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李娇
DOI：10.16661/ki.1672-3791.2017.25.244
摘要：本文先定义了扭力和角动量，从质点的牛顿第二定理出发，首先引出质点的角动量定律，又经严格的剖析推论，给出不同物体及系统绕定轴转动时的角动量定律表达式，最后对角动量定律适用对象进行非常说明。
關键词：转矩角动量角动量定律质点可形变非质心系统
中图分类号：O313文献标示码：A文章编号：1672-3791（2017）09（a）-0244-02
角动量定律是学院数学中的一个重要内容，许多教材在介绍角动量定律时次序是根据这两种形式进行的，第一种：首先在质点动力学中引出质点的角动量定律，再给出质点系的角动量定律；在讲质心的定轴转动相关内容时，又引出定轴转动质心的角动量定律。第二种：直接将角动量定律放到了定轴转动质心这章，由定轴转动质心的转动定理推导入定轴转动质心的角动量定律，再说明假如内部各质点相对于转轴的位置发生变化时，角动量定律表达式又是如何的。这两种方法都使中学生不能对角动量定律有一个完整、全面的认识；让她们认为角动量定律的表达式很混乱，不清楚哪些物体能用角动量定律，该用哪种方式的角动量定律。为了说明角动量定律其适用于所有的物体，包括质点，定轴转动质心，还有可形变的非质心及系统，本文给出了严格的剖析推论。
1转矩和角动量
在自然界中，常会碰到质点绕一定中心运动的情况，大的如行星绕太阳公转，地球绕月球运动，小的如原子中电子绕原子核的转动等。对于这种运动，引入转矩，角动量，并因而找出它们之间的规律，对于研究转动问题很有用处。
1.1扭力
1.1.1对参考点的扭矩
在惯性系中，一质量为m的质点，某时刻的位矢为，并受力作用，则力对参考点O的扭矩为：
（1）
由矢量的知识可知，扭矩的大小为即力除以力臂，其中是与的倾角。的方向遵守左手螺旋定则，即左手的四个脚趾由矢量沿
1.1.2对轴的扭矩
我们日常所见的转动好多是绕某轴进行的，如门绕门轴的转动，电扇叶绕转轴的转动，陀螺的转动等，在这些情况下，对转轴起作用的扭矩只是扭力矢量沿转轴的份量，我们把这一份量称为力对轴的扭矩，虽然所谓力对轴的扭矩就是力对参考点的扭矩在轴上的投影。
1.2角动量
1.2.1质点对参考点的角动量
如图1所示，在惯性系中，一质量为m的质点，某时刻的位矢为角动量定理的推导，动量为，则质点对参考点O的角动量为：
（2）
由矢量的知识可知，扭矩方向遵守左手螺旋定则，扭矩的大小为：
（3）
在这儿可以觉得此刻质点做以O为圆心，d为直径的等效圆周运动，借助圆周运动的线速率和角速率关系：
（4）
将（4）带入（3），并借助转动力矩的定义可得：
（5）
1.2.2质点对轴的角动量
与扭矩完全类似的讨论可以得出质点对轴的角动量，须要将动量与位矢都投影到过参考点并与轴垂直的平面内，则此时在垂直平面内的动量对参考点的角动量就是动量对轴的角动量。
2质点的角动量定律
列举质点的牛顿第二定理：
（6）
变型可得：
（7）
因为方向平行于，则，故：
则（7）可变为：
（8）
利使劲矩及角动量概念，（8）可变为：
（9）
（9）左右两侧分别积分得：
（10）
质点对参考点的角动量表明，合外扭力持续作用在质点上一段时间能改变质点的角动量，改变情况为作用于质点的合外扭矩的冲量矩等于多少，质点角动量增量就为多少。
以z轴为例，质点对轴的角动量定律就是将（10）式中，投影到z轴正半轴的份量式，可知它是标量式：
（11）
由上面质点的角动量的知识可知（11）可以变为：
（12）
质点z对轴的角动量定律在实际中的常用式。其中，，是质点绕z轴做等效圆周运动时对z轴的转动力矩和角速率。
3定轴转动质点系的角动量定律
一个由n个质点构成的系统，整个系统对同一定轴的角动量定律虽然就是将每位质点对轴的角动量定律加上去，对系统而言就要分辨系统内力和系统外力角动量定理的推导，其中系统内力是系统上面质点间的互相斥力，属于斥力与反斥力，而一对斥力反斥力的转矩和为零，故质点系对定轴的角动量定律是系统外扭矩对轴的冲量矩等于系统对轴的角动量增量，表达式为：
（，）（13）
质点系对定轴的角动量定律：
（14）
质点对轴的角动量定律在实际中的常用式。
4定轴转动质心的角动量定律
借助定轴转动质心的转动定理：
（15）
（15）×dt并两侧积分可得：
（16）
定轴转动质心的角动量定律。
5定轴转动可形变非质心的角动量定律
当物体是可形变质心时，它绕某一固定轴转动时，我们剖析它的角动量定律时可利用质点的角动量定律和将可形变非质心分割成质点系来得出。因为非质心在做定轴转动，在任意瞬时可觉得它里面每位点都在绕同一轴做同方向的圆周运动，每一点的角速率相同，故非质心上每点的角动量方向都相同，大小为，整个非质心的角动量定律就是把它上每点的角动量定律加上去。其中角动量相客场因为同刹那时非质心上每点的角速率都相同，每点的角动量方向都相同，所以整个非质心某个时刻的角动量就等于非质心上所有点的转动力矩之和除以此刻的角速率，非质心上所有点的转动力矩之和就是整个非质心的转动力矩。非质心在定轴转动过程中发生形变，对轴的转动力矩发生，角速率也发生变化，所以整个过程中初末时刻的角动量就等于非质心的初末时刻转动力矩乘初末时刻角速率，最终可得整个定轴转动非质心的角动量定律就应当为：
（17）
定轴转动可形变非质心的角动量定律。
6任意系统绕定轴转动的角动量定律
因为任意系统，无论是纯粹的质点系，纯粹的刚体系，还可以是质点、刚体、可形变非质心构成的复杂的系统，都可以采用分割法将系统看成是由质点组成的质点系，借助质点系的角动量定律，所有系统绕定轴转动的角动量定律的表达式可以表示为：
（18）
其中M是系统所受所有外力对定轴的扭矩和，Ji为系统里第i个物体对轴的转动力矩，和为系统里第个物体对轴的初末角速率。
7结语
本文先定义了扭力和角动量，从质点的牛顿第二定理出发，首先引出质点的角动量定律，又经严格的剖析推论，给出不同物体及系统绕定轴转动时的角动量定律表达式，并最终给出适宜所有物体及系统绕定轴转动的角动量定律表达式：
（19）
参考文献
[1]张三慧.学院化学学上[M].上海：复旦学院出版社，2014.