基本内容
本章的重点是掌握动量、冲量的概念及其物理定律，以及这些定律的应用条件和方法。 本章的难点是所研究系统的划分与选择、守恒定律的条件与回顾、综合力学问题的分析与求解。
教学目标
1.掌握动量定理和动量守恒定律动量定理和动量守恒，能够分析和解决简单的力学问题。
2.掌握运用守恒定律分析问题的思想和方法，能够分析涉及平面运动的简单系统的力学问题。
3 理解质心的概念和质心运动定律。
4-1 粒子和粒子系统的动量定理
1.冲量质点动量定理
动量是描述物体机械运动状态的物理量。 日常生活中，当人们站在树下，抬头看到一片树叶飘落，快要砸到自己的头上时，他们一定会漫不经心地承担起责任； 但当他们看到一块石头朝他们飞来时，他们肯定会赶紧闪避。
众所周知，即使在钉子上面放置重物，也很难将钉子压入木头。 不过，用小锤子敲击钉子比较容易将钉子钉进去。 这些现象都与动量的概念有关。 可见，动量是一个描述物体在某种运动状态下的“运动量”的概念。 它比速度更全面、更准确地反映物体的运动状态，是一个状态量。在牛顿写的书中，动量被定义为粒子的质量
m与其速度v的乘积，即
(1)
它是一个矢量，其大小为|mv |=mv，方向为速度方向。在SI单位中，动量的单位
是千克米每秒。符号是
。
根据牛顿第二定律 t
MTD）
(dddvp F ==
必须
)(dddvp F mt ==
上式的积分为
212d)(2
vvpp F
-=-=？ (4-1)
式中，1v和1P为粒子在1t时刻的速度和动量，2v和2P为粒子在2t时刻的速度和动量。
ttt
d)(2
ΔF是力对时间的积分，称为力的冲量，用符号I表示。
式（3-1）的物理意义是：在给定的时间间隔内，作用在质点上的外力的冲量等于该时间内质点动量的增量。 这就是粒子的动量定理。
式（3-1）是粒子动量定理的矢量表达式。 在笛卡尔坐标系中，其分量公式为
?-==-==-==???zzyx 2x x 12 12 1 ddd 2121
mv mv t FI mv y mv t FI mv mv t FI (4-2)
动量定理在碰撞和打击等情况下特别有用。 两个物体碰撞时相互作用的力称为冲量。 冲量的特点是作用时间极短，力的大小变化很大。 这就是所谓的力脉冲。 一般来说，冲量的大小随时间的变化比较复杂，因此很难测量每个时刻的冲量。但是如果我们能够知道两个物体碰撞前后的动量，那么根据动量定理，我们可以得到物体所经历的冲量； 如果我们还可以测量碰撞时间，那么我们也可以通过脉冲来计算碰撞时间。
内的平均脉冲
为了
2. 粒子系统动量定理
在前两章中，我们讨论了单个粒子的运动。 在本节中，我们将讨论由许多粒子组成的系统的运动定律。 这类问题通常称为粒子系统问题或多体问题。 （在粒子系统中，有一个特殊的类别，即所有的粒子都不受系统外部物体力的影响。也可以简单地说，整个系统不受外部物体的影响。
显然，质点在某一轴上的动量增量只与质点在该轴上受到的外力的冲量有关。 t
p dt t F tt F t
?21)(112
这种相互作用的粒子系统称为孤立系统。 ）
如果系统S中有两个粒子1和2，它们的质量分别为1m和2m。 系统外部粒子对其施加的力称为外力，系统内部粒子之间的相互作用力称为内力。 假设作用在粒子上的外力分别为1F和2F，两个粒子之间相互作用的内力分别为12F和21F。 根据质点动量定理，在12t tt -=？ 时间，
作用在两个粒子上的力的冲量和动量增量分别为
-=+2
10
)( FF
和
-=+2
20
)( FF
将上面两个方程相加，我们有
()(d)(d)(202 212
vvvv FFFF +-+=+++??
