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1.第4章动量与角动量，本章重点：4.1； 4.1.1. 动量，粒子动力学问题，测量粒子运动量，动量，与质量和速度有关的状态量，1）瞬时； 2）载体； 3）相对论，在笛卡尔坐标系中，在国际单位制（SI）千克米/秒（kgm/s）中，对于由N个粒子组成的粒子系统，其动量定义为，4.1.2，动量粒子定律（动量变化与药量的关系），由牛顿第二定理： ，表示力在时间上的累积，称为合力在时间dt内的冲量。 ,1) 微分法： 2) 积分法： 如果是恒力： 1. 冲量()，力对时间的累积有什么影响？
2，？ ，冲动是力量随着时间的积累。 , 2. 动量定律, 1) 微分法： , 由： , 在一个过程中，合力对质点的冲量等于质点动量的增量。 ,2)积分法：对上式积分，动量定律的乘积多项式，即： 1.它反映了过程量与状态量的关系。 ,3. 它只适用于惯性系。 ，由动量定律可知，在等冲量作用下，不同质量的物体速度变化不同，但其动量变化是相同的，所以从过程上看，动量可以更准确比速度更能恰当地反映物体的运动状态。 因此，用动量来描述物体做机械运动时的状态热阻比速度更准确。 动量是描述物体机械状态的状态热阻。 , 3. 动量定律的权重模式，即合力对系统某一方向的冲量的权重等于系统在该方向的动量的增加量。
3.数量。 ，在笛卡尔坐标系中，动量定律的权重公式为，在低速运动的情况下，粒子的质量是常数，动量定律可以写为， 1）力：相互作用时间物体在碰撞过程中时间极短，相互间的斥力很大，而且往往是时变的，这些力统称为力。 ，如果力很大，可以忽略其他外力，则： ，如果其他外力不能忽略，就是总外力的平均值。 ，2）平均力：力对碰撞时间的平均值。 ，即：， 4. 动量定律的应用减少和减少了力的作用。 设粒子系统由N个粒子组成，它们的质量分别为m1、m2、、mN。 第i个粒子的位置矢量为 ，其受到的外力为 ，内力为 ，动量为 ，则第i个粒子的动态多项式为， 4.1.3，粒子的动态多项式系统，可以得到N个粒子的动态多项式之和，因为
4. ，设 为粒子系统所有外力的矢量和， 为粒子系统的总动量。 则粒子系统的动力学多项式为，表明粒子系统总动量的时间变化率等于作用于系统的所有外力的矢量和。 内力可以改变粒子系统中每个粒子的动量，但所有内力对系统总动量变化率的贡献为零。 在讨论粒子系统总动量的变化时，我们只需要考虑外力。 , 粒子系统的动态多项式, 1. 微分法:, 粒子系统动量定律的微分公式, 表明在一个过程中, 合外力作用于粒子系统的冲量等于动量同时增加系统。 ,2. 积分法： 由粒子系统的动力学方程，我们得到： ， 对上式积分， ， 粒子系统动量定律的乘积多项式， 即： ， 4.1.4， 粒子系统动量定律， 3、动量定律Mode的权重，即合外力作用于质点系统某一方向的冲量的分布
5.数量等于系统动量在这个方向上的增量。 ，在直角坐标系下，动量定律的权重公式为， 例4-1 人在跳跃时本能地弯曲关节，以减小与地面的冲击力。 如果有人伸出双臂从高处跳到地上会怎样？ ，设人的质量为M，从高度h跳到地面，落地速度为v0，与地面碰撞时间为t，重心向下移动s。 ,根据动量定律：假设一个人落地静止后做匀速运动，那么： 假设一个人从2m的地方跳下，重心向下移动1cm，那么： ，可能会发生错位。 ,假设人的体重为70kg,此时平均受力: ,解选择车厢和车厢内的煤m和正式落入车厢的煤dm作为研究系统。 以水平向右为正。 , 系统在时间 t 的总水平动量： , 系统在时间 t+dt 的总水平动量：
6. dt时间内水平总动量增量： ，由动量定律： ，例4-2 装煤车以v=3m/s的速度从煤斗下方通过，落入煤斗中的煤车箱每秒为m=500kg。 如果马车的速度保持不变，应该用多大的牵引力来拉动马车？ （忽略摩擦）。 对于粒子系统，已知时间、时间、动量守恒定律，在应用动量守恒定律时，要注意系统的动量守恒。 这并不意味着每个粒子的动量保持不变。 在内力的作用下，每个粒子通常不断地改变其动量。 但总动量之和不变，即内力不改变总动量。 这个推论与内力的性质无关。 ，如果外力远小于内力，则可以认为动量守恒条件近似满足。 重力和摩擦力在碰撞、打击、爆炸等现象中可以忽略不计，当作用在粒子系统上的合外力为零时，质量
7.积分系统的总动量保持不变。 ，动量守恒是由牛顿定理引入的，但它的应用范围比牛顿定理更广泛。 除了适用于宏观现象，也适用于微观现象。 ,动量和力都是矢量，可以沿坐标轴分解。 当沿某一坐标方向的总外力为零时，沿该方向的总动量分量守恒。 ，动量守恒定律只适用于惯性系。 ,例4-3 质量为M，仰角为m的枪架发射质量为m的子弹，子弹发射时子弹相对于枪身的速度为u，忽略摩擦力，求(1)速度枪支从出口弹出时的枪架； () 火箭发射过程中，火炮与载具的距离（火炮膛长为L）。 , 解() 选取枪车和手榴弹为系统, 地面为参考系, 系统所受的总外力为N, mg, Mg 均沿垂直方向, 水平外力为零, 且系统的总动量 x 分量守恒。 设弹丸出射时相对于地面的水平速度为vx
8、枪身后坐速度vx，是相对于地面参考系的。 从相对速度的概念可以得到，负号表示炮架后坐速度与x轴正方向相反。 , () 若用u(t)表示发射过程中任一时刻火箭弹相对于炮架的速度，则此时炮架相对于地面的速度，假设子弹退出通过t1s，炮架在t1s联通内沿水平方向运动，解，负号表示炮身沿x轴负方向后退。 , P44 习题2-8 一条线密度为 的均匀粗链，下端由人握住，上端刚好与桌面相接。 现在突然举手，链条落下，假设链条的每一节都落在桌子上，然后在桌子上静止不动，求链条落下一段距离s时，链条在桌子上的瞬时排斥力。 ，解：链条对桌面的排斥力由以下两部分组成：下落段s对桌面的压力N1，下落dx段对桌面的力N2，链条对桌面的排斥力dx 段上的桌面
9. 若为N2，则以下落的dx段链条为研究对象，其速度在dt时间内从4-4 光滑水平面及直径 R的竖直光滑半圆轨道相连，两滑块A、B的质量均为m，弹簧的刚度系数为k，其五端固定在点O，另一端与滑块A接触，当滑块B还在半圆轨道底部时，用外力推动滑块A，使弹簧压缩一段距离x，然后松开. 滑块A脱离弹簧后与B完全弹性碰撞，碰撞后B将沿半圆轨道上升，上升至C点脱离轨道，OC为垂直60方向，求弹簧的压缩距离x，解：设滑块A离开弹簧的速度为v，当弹簧恢复原状过程中，机械能守恒，经过后A的速度不变脱离弹簧，与 B 发生完全弹性碰撞，即汇率，A 静止，B 为
10. 初始速度 v 沿圆形轨道上升。 动量守恒。 当 B 沿圆形轨道运行时，它与月球系统的机械能守恒。 示例 4-5。 两辆有理想弹簧缓冲器的货车A和B，质量分别为m1和m2，B不动，A速度v0与B相撞。若已知两车缓冲弹簧的刚度系数为k1和k2分别在忽略摩擦力的情况下，两车相对静止时的排斥力分别为多少？ （忽略弹簧的质量）。 解：当货车相撞并达到共同速度v时，两车相对静止。 , 动量守恒。 让两个弹簧在相对静止时分别压缩x1和x2。 因为排斥力相等，所以机械能守恒。 从第一个解决方案，4.3.1。 当质心和质点系统运动时，每个质点的运动可能不同。 ，很复杂，为了简单描述粒子系统的运动状态，引入了质心的概念（简称刚体：粒子系统的质心）。 ,
11. 对于由N个粒子组成的系统，势向量分别为，粒子系统的动量为 ，质量为 ，与粒子系统具有相同动量的粒子C的位置向量为 ，且速度为 ，则有， C 称为粒子系统的刚体，称为刚体的位置向量。 ，可以证明刚体相对于粒子系统的位置与坐标系的选择无关，即刚体相对于粒子系统本身是一个特定的位置。 ，引入刚体后，粒子系统的动量和粒子的动量表达式一样简洁。 获得刚体C的坐标。 对于质量连续分布的物体， (1) 对于几何形状对称的均匀物体，刚体是几何对称的中心。 (2)有些物体的刚体可能不在想要的物体上，但有明确的数学意义。 (3)重心是重力合力的作用点。 对于小规格的物体，刚体与重心重合。 ，4.3.2，质心运动定律，就是刚体运动的加速度。因为，刚体运动定律作用在合力上
12、外力等于质点系统的总质量乘以刚体的加速度，也就是说刚体的运动只由作用在质点系统上的合外力决定，而内力不影响刚体的运动。 , 当 , 时，内力不改变刚体的运动状态。 ，当粒子系统在某一方向的合外力为零时，在该方向的投影等于一个常量向量，该方向的动量守恒。 ，刚体运动定律不能描述每个质点的运动，每个质点的实际运动应该是刚体运动和质点相对刚体运动的叠加。 ，由于内力和外力的作用，粒子系统中每个粒子的运动可能非常复杂，但刚体的运动可能非常简单。 ，在最后一个幻影kt板上，例子4-6是一根长度为L，密度分布不均匀的细棒，它的质量线密度=0x/L，0是常数，x从轻端算起，求它的力偶. ，求解坐标原点与轻端重合，x轴沿杆长方向，如图，取质量元，例4-7
13、在由两个质量分别为m1和m2的粒子组成的粒子系统中，刚体处于静止状态。 质量为 m1 的质点绕直径为 r1 的刚体作匀速圆周运动，速度为 v1。 找出粒子 m2 的运动规律。 ，求解如图，以刚体为坐标系原点，两个质点的位置向量可满足下式，由于刚体是静止的，所以刚体的动量为零，即动量的大小，在SI中：kgm2/s的方向，由左手螺旋定则确定。 ,b) 相对论 (1) 参考系不同，矢量半径不同，动量不同，角动量不同。 (2) 如果原点O选择不同，则位置矢量和角动量也不同。粒子到参考点的角动量，4.4.1，角动量( of )，a)矢量性，1。一个粒子的角动量，C）笛卡尔坐标系中的权重公式，1）一个圆周运动粒子m绕中心O的角运动
14、数量与方向：方向相同，垂直于旋转平面，与粒子的旋转方向呈左手螺旋关系。 推论：做匀速圆周运动的质点到圆心的角动量是恒定的。 ，方向：由左手螺旋定则确定。 , 质点到O点的角动量为：, (3) 如果O取在一条直线上，则： 质量为m的质点沿直线运动。 ，粒子在t时刻相对于O点的角动量为： 2）粒子做直线运动的角动量， （1）如果物体做匀速直线运动，对于同一个参考O点，则， (2) 对于不同的参考点，粒子具有不同的恒定角动量，大小：， 2，粒子系统的角动量：，粒子系统的角动量等于角动量之和4.4.2、粒子角动量定律，角动量对时间的导数可得：，定义：作用在质点上的合力对质点的转矩笛卡尔坐标系 4 中的参考点 2，作用于质量
15. 点的合力矩等于合力的力矩。 ，粒子的角动量定律，粒子上的合力矩等于其角动量的时间变化率。 ，力矩满足叠加原理：作用在质点上的各个力的力矩的矢量和（总力矩）等于各个力的合力的力矩。 , 并且是针对同一惯性系中的同一参考点。 3. 相对论：取决于参考点O的选择。 ，（1）粒子角动量微分法，（2）粒子角动量定律积分法，粒子角动量的增量等于粒子所受的角动量粒子。 ，扭矩的积累对时间的影响是角动量的变化。 ,例 4-8 一个质量为 m、线长为 l 的单摆可以在垂直平面内绕点 O 摆动。 摆线在初始时刻被水平拉动，然后自由下落。求：当摆线与水平线成夹角时，摆球上的力矩和摆球的角动量指向O点； 摆球到达点
16. 在 B 点，角速率的大小。 ，求解任意位置时，作用力为：重力； 紧张。 , 根据角动量定律： , 瞬时角动量： , 点 O 上的重力扭矩为： ，方向： 垂直于纸的内部。 ，O 点的张力扭矩为零。 ， 4.4.3，粒子系统的角动量定律，斥力与反斥力对同一点力矩的矢量和为零。 ,2. 积分法：质点系统角动量的增量等于系统外力矩的角冲量。 , 1. 微分法： , 粒子系统所受的合成外力矩等于系统角动量关于粒子系统时间变化率的角动量定律。 , 方向: 竖板朝外, 尺寸: , 方向: 竖板朝内, 尺寸: , 对同一点的斥力和反斥力矢量和为零。 ，只取决于系统的外扭之和，与内扭无关。 内挠只改变系统中各粒子的角动量动量定理的单位转换，不影响系统的弱冠动量。
17., 4.5.1. 质点角动量守恒原理，若质点上的合力矩，若质点所受力矩的矢量和对于某一参考点始终为零，则质点与参考点的夹角动量保持不变相同。 粒子角动量守恒原理，例如月球卫星绕月球公转时，月球的相对角动量守恒。 ，1，有心，和还在同一条线上，所以。 ,2. 当作用于质点的外力矩分量在某一方向为零时，质点沿该方向的角动量分量守恒。 ,不等于:,注:,解如图所示,行星在太阳引力作用下沿椭圆轨道运动,t时间内行星径向矢量扫过的面积,因为行星只受心力的影响，其角动量守恒，例4-9 借助角动量守恒证明开普勒第二定理：行星相对于太阳的径向矢量扫过的面积（面积率）单位时间内是常数。 , 面积率
18.:,例4-10 我国1971年发射的科学实验卫星在以地球中心为焦点的椭圆轨道上运行。 已知卫星近地点高度h1=226km，远地点高度h2=，卫星通过近地点时的速度v1=8.13km/s，试计算速度卫星经过远地点时和卫星运行的周期（月球直径R=6.），如图求解卫星轨道，因为月球对卫星的引力是心力，所以卫星到月球中心的角动量守恒。 在最高点，位向量的大小为。 如果坐标原点取在地球中心，那么当卫星在轨道近地点时，位向量的大小为。 设卫星在远地点的速度为v2，而近地点和远地点的速度垂直于那里的径向矢量，则可由角动量守恒定律求得。 因此，若椭圆轨道的面积为S，卫星的面速度为dS/dt，则卫星的
