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近四六年来，随着计算机硬件和软件的急速发展，以及估算方式和技术的不断进步，估算化学在数学学各大分支学科的研究中均发挥了重要作用，早已与理论化学、实验化学并列为数学学的三大支柱。
鉴于其重要地位，估算化学早已逐渐发展成为学院数学专业的核心课程之一。近些年来，为了推动学院生愈发积极主动地学习和研究估算化学，全省学院生化学实验大赛在自选类题目中增设了一种新的化学教学资源开发题目，其中要求参赛者“自主开发一个仿真/模拟程序，容许操作者改变参数，可视化地输出仿真/模拟结果”。
在此背景下，数学学专业的学院生结合自己的学习实际，借助计算机软件进行一些仿真模拟方面的可视化研究，必定对其专业成长形成非常积极的推动作用。
天文学是一门古老的科学，从哥白尼日心说到开普勒三大行星运动定理，再到牛顿三大运动定理和万有引力定理，16-17世纪的天文观测有力地推动了精典热学的发展。天体运动是数学学习者最常接触的一种运动，从中学数学课程到学院热学和理论热学课程，对其学习层层深入。
但是，在教学过程中发觉不少朋友对天体运动，包括其中较为简单的行星、周期慧星和双星系统的运动，还缺少足够广泛和深入的认识与理解。诸如，绝大多数朋友对双星系统的认知仅逗留在方形轨道上，极少有朋友才能清晰地描述出双星系统的椭圆轨道运动。
因而，使用计算机软件模拟行星、周期慧星和双星系统的运动，作出直观形象的动漫，帮助学习者更好地认识和理解天体运动，是一个很有意义且适宜学院生施行的可视化研究课题。
是一款通用物理软件，其基础功能包括数值估算、符号估算、图形勾画，因功能强悍、用法简单、语法高贵，它是进行化学教学资源开发最理想的平台软件之一，在估算化学非常是其中的仿真、模拟和可视化研究方面具有宽广的应用空间。本文将充分借助软件强悍的图形勾画功能和方便的动漫合成功能来精确地模拟行星、周期慧星和双星系统的运动。
具体而言，本文先模拟行星和周期慧星的运动，之后在此基础上进一步模拟双星系统的运动。在前一部份中，先模拟以太阳为参考系的行星和周期慧星的运动，之后将其拓展到以月球为参考系的情形。在后一部份中，先模拟质情系中的双星系统的运动，之后将其拓展到通常惯性参考系中的情形。
模拟这种天体运动时，本文采取的通常步骤如下：首先，使用（勾画二维图形）等函数勾画一张天体运动的静态图；之后，利用Table（表格）函数生成一系列循序渐进的静态图；最后，通过（导入）函数将该系列静态图按次序合成并输出为一个动态图。上述这种强悍的外置函数的运用，极大地便利了本文研究过程的施行和研究目标的实现。
行星和周期慧星的运动
理论剖析
开普勒三大定理以非常简约地方法统一描述了太阳系中各大行星、小行星和周期慧星的公转运动。从实验可以看见，除水星之外，其它行星偏心率都大于0.1，因而，这种行星的公转轨道都是十分接近于圆的椭圆，可用圆来近似取代，只是在精度要求较高的场合下，仍须根据椭圆来处理。据悉，水星的公转轨道偏心率小于0.2，早已明显地具备了椭圆轨道的特点。除八大行星外，太阳系中还有数十万颗小行星，其中不乏公转轨道偏心率较大的小行星。
哈雷慧星和恩克慧星分别是第一、二颗按人类预言回归的慧星，紫金山一、二号慧星是我国科学家发觉的第一、二颗慧星。从该表可以看见，这种慧星的公转轨道偏心率一般较大，是较扁的椭圆。
为此，要想全面了解太阳系天体的公转运动，必须对它们的椭圆轨道运动有足够的认识，非常地，可以利用形象的动漫来降低对它们的感性认识。创作这类动漫的难点在于怎样使模拟的天体运动也遵守开普勒第二定理，该定理要求天体与太阳之间的连线在相等的时间内扫过相等的面积，该定理可用微分等式抒发为
12[r(t)]2θ˙(t)=πabT(1)
结合年率条件有
θ(0)=0(2)
