rate of the two balls after : 碰撞后两球的分离速度（v2-v1），和球的接近速度碰撞前的两个球和碰撞前的两个球
24、接近速度（v10-v20）与两者的比值成反比，比值由两球的材料特性决定。即恢复系数（由球的材料特性决定。即恢复系数(of):: 完全非弹性碰撞( (): e=0v2=v1 非弹性碰撞( ()): 0em1, then, Then, 质点后质量很小与质量大的静止质点相撞，质量小的质点与质量大的质点相撞后运动方向反转，而质量大的质点几乎保持不变
25.不动。 运动方向，而质点几乎保持不动。 3、若v20=0，m2m1，则质量大的质点与质量小的静止质点碰撞后的速度几乎不变，但质量很小的粒子以接近两倍的速度向上运动. 保持不变，但质量非常小的粒子以几乎两倍的速度向上移动。 讨论 2021/8/101)()1()()1(非弹性碰撞：非弹性碰撞：两球碰撞后速度为 两球碰撞后速度为机械能损失：机械能loss:)()1( : : 2021/8/1439 Lost : 损失的机械能: 比如打桩打铁的时候,)1()1(/m2越大，越小机械能损失。尺寸越大，机械能损失越小。锻造的m1/m2越小，机械能损失越大； ！