19.运动的周期，a，b分别是椭圆轨道的半长轴和半短轴，可以求出，例题是用绳子绑着一个小球做圆周运动光滑水平面上的均匀速率，其直径为 r0，角速率为 。 现在通过圆心的小孔将绳子轻轻向下拉，逐渐减小直径。 求当直径减小到 r 时球的角速度。 , 求解绳索在选定平面上穿过的小孔O为原点。 ，因此球相对于点 O 的角动量守恒。 ,由于绳子对小球的拉力沿绳子指向小孔，则O点力的扭转： 4.5.2 粒子系统角动量守恒原理：角动量守恒， 1. 角动量守恒的条件是 合力矩为零。 合力为零，合力矩不一定为零。 ,2. 系统的角动量守恒，各个粒子的角动量可以交换。 3. 适用于惯性系，也适用于微观现象。 ，当粒子系统上的合成外部扭矩为
20. 当参考点为零时，粒子系统的角动量守恒到参考点。 ，例：质心处的合力为零，但合力矩不为零。 、 4、力偶的质心矩，一对大小相等、方向相反、不在同一直线上的力称为质心。 ,因力矩:,状态量,外药量,基本原理,守恒定理,动量,角动量,能量,冲量,角冲量,功,动量定律,角动量定律,泛函原理,守恒条件,例题4-11 二人们具有相同的质量并且位于相同的高度。 每个人都从绳子的一端开始爬绳子，不管绳子和轮子的质量如何，轴上没有摩擦力。 他们中谁先登顶？ ，选取四人和轮子为系统，O为参考点，垂直面向外为正。 ，作用在系统上的外力如图所示。 ，唯一形成力矩的就是重力。 ，即四个人同时到达顶点。 ,根据角动量定律:, 方法二:(角动量守恒), 1.如果其中一个不动,
21、外力矩不变，内力矩对角动量没有贡献，所以角动量守恒。 ，即打火机先到。 ,2. 如果 m1m2，则系统上的合力外扭力为零，角动量守恒。 ，求解由三个小球和细杆组成的系统，O点为参考点，各质点上的重力与桌面上的支撑力大小相等，方向相反，矢量和为O 点的力矩为零。 O点对细杆的排斥力和点对点的力矩为零，系统所受的合外扭力为零。 所以系统的角动量守恒，解决办法就是以小球和月球为系统，机械能守恒。 , 由角动量守恒, 联立解, 例 4-13 质量为 m 的球 A 沿月球表面的切线方向水平向右飞行, 质量为 M, 直径为 R, 在 a速度v0，地轴OO与v0平行，小球A的轨迹与地轴OO相交于C点，OC=3R，若不考虑月球自转和空气阻力，求小球A在C点的速度
22. 与 OO 轴的倾角。 3、碰撞分类弹性碰撞碰撞后变形消失，不存在机械能损失； 非弹性碰撞后，变形无法恢复。 部分机械能转化为热能； 完全非弹性碰撞碰撞后粘在一起，不再分开，并以同样的速度运动，机械能损失最大。 , 1. 碰撞是两个或多个物体相遇的过程，物体相互作用强烈且持续时间极短的接触（或接近），物体的运动状态随之发生变化。 作用时间极短的现象。 2、冲撞的特点：动作时间极短，内力远小于外力，运动状态突变。 ， A。 没有外力或内力远小于外力：动量守恒 b． 无外扭力：角动量守恒（质点绕固定轴旋转），4.6.1，正面碰撞，1.碰撞定理两个小球相互碰撞如果碰撞后的相对运动与相对运动相同碰撞前的运动
23. 在一条直线上，这些碰撞称为正面碰撞或反中心碰撞。 ，牛顿觉得碰撞后的分离率（v2-v1）与碰撞前两球的接近速度（v10-v20）成反比，该比值由两球的材料决定，即，e称为恢复系数，当e=0时为完全非弹性碰撞，当为非弹性碰撞。 动量守恒，2.一维正面碰撞动量定理的单位转换，碰撞定理。 联解，当e=1时，为弹性碰撞，正面碰撞中两个质量相等的小球在弹性碰撞中相互交换速度。 质量小的物体与质量大的静止物体发生碰撞，小物体改变运动方向，而质量大的静止物体几乎保持不动。 3、碰撞过程中动能的损失。 当e=0时，为完全非弹性碰撞，即碰撞后两个物体以相同的速度运动，不分离。 , 4.6.2, 斜向碰撞（二维碰撞），系统的动量守恒，
24. y 方向是，x 方向是（根据正面碰撞）。 与一维碰撞一样，二维碰撞也分为弹性碰撞和非弹性碰撞。 对于弹性碰撞，遵循机械能守恒定律。 ，对于二维碰撞，如果两个球是光滑的，则可以选择碰撞时连接两个球的线作为x轴，垂直于中心线的方向为y轴，作为如图所示。 两个球在 x 轴方向上相互压缩。 两个球在y轴方向上没有相互挤压，因此碰撞前后两个球在y轴方向上的速度分别保持原来的值。 ,例4-15 两个质量为m、m的小球系在等轴测线上，构成一个挂在同一悬挂点上的摆，如图所示。 将 m 拉到 h 高度并从静止状态释放。 在下列条件下，求两球上升的高度。 (1) 碰撞是完全弹性的； (2) 碰撞是完全无弹性的。 ,解 (1) 碰撞前小球的速度m，因为碰撞是完全弹性的，所以满足
25、动量守恒，但碰撞前后动能相等。 that the of the two balls after are v and v , then there are, it can be that the are H and H . (2) In a , let the speed of the two balls be u, by the of shows that the of the two is, 4-16: are by . M, m, and M/m=4, the is . The angle of the is 111, how much is lost by the in the ? , : of and of the , , three , the ratio of after to that is , so the is lost by 50%. , Two with a of r are close and are in a state. large ball with the same and a of 2r makes an with it at a v0. As shown in the , the of v0 is on the line the of the two small balls. Find the large ball after the
26. The speed of the ball. , solve that the mass of the small ball is m, then the mass of the big ball is M=8m, and the of v0 is taken as the of the x-axis. From the , the speed of the big ball is still along the of the x-axis after the . Set vM, the The of the two small balls are equal, set it as; the of is the same as the angle of the x-axis, set it as, and solve it , get from the of :, get from the :, get from the of :, and into From the above two , we get, 4.7.1. and , 1. a on a shape, so that its shape and do not show any . These are said to have . , , . , For : the of a any axis, , if the mark "" is added to the , it no has , which is " ". , the or from one state to .a
27. To make the from one state to state to it, the is said to be to this (). is a of the . , of the ways of "" or "", there can be kinds of . The most are space-time , and the are space-time . , , , space , and scale ( or of scale), etc. Time time and time . The is a joint space-time . , of two in : (1) of a or a thing (for , a two- has axial ), (2) of laws after a () , the way the laws . Such as: 's has mode , which is . , 2. The of
28. Study the of under . ,1) Time of are to time. the , the same be as today. In to space-time , many other are in , such as , gauge , and of and . In to this, it is to have of types of . ,2) Space Space has . in yield the same . ,4) The image space of the is left-right . Such as: clock, motor, the same law. ,5) The of the of the is the .At low speed, 's has mode under ; at high speed, 's does not have mode under
