上节讨论了简单命题(原子命题)和复合命题以及它们的符号化方式简单命题是命题逻辑中最基本的研究单位,其真值是确定的,又叫做命题常项或命题常元,命题常项相当于高中的常数。初等物理中还有变量,对应地这儿有命题变项。取值1(真)或0(假)的变元叫做命题变项或命题变元可以用命题变项表示真值可以变化的陈述句.命题变项不是命题,命题变项与命题常项的关系就像初等物理中变量与常量的关系今后也用p,q,r,…表示命题变项这样来,P,q,r,…既可以表示命题常项,又可以表示命题变项,一般可以由上下文确定。
将命题变项用连结词和圆括弧按一定的逻辑关系连结上去的符号串称为合式公式,当使用连结词集{┓,A,V,→,}时,合式公式定义如下.
定义1.6(1)单个命题变项和命题常项是合式公式,并称为原子命题公式.
若A是合式公式,则(┓A)是合式公式若A,B是合式公式,则(A∧B),(AVB),(A→B),(AB)是合式公式有限次地应用(1)~(3)产生的符号串是合式公式
合式公式称作为命题公式或命题方式,简称为公式.
设A为合式公式,B为A中一部份,若B也是合式公式,则称B为A的子公式.
对于定义1.6,要做以下说明:
定义1.6给出的合式公式的定义方法称为归纳定义或递归定义方法,下文中还将多次出现这些定义形式定义中引进了A,B等符号,用它们表示任意的合式公式,也称元语言符号.而某个具体的公式,如p,P∧q,(P∧q)→r等合称对象语言符号.所谓对象语言是指拿来描述研究对象的语言，而元语言是指拿来描述对象语言的语言,这两种语言是不同层次的语言.做一个不完全恰当的类比，中国人学日语,常用汉语描述日语,法语是对象语言,而汉语就成了元语言。为便捷起见,(┓A),(A∧B)等公式单独出现时,内层括弧可以省去,写成┓A,A∧B等，另外,公式中不影响运算顺序的括弧也可以省去,如公式(pVq)V(┓r)可以写成pVgV┓r
由定义可知,(p→q)∧(qr),(P∧q)∧┓r,p∧(q∧┓r)等都是合式公式，而pq->r,p->(r->q等不是合式公式。
下边给出公式层次的定义
定义1.7(1)若公式A是单个的命题变项,则称A为0层公式
称是n+1(n≥0)层公式是指下边情况之一：A=┓B,B是n层公式A=BAC,其中B,C分别为i层和j层公式,且n=max(i,j)A=BVC,其中B,C的层次及n同(b)A=B→C,其中B,C的层次及n同(b)A=BC,其中B,C的层次及n同(b)若公式A的层次为k.则称A是k层公式
比如,(┓p∧q)→r,((p→┓q))∧((rVs)┓p)分别为3层和4层公式
在命题公式中.因为有命题变项的出现,因此真值是不确定的,用命题常项替换公式中的命题变项叫做解释.当将公式中出现的全部命题变项都解释成具体的命题常项以后,公式就成了真值确定的命题.诸如,在公式(pVq)→r中,若将p解释成:2是质数,q解释成:3是奇数,r解释成:√2是无理数,则公式(pVq)→r被解释成:若2是质数或3是奇数,则2是无理数.这是一个真命题.若p,q的解释不变,r被解释为:2是有理数,则(pVq)→r被解释成:若2是质数或3是奇数,则√2是有理数.这是一个假命题,还可以给出这个公式各类不同的解释,其结果不是得到真命题就是得到假命题.虽然,将命题变项p解释成真命题,相当于指定p的真值为1,解释成假命题,相当于指定p的真值为0
定义1.8设p1,P2,…,Pn是出现在公式A中的全部命题变项,给p1,P2,…,Pn各指定一个真值,称为对A的一个形参或解释.若指定的一组值使A为1,则称这组值为A的成真形参;若使A为0,则称这组值为A的成假形参
在本书中,对含n个命题变项的公式A的形参采用下列记法
1.若A中出现的命题变项为p1,P2,…,Pn。,A的形参α1α2…αn,是指p1=α1,p2=α2,…,pn=αn
2.若A中出现的命题变项(按字母次序)为p,q,r,…,A的形参α1α2…αn是指p=α1,q=α2,…,最后字母形参αn其中αi,为0或1,i=1,2,...,n
比如,在公式(┓P1∧┓P2∧p3)V(P1∧P2)中,000(P1=0,P2=0,P3=0),110(P1=1,P1=1,P3=0)都是成真形参,而001(P1=0,P2=0,P3=1),011(P1=0,P2=1,p3=1)都是成假形参.在(pA┓q)→r中,011(p=0,q=1,r=1)为成真形参,100(p=1,q=0,r=0)为成假形参.
