以下是高一物理平面向量的一些难题：
1. 已知两个非零向量$\mathbf{a}、\mathbf{b}$，请证明：不存在实数$\lambda$，使得$\mathbf{a} = \lambda\mathbf{b}$的充分必要条件是$\mathbf{a}/\mathbf{b} = \lambda$。
2. 证明两个向量和的加法是可结合的，即证明：如果$\mathbf{a}$和$\mathbf{b}$的和与$\mathbf{c}$的和相等，那么$\mathbf{a} + \mathbf{b} = \mathbf{c} + \mathbf{d}$当且仅当$\mathbf{a} = \mathbf{c}$且$\mathbf{b} = \mathbf{d}$。
3. 证明两个向量差的减法是可交换的，即证明：如果$\mathbf{a}$和$\mathbf{b}$的差与$\mathbf{c}$的差相等，那么$\mathbf{a} - \mathbf{b} = \mathbf{c} - \mathbf{d}$当且仅当$\mathbf{a} = \mathbf{c}$且$\mathbf{b} = \mathbf{d}$。
4. 证明平行向量（或共线向量）可以用加法和数乘来生成。
5. 证明如果两个向量$\mathbf{a}$和$\mathbf{b}$满足$\mathbf{a}/\|\mathbf{a}\| = \lambda\mathbf{b}/\|\lambda\mathbf{b}\|$，那么存在唯一的实数$\lambda$，使得$\lambda\mathbf{b}$垂直于$\mathbf{a}$。
6. 给定两个非零向量$\mathbf{a}$和$\mathbf{b}$，证明不存在实数$\alpha$，使得$\frac{\mathbf{a}}{|\mathbf{a}|} = \alpha\frac{\mathbf{b}}{|\mathbf{b}|}$和$\frac{\mathbf{b}}{|\mathbf{b}|}$垂直于$\frac{\mathbf{a}}{|\mathbf{a}|}$同时成立。
这些题目考察了学生对平面向量基本概念的理解，以及他们解决复杂问题的能力。解答这些题目可能需要一些推理和证明。
题目：
在直角坐标系O-xyz中，向量$\mathbf{a} = (3,4,2)$和向量$\mathbf{b} = (2,-3,1)$。求向量$\mathbf{a} + \mathbf{b}$和$\mathbf{a} - \mathbf{b}$的坐标。
解析：
首先，我们需要知道向量的加法和减法是如何进行的。对于两个向量$\mathbf{a} = (x_1, y_1, z_1)$和$\mathbf{b} = (x_2, y_2, z_2)$，它们的加法是$(x_1 + x_2, y_1 + y_2, z_1 + z_2)$，减法则是$(x_1 - x_2, y_1 - y_2, z_1 - z_2)$。
现在，根据题目给出的向量$\mathbf{a}$和$\mathbf{b}$，我们可以直接应用这些规则。
向量$\mathbf{a} + \mathbf{b}$的坐标为$(5, 1, 3)$，因为$(3 + 2, 4 - (-3), 2 + 1) = (5, 1, 3)$。
向量$\mathbf{a} - \mathbf{b}$的坐标为$( - 5, 7, - 1)$，因为$(3 - 2, 4 + 3, 2 - 1) = ( - 5, 7, - 1)$。
答案：向量$\mathbf{a} + \mathbf{b}$的坐标为$(5, 1, 3)$，向量$\mathbf{a} - \mathbf{b}$的坐标为$( - 5, 7, - 1)$。