29, so it needs to be into the law of heat. ,3) The of space are the same in all of space. No how the is in space, as long as the are the same, the same be . The of the can be in a way: it is for us to the value of the time we are in, the of the space, the of the space, the left or the right of the space . , the of the frame. , the of the of space and time. , the is to the of laws under (). , 's Law (1918): If a law is under a that does not on time, there must be a . , the of 's law: it is to a law under a
30. Sex is with the of . And it is that if the law of is to all in a group, then: = in the group. , 3. 's law, if a of the law of is not , but is , then its will an , and the of its non- part It will on the of . It is of these that can infer the ways that the basic laws of may take to the of that is . 1. Space and . Under such , the by 1 and 2 are : The total of the two does not with time, which is the law of of . , 4.7.2, space-time and three , the width of the two is , the is , when the is by x, the of the space means
31. The has to do with x, that is, the under the space . This is only when the U is only a of the width x of the two . , 2. The of space and the law of of , B is fixed, A moves along the arc of B, the of is, and the above does not the , the of the two along the The line is to the of . , The can be by the , and the of time means that these are only to the the two , and not with the of time. In these cases, the of the is . The of the law to the of the of space the of ; the of the law to the of space the of ; . , 3. Time and , , 1. law of , 2. of , 3. law of , 4. , 5. Law of of of mass, 7. The law of of and , 6. The of and :, 8. The of of of and , 9. ,