以及椭圆的极座标多项式为
r=d1+ecosθ(3)
可以求解极角θ随时间t变化的关系，这是精确模拟天体椭圆轨道运动的关键。在前面三个公式中r是极径，T是公转周期，a、b、e和d分别是椭圆轨道的半长轴、半短轴、偏心率和半正焦弦。
仿真程序
依照上面的理论剖析，本文编撰的模拟行星和周期慧星运动的程序如下所示。
a=1.000;
e=0.017;
T=1;
c=a*e;
b=a2−c2−−−−−−√;
d=b1−c2a2−−−−−√;
s=[{12(d1+ecos[Θ[t]])2Θ'[t]==πabT,
Θ[0]==0},Θ,{t,0,T}];
θ[t_]≔First[Θ[t]/.s];
image[t_]:=[{Green,Thick,[{−c,0},{a,b}],
Red,Disk[{0,0},b*0.1],
Blue,Disk[{d1+ecos[θ[t]]cos[θ[t]],
d1+ecos[θ[t]]sin[θ[t]]},b*0.05]},
→{{−1.5a−c,1.5−c},
{−1.5b,1.5b}}];
=Table[image[t],{t,0,T,T/180}];
["月球公转.gif",,
→0.05,
→{Round[360*a/b],360},
""→6]
其中，前6行句子先对轨道半长轴a、离心律e和公转周期T进行形参，之后借助a和e估算了轨道的半焦距c、半短轴b和半正焦弦d。第7-9行句子借助（数值求解微分多项式）函数精确求解了极角θ随时间t变化的函数关系，依据上面的理论剖析，这3行句子是精确模拟天体椭圆轨道运动的关键。
第10行及其旁边的句子是这段程序的主体部份，该部份代码可分为三个步骤。第一步利用函数定义了image函数，拿来生成天体椭圆轨道运动在t时刻的静态图。此处的函数包含以下两个参数：
（1）涵盖11-14行的列表，其中包括三个绘图元素，分别用黑圈、大圆点和小圆点勾画了椭圆轨道、太阳和绕日公转的天体；
（2）→{{−1.5a−c,1.5−c},{−1.5b,1.5b}}指定绘图的横纵座标范围分别是{−1.5a−c,1.5−c}和{−1.5b,1.5b}.
第二步借助Table函数生成一系列循序渐进的静态图()。其中，Table函数有两个参数：image[t]；{t,0,T,T/180}拿来指定函数中时间变量t的取值列表，其起始值为0，中止值为T，步长为T/180。
第三步运用函数将系列静态图按次序合成并输出为一个动态图。这儿的函数有五个参数：（1）“地球绕日公转.gif”是输出文件的名子；（2）；（3）→0.05指定动态图中每帧图象的显示时间为0.05秒；（4）→{Round[360*a/b],360}指定动态图中每帧图象的横、纵轴像质数分别为Round[360*a/b]和360，其中Round[360*a/b]是360*a/b四舍五入后的整数值；（5）””→6指定动漫重复播放次数为6。
模拟结果
作为示例，里面的程序将月球公转的轨道半长轴、偏心率和周期赋给变量a、e和T，所得动态疗效图诠释的是月球的椭圆轨道运动，改变a、e和T的数值，可以模拟不同天体的椭圆轨道运动。本文又模拟了水星、紫金山二号慧星和恩克慧星的椭圆轨道运动天体物理专业代码，因文章中不能展示彩色动态图，本文仅在实验中展示以上四个动态图在t=0时刻的黑白静态图。
上述模拟结果清晰地展示了相应天体绕日公转运动。从实验可以看出：（1）月球的公转轨道是一个椭圆，但它十分接近于正圆，很难通过肉眼将其与正圆区分开来；（2）水星的公转轨道也近似于正圆，但太阳显著偏离轨道的中心，可以通过肉眼将其与正圆区分开来；（3）紫金山二号慧星的公转轨道是一个典型的椭圆；（4）恩克慧星的公转轨道也是一个典型的椭圆，但它更扁。
拓展研究
