角动量守恒及其应用
李泽林，过程武器与控制工程，。
摘要：把握角动量守恒定理，并通过习题深入剖析其应用和注意事项。
关键词：质心，角动量，转动力矩，惯性系。
在研究“质点或质点系绕某一定点或轴线运动”这类问题时，经常借助“角动量守恒定理”来处理这种问题。并且怎样正确应用角动量定理解题尤为重要。本文通过对角动量守恒定理详尽的推论，加深对定理的理解，以及通过习题来深入剖析角动量守恒的正确应用。
1角动量守恒定理
1．1质点对参考点的角动量守恒定理
如图1所示，质点m的动量为P，相对于参考
点O的角动量为L，其值αsinprL?=，其中α是质
点的动量与质点相对参考点0的位置矢量r的倾角。其角动量的变化量L?等于外力的冲量矩tM??（M为外力对参考点O的转矩），即dtMdL?=。若M=0，得L?=0，即质点对参考点O的角动量守恒。
1．2质点系对参考点的角动量守恒定理
由n个质点组成的质点系，且处于惯性系中，可以推导入作用于各质点诸力对参考点的外扭矩的冲量tMi??∑
，仍等于质点系对该参考点的角动量的变化量，即
MLi??=?∑。同样当
∑iM时（即质点系的和外扭力为零），质点系对该参考点的角=
动量守恒。
1．3角动量守恒的判定
当外力对参考点的转矩为零角动量定理的内容，
∑iM时，质点或质点系对该参
即0=
考点的角动量守恒。有四种情况可
判定角动量守恒：①质点或质点系不受外力。②所有外力通过参考点。③每个外力的扭力不为零，但外扭矩的矢量和为零。④内力对参考点的扭矩远小于外力对参考点的合扭矩，即内扭矩对质点系内各质点运动的影响远超过外扭矩的影响，角动量近似守恒。
2角动量守恒定理的应用
2.1开普勒第二定理，即行星对太阳的矢径在相等的时间间隔内扫过相等大小的面积
如图，设行星的质量为m，它相对太阳的位矢为r，速率为v，走过的路程为s。行星遭到太阳对它的万有引力，方向顺着它和太
dt
dA
mL2=αsinrmvL=常数=dt
dA阳的连线，因而行星遭到的外扭力为零，它相对于太阳所在的点O角动量守恒。
=?=mvrL恒矢量
角动量的大小为
行星的速度为v=ds/dt。代入得
中,dssinαr为行星对式太阳的矢径在dt时间内扫过的面积dA的两倍，dAr2dssin=α。代入得
因为角动量守恒，L是一个常量，所以
即行星对太阳的矢径在相等得时间间隔内扫过的面积相等。dtdsrmdtdsrmLααsinsin==
2.2如图所示，一根质量可以忽视的细杆，长为2l，两端和中心处分别固连着质量为m的小球B、D和C，开始时静止在光滑的水平桌面上。桌面上另有一质
量为M的小球A，以一给定速率v0沿垂直于杆DB的方向与右端小球B作弹性碰撞。求刚碰后小
球A、B、C、D的速率，并详尽
讨论之后可能发生的运动情况。
本题粗看是一类弹性碰撞类问题，借助动量守恒、能量守恒及竿子牵涉速率来求解。但本题涉及4个物体组成的质点系，未知量多，借助上述关系还不能求解。挖掘题中的守恒规律成为本题的难点，且守恒规律不易挖掘。
解析①小球A、B碰撞顿时，球A挤压B，其斥力方向垂直于杆，使球B获得沿0v方向的速率Bv。因而在碰撞顿时使小球C、D的速率也沿0v方向。对质点组B、C、D与A组成的系统，碰撞前后动量守恒。因为小球C坐落由B、C、D三球组成的质点组的刚体处，所以小球C的速率也就是质点组的刚体速率。
可得：
0AC3MMm=+vvv（1）
②质点组B、C、D与A是弹性碰撞，碰撞前后质点组的动能相等。碰撞后A、B、C、D的速率分别为Av、Bv、Cv、Dv，得
MD
BCA
V0
BCD11111+22222
MMmm=++vvmvvv（2）
（2）
③对质点组B、C、D在碰撞顿时，在B处遭到A球的斥力，若取B（与B球重合的空间固定点）为参考点，则质点组B、C、D在碰撞前后，外扭矩等于零，所以质点组角动量守恒。可得
CD02mlml=+vv（3）
④由杆的刚性条件有：DccBvvvv-=-（4）
由（1）、（2）、（3）、（4）式，可得
C0456MMm=+vv（5）
AmMm-=+vv（6）
BMm=+vv（7）D0256MMm=-
+vv（8）⑤碰撞后各小球的运动
碰撞后，质点组B、C、D不受外力作用，其刚体作匀速运动，即C0456MMm=+vv，碰撞后，B、D两小球将绕小球C作匀角速率转动，角速率的大小为0656BMlMmω-==+Cvvvl。
方向为逆秒针方向。由（6）式可知，碰后小球A的速率的大小和方向与M、m的大小有关，因为M、m取值不同而造成运动情形
比较复杂，即可以使A0v=；A0v且ACvv情境的出现，在此不作详尽讨论。
2.3一质量为速率为的炮弹击中并嵌入一质量为1299mm=、长度为L的棒的一端，速率与棒垂直，棒原先静止于光滑的水平面上，炮弹击中棒后与棒共同运动。求棒和炮弹绕垂直于平面的轴的角速率的大小。
由题可知，炮弹和棒构成的系统在严打前后所收到的外力为零，因而系统对任意一定轴的合扭力为零，系统角动量守恒。下边对几种常见的解法做出剖析讨论。
常见的错误解：
取固定z轴（过A点），因子弹严打时间很短，棒在严打过程中位置可以看做不变。设严打后系统的角速率为，则按照角动量守恒定理得（我刚开始做的解法）
ωAjLvm=01其中mLmjA+=
所以mLmLvm+=
ω
这些错误的解法到底是错在那里呢？这些解法忽略了角动量
守恒定理的应用条件，角动量守恒定理适用于惯性参考系和形心参考系。若把z轴作为杆过A点的定轴角动量定理的内容，此时A点遭到撞击后做变速运动，无形之中所选的参考系为非惯性参考系，因此角动量对z轴不守恒，此时在按照角动量守恒定理列举的多项式自然是错的。
正确的解法为
设系统的刚体C与杆的中点O距离为d，以系统刚体为z轴，此时系统对刚体的合扭力为零，故对z轴角动量守恒，得
()ωcLjvdm=-021式中
)(dmdmLmjLc-++=
1021)()(dmdmLmvdmLL-++-=ω得代入得将,mdmmmmL=+=
vLLdmd
mLmvdm)()(=-++-=ω通过上述剖析可得：
角动量守恒定理适用于惯性系和质情系，对其它非惯性系，要引入惯性转矩，通常角动量不守恒。因此不能直接在非惯性系中应用角动量守恒定理。
参考文献
【1】胡海云。学院数学。上海：国防工业出版社，2009.1
【2】梁昆淼。热学。上海：人民教育出版社，1982