(4-3)
根据牛顿第三定律，21F F -=12，所以系统中两个粒子之间的内力之和，012=+21F F，所以上式为
()(d)( 212
vvvv FF +-+=+？
上式表明，作用在由两个质点组成的系统上的总外力的冲量等于系统中两个质点动量之和的增量，即系统的动量增量。
上述结论可以很容易地推广到由n个粒子组成的系统。如果系统包含n个粒子，则方程(4-3)可以改写为
Σ===-=+nin
伊特尼特恩
伊米姆特1
在 1
前2
d )(d )(vv FF
考虑到内力总是成对出现，大小相等，方向相反，它们的矢量和必定为零，即
Σ==n
二、
在
设作用在系统上的净外力为 ex
F表示，系统的初动量和终动量分别为0P和P，则上式可得
重写为
=-=宁
1
前2
dvvF (4-4a)
或者
0P PI -= (4-4b)
由式（3-4）可知，作用在系统上的总外力的冲量等于系统动量的增量。 这就是粒子系统的动量定理。
对于无限小的时间间隔，粒子系统的动量定理可以写为
p F dd ex =t
或者
tdd 出口
F=
(4-4c)
上式表明，作用在粒子系统上的净外力等于粒子系统动量随时间的变化率。
上式表明，一定时间内质点受到的合外力的冲量等于同一时间内质点动量的增量。 这种关系称为粒子动量定理的微分形式。 它实际上是牛顿第二定律的另一种形式。
在质量随速度变化的相对论中，F = ma 不再成立，但 F dt = dp 仍然成立。
动量定理与牛顿定律的关系：①对于粒子来说，牛顿定律代表力的瞬时作用，而动量定理代表力对时间的累积作用。
②牛顿定律只适用于粒子系统，不能直接应用于粒子系统。 然而，动量定理可以应用于粒子系统。
③牛顿定律和动量定理只适用于惯性系统。 为了在非惯性系统中应用动量定理，必须考虑惯性力的冲量。
3.动量定理的应用实例
课本第63页的示例1
4.思考问题
如图所示，一根轻质无弹性的细线一端系在固定点O上，另一端系在一个质量为m的小球上。 小球做匀速圆周运动，半径为r，速度为0v。 当球运动半圈时，球的重力、绳子的张力和球的力的合力的冲量是多少？ 方向是什么？
4-2 动量守恒定律
1.动量守恒定律
由式（4-4）可知，当系统总外力为零时，即0ex
=F
当 时，系统总动量的增量也为
为零，即00=-pp。此时系统总动量不变，即
Σ==
=n
iiim 1v p 常数向量 (4-5a)
这就是动量守恒定律，表达为：当系统所受的净外力为零时，系统的总动量将保持不变。 式(4-5a)是动量守恒定律的矢量表达式。在直角坐标系中，其分量公式为
ΣΣΣ======32
C vmp C vmp C vmp iz iz iy iy ix ix
===)0()0()0(前
前任
ex zyx FFF (4-5b) 式中，1C、2C、3C均为常数。
2、应用动量守恒定律应注意的几个方面
(1)只有外力才会对系统动量的增量做出贡献。 系统的内力不改变系统的总动量，但可以改变系统中各个粒子的动量。
系统动量守恒并不要求系统不受外力作用，只要外力矢量和为零即可。 没有外力作用的系统的动量必须守恒，因此孤立系统的动量也是守恒的。
在某些过程中（如爆炸、碰撞），系统虽然受到外力作用，但外力是有限的，过程时间很短，外力的冲量很小。 在此期间，内力非常大，系统各部分的动量变化主要来源于内力的冲量。 外力的冲量可以忽略不计，因此动量守恒定律可以用来研究系统内各部分之间的动量重新分配问题。
(2) 动量守恒是一个向量表达式，可以写成三分量表达式： 若 Fx = 0，则 Px = 常数； 如果 Fy = 0，则 Py = 常数； 如果 Fz = 0，则 Pz = 常数；
(3) 与牛顿定律一样，动量守恒定律仅适用于惯性系。
(4)动量守恒定律虽然源自牛顿第二、第三定律，但它的应用范围比牛顿定律更广泛。 特别是在微观领域的某些过程中，牛顿定律可能不成立，但动量守恒定律仍然成立。
这是因为动量守恒定律可以直接从空间的平移不变性（一种时空对称性）推导出来，而不需要牛顿定律。 时空对称原理是比牛顿定律更高层次的定律。
动量不仅是表示物体运动状态的量，而且具有更广泛的含义，比速度更重要。 因此，一般地描述物体在机械运动过程中的状态参数，用动量P比用速度v更准确。动量P和位置矢量r是描述物体机械状态的状态参数。
教科书第65页的示例2和示例3
3.思考问题
1、粒子系统动量守恒，是否意味着当系统中某些粒子的速度变大时，某些粒子的速度一定会变小？
2. 假设您位于一个冰雪覆盖的湖面上，摩擦力可以忽略不计，并且您周围没有其他可用的工具。 你如何靠自己的努力回到湖岸？ 你能通过步行、翻滚、挥动手臂或踢脚到达岸边吗？
例4-1 一根质量分布均匀的完全柔软的绳子垂直悬挂，其下端刚刚接触地面。 这时，松开绳子，从静止状态开始下落。 已知绳子的质量为m，长度为L。求当绳子下落到剩余长度z时地面对绳子施加的力。
解：绳索顶部的下落速度
是，当靠近地面的质量元dm与地面碰撞时，其动量从vdm变为零。 因此，如果质量元受到的支撑力为，根据粒子动量定理，我们有
忽略次要小量，考虑dt内着陆绳的长度为-vdt，我们可以
()
zlgv --=21
F()vdm
dt gdm F -=-1 ??
