第 1 讲 控制多项式
在经典热力学的范畴内，任何流体运动的规律都是基于以下三个基本定理：（1）质量守恒定律； (2) 动量定律； (3)能量守恒定律。 这三个基本定理可以用一组物理方程以积分/微分的方式描述。 估算流体热（CFD，Fliud）的核心任务是用数值离散的方式求解这个方程，从而得到湍流在离散时间/空间点的数值解。
1. 保守控制多项式的积分法和微分法
连续方程
动量多项式
能量多项式
为了使方程闭合，还应补充流体的状态多项式。对于完全二氧化碳有
在考虑到控制体积形状的任意性后，微分方程可以从积分多项式导出。 里面的积分多项式是在控制体空间固定的特殊情况下得到的欧拉型积分多项式。 欧拉积分多项式直观地反映了质量和动量的守恒关系，也称为守恒积分多项式。 将高斯定律直接应用于保守积分多项式，并考虑到控制体形状的任意性而得到的微分多项式称为保守微分方程。
2.-(NS)方程和欧拉多项式
在直角坐标系下，NS多项式的压缩方式为
在
若忽略NS多项式中的粘性和热传导动量定理方程怎么解，则可得欧拉多项式：
3. 非守恒欧拉多项式
其中 A、B 和 C 是对应于通量项 F、G 和 H 的矩阵，并且
4.保守控制多项式与非保守控制多项式的区别
首先，保守类型的 NS/Euler 多项式可以写成守恒形式，便于数值研究和编程。
其次，从理论上讲动量定理方程怎么解，保守多项式和非保守多项式是等价的，而基于保守多项式和非保守多项式的数值解通常是不等价的。 基于保守多项式的数值解可以直接用于估计具有不连续性（如冲击波）的湍流，而无需对不连续性进行任何特殊处理。 这些基于保守多项式的数值方法是一种冲击捕捉方法。 然而，基于非保守多项式的数值方法通常不能正确估计具有激波不连续性的湍流。 为了处理不连续流动，基于非保守多项式的数值方法必须与冲击波组装方法结合使用。
激波组装法是将激波从湍流中分离出来，并以其为边界。 这种方法的优点是可以准确估计冲击波的位置，缺点是极其复杂。
激波捕捉方法很简单，估计的激波不是理想的不连续点，而是几个网格长度的大梯度结构，可以利用有限差分、有限元等高精度数值方法来计算准确地捕捉到了冲击波，因此冲击波捕捉法得到了广泛的应用。
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