上述天体的椭圆轨道运动是以太阳作为参考系的。但是，一般情况下，我们是在月球上观测这种天体的运动。因为日心说的成功及其在教材中的普及，不少朋友在学习时忽视了行星和周期慧星相对于月球的运动情况，对此，她们或则不甚清楚，或则误以为人们在月球上直接观测到的就是它们绕日公转的椭圆轨道。
为了让学习者更清楚地了解人们在月球上观测到的行星和周期慧星的运动情况，作为示例，本文在此模拟了火星在月球参考系中的运动。因为火星公转轨道平面与月球公转轨道平面之间的倾角很小，只有1.85∘，在模拟过程上将其近似为0∘，觉得这两个轨道平面互相重合。
火星相对于月球的运动可以由火星相对于太阳的运动叠加太阳相对于月球的运动而成。当以太阳为参考系时，太阳的位置座标一直为(0,0)，月球和火星的位置座标可以分别抒发为
(d11+e1cosθ1cosθ1，d11+e1cosθ1sinθ1)(4)和(d21+e2cosθ2cosθ2，d21+e2cosθ2sinθ2)(5)
其中，d1(d2)、e1(e2)和θ1(θ2)分别代表月球(火星)公转轨道的半长轴、偏心率和它所处位置的极角。而在月球参考系中，月球的位置座标一直为(0,0)，依据座标变换法则，可以得到太阳和火星的位置座标分别为
(−d11+e1cosθ1cosθ1，−d11+e1cosθ1sinθ1)(6)和(−d11+e1cosθ1cosθ1+d21+e2cosθ2cosθ2，−d11+e1cosθ1sinθ1+d21+e2cosθ2sinθ2)(7)
在前述天体椭圆轨道运动的程序基础上，按照位置座标公式(6)和(7)，结合月球和火星绕日公转的数据，编撰并运行新的程序，可模拟火星在月球参考系中的运动。
从中可见，火星相对于月球的运动轨迹要比它相对于太阳的运行轨道复杂得多，由此可见，日心说在描述行星运动时比地心说简约得多。哥白尼提出的日心说实现了天文学的根本改革，后经布鲁诺的鼓吹、第谷的观测和开普勒的推演，终成三大行星运动定理，并引导牛顿最终完善了万有引力定理，促进了化学学的巨大进步。
双星系统的运动
理论剖析
以行星和周期慧星运动的模拟为基础，可以进一步模拟双星系统的运动。双星系统由两颗星体组成，它们在彼此万有引力的作用下，在各自的轨道上绕着它们的刚体运动。天文观测表明，银河系中存在大量的双星系统，研究它们，对于理解星体和银河系的产生与演变都具有极其重要的意义。
关于双星运动，最简单的情形是，两星均绕着它们的刚体做匀速圆周运动，这是数学学习者自小学阶段以来就熟知的一种情形。但是，这只是一种特殊情形，普遍的情形则是，两星均绕着它们的刚体做椭圆轨道运动，绝大多数朋友对这些情形并不熟悉。下边直接给出对此普遍情形的理论剖析。
设两星的质量分别为m1和m2，位矢分别为r1和r2，两星刚体的位矢为r0，第二颗星体相对于第一颗星体的位矢为∆r，按照刚体定义和矢量运算法则，有
(m1+m2)r0=m1r1+m2r2(8)
∆r=r2−r1(9)
在质情系中，r0=0，结合前面两式，可得
r1=−m2m1+m2∆r(10)
r2=m1m1+m2∆r(11)
综合前面两式，有r1=−（12）
由此式可知，在质情系中，r1与r2反向，且两者大小之比与两星质量之比互为倒数。
依据牛顿第二定理和万有引力定理，有m1r¨1=Gm1m2∆r3∆r(13)m2r¨2=−Gm2m1∆r3∆r(14)
结合公式(10)和(13)、公式(11)和(14)，分别可得
m1r¨1=−Gm1m2(m2m1+m2)(15)
m2r¨2=−Gm2m1(m1m1+m2)(16)
这两个公式具有重要意义，它们提供了看待双星运动的新视角：在质情系中，双星系统的第一、二颗星体分别在静止于刚体处且质量分别为m2(m2m1+m2)2、m1(m1m1+m2)2的虚拟等效星体的万有引力作用下运动。依据理论热学教材中有陇右心力场的相关阐述可知，在质情系中，两星均绕着