不难看出,含n(n≥1)个命题变项的公式共有2"个不同的形参
定义1.9将命题公式A在所有形参下取值情况列成表,亦称A的真值表
构造真值表的具体步骤如下
找出公式中所含的全体命题变项P1,P2,...,pn(若无下角标就按字母次序排列),列举2n个形参.形参从00…0开始,之后按二补码乘法依次写出每位形参,直至11…1为止按从低到高的次序写出公式的各个层次对应各个斌值估算出各层次的真值,直至最后估算出公式的真值
假如两个公式A与B的真值表对所有形参最后一列都相同,即最后结果都相同,则称这两个真值表相同,而不考虑构造真值表的中间过程
例1.8写出下述公式的真值表,并求它们的成真形参和成假形参:
(┓p∧q)-->┓r(p^┓q)(q^┓q)┓(p->p)^q^r
解：公式（1）是含3个命题变项的3层合式公式。它的真值表如表1.2所示：
从表1.2可知公式(1)的成假形参为011,其余7个形参都是成真形参
公式(2)是含2个命题变项的3层合式公式,它的真值表如表1.3所示.从表1.3看出该公式的4个形参全是成真形参,即无成假形参。
公式（3）是含3个命题变项的4层合式公式，它的真值表如表1.4所示。不难看出初中物理的所有公式及其变式，该公式的8个形参全是成假形参初中物理的所有公式及其变式，无成真形参。
表1.2~表1.4都是按构造真值表的步骤一步一步地构造下来的,这样构造真值表不易出错.假如构造的思路比较淸楚,有些层次可以省略
依据公式在各类形参下的取值情况,可按下列定义将命题公式进行分类
定义1.10设A为任一命题公式
若A在它的各类形参下取值均为真,则称A是重言式或永真式若A在它的各类形参下取值均为假,则称A是矛盾式或永假式若A不是矛盾式A是可满足式
从定义不难看出以下几点
A是可满足式的等价定义是:A起码存在一个成真形参重言式一定是可满足式,但反之不真.若公式A是可满足式,且它起码存在一个成假形参则称A为非重言式的可满足式真值表可拿来判别公式的类型若真值表最后一列全为1,则公式为重言式若真值表最后一列全为0,则公式为矛盾式若真值表最后一列中起码有一个1,则公式为可满足式
从表1.2~表1.4可知,例1.8中,公式(1)(┓p^g)→┓r为非重言式的可满足式,公式(2)(p^┓p)(q^┓q)为重言式,而公式(3)┓(P->q)^q^r为矛盾式
从以上的讨论可知,真值表不但能确切地给出公式的成真形参和成假形参,并且能判别公式的类型
给定n个命题变项,按合式公式的产生规则,自然可以产生无穷多种方式各异的公式,如今要问:那些公式的真值表是否也有无穷多种不同的情况呢?答案是否定的.n个命题变项共形成2“个不同的形参,而任何公式在每种形参下只能取两个值,0或1,于是含n个命题变项的公式的真值表只有2种不同的情况,因此必有无穷多个公式具有相同的真值表
例1.9下述各公式均含两个命题变项p与q,它们中什么具有相同的真值表?
(p→q)Pq┓(p^┓q)(p->q)^(q->p)┓qvp
解构造过程略去不写,表1.5给出了5个公式的真值表,从表中可看出,(1),(3)具有相同的真值表,(2),(4)具有相同的真值表
设公式A,B中共富含命题变项P1,P2,...,pn而A或B不全含这种命题变项,例如A中不含pi,pi+1,...,pn,i>=2,称这种命题变项为A的哑元,A的取值与哑元无关,因此在讨论A与B是有相同的真值表时,可将A,B都看成含P1,P2,…,Pn的命题公式
例1.10下述公式中,什么具有相同的真值表
(1)p->q
(2)┓qvr
(3)(┓pvq)^((p^r)->p)
(4)(q->r)^(p->p)
解本例中给出的4个公式,总共有3个命题变项P,q和r,r是公式(1)的哑元,P是公式(2)的哑元,讨论它们是否有相同的真值表时,均按3个命题变项写出它们的真值表.表1.6列举4个公式的真值表,中间过程省略了.从表中看出,(1)与(3)有相同的真值表,(2)与(4)有相同的真值表.