==??? ??--=-=lz 毫克 l mv dt lm vdt v dt dm v F 12121
加上一段落到地面的绳索的支撑力，总力为
例4-2 将一辆长度为l、质量为M的汽车放在一条直线轨道上。 车的A端站着一个质量为m的人。 人和车原本都是静止的。 如果人从车的A端走到B端，不考虑车与轨道的摩擦力，求车和人各自的位移。 多少钱？
答：在人移动之前，人和车都是静止的动量定理和动量守恒，速度为零。 行走后，设人和车相对于地面的速度分别为v和V。 假设它们都与 x 轴正方向相同。
0=m(+v)+M(+V)
所以我们有
在测试中，负号表示人和车向相反方向移动。由v=dx/dt，我们有
两边积分：
由此，汽车相对于地面的位移为
因此，人相对于地面的位移（即最终位置与初始位置的坐标之差）为
毫克
F1
（系统在水平方向不受外力作用，动量守恒，所以
其中 是某一时刻人和汽车相对于地面的速度。 设 u 为人相对于地面的速度，则
那么我们可以写出如下船舶之间的三个运动关系
例4-3 在光滑的水平面上，有一个质量为bm的静止物体B，B上还有另一个质量a。
m 中的静止物体 A，A 受到影响，具有
v（相对于水平面）向右移动。 A、B之间的摩擦系数为μ。 A逐渐带动B一起移动。 从 A 开始移动到相对于 B 静止时，A 在 B 上移动了多远？
解：以A、B组成的系统为例，根据动量守恒定律，内力所做的功不为零。 根据系统动能定理
①
21=+Mv mv 21v
v ,②
1vuv +=dt
vxtt?=0
22dt
维克斯
t?=0
11dt
终极
t?=0
()v
MMVMB
aaa+=k
WW ?=+内
外部
()222
121a
mgx -+=μ-()
咩
+μ=
22
完全弹性碰撞 完全非弹性碰撞
两个物体碰撞时，它们之间相互作用的内力远大于其他物体作用在它们上的外力。 因此，在研究两个物体之间的碰撞问题时，可以忽略其他物体对其施加的外力。 排除。 如果碰撞后两个物体的动能之和完全没有损失，则该碰撞称为完全弹性碰撞。 事实上，当两个物体碰撞时，由于非守恒力的作用，机械能转化为其他形式的能量如热能、声能、化学能，或者其他形式的能量转化为机械能。 这种碰撞属于非弹性碰撞。 如果两个物体发生非弹性碰撞后以相同的速度运动，则这种碰撞称为完全非弹性碰撞。
例4-4 如图所示，质量为M的木块A在距平板高度h处自由落体。 落在质量为M的平板B上。已知轻弹簧的顽固系数为k，物体与平板进行完全非弹性碰撞，求碰撞后弹簧的最大压缩量。
解：本题可分为三个物理过程 ⑴A块的去向
⑵ A 块与 B 板碰撞 ①
GH
v 22
1=()②
21v MM MV +=
⑶ 碰撞后，弹簧被压缩，机械能守恒
当弹簧被最大压缩时
以没有弹簧的平板的平衡位置为坐标原点0，则平板B放置后的位移为1x，块A碰撞后的位移为2x，则
根据力学守恒定律，我们得到
和
=?+?=?pk EEE ()222
0v MME k +-
=?()()2122
212
121kx gx MM xxk E p -+-+=
？（）（）[]
()③
02
12
=+--+++-gx MM xxxkv MM ④
镁
kx=1
将式①、②、④代入式③，得
解决方案
因为，负根应该被丢弃。 碰撞后弹簧的最大压缩量为
2.思考问题
弹性碰撞中哪些量保持不变？ 非弹性碰撞中哪些量保持不变。
4-5． 质量为 m 的小球从静止状态沿着质量为 M 的弧形木槽从顶部滑动。 设圆弧槽的半径为R（如图所示）。 忽略所有摩擦，求（1）当球刚刚离开弧形槽时，球和弧形槽的速度是多少？ (2)小球滑向B点时木槽所受的压力
02222=--
姆赫
xk 镁 xhk 镁 k 镁 k
hk 镁 k 镁 k 镁 xxx +
最大21
20
2>x
解：设小球和圆弧槽的速度分别为1υ、2υ (1) 根据动量守恒定律 021=+υυM m 由机械能守恒定律 mgR M m =+22212
121υυ 由上面两个方程可以解出
()M
米
htK
+=+=221υ ()M
ikB
m+-=22υ
(2) 球相对于凹槽的速度为
()M
ikB
m M +-=-=2)
(21ννν
应用牛顿第二运动定律垂直
毫克氮2
ν=-
()M
米毫克 MM 米毫克 米米 R 米毫克 NN 22
232)(+=+-+=+=='υ
例 4-6。 打桩机锤子的质量为
，落下高度为，桩的质量为，锤子落下一次
桩的下沉位移为d，锤子不反弹。 求桩在落下过程中所受到的平均岩土阻力R？
分析：第一阶段：锤子从高处落到桩头。 在这个阶段，锤子和地球组成的系统的机械能是守恒的。
第二阶段：锤子与桩碰撞后的速度
它立即下降，直到等于桩的速度，锤子和桩的系统发生完全非弹性碰撞。
第三阶段：锤子和桩有共同的初速度v，在岩土阻力R的作用下，在岩土中下降阶段，岩土阻力做负功，动能锤子和桩组成的系统能量下降。
答：第一阶段：从机械能守恒定律出发
第二阶段：基于动量守恒定律
第三阶段：由动能定理
（通常R比要大得多，所以上式
左边第一项比第二项小得多，可以忽略。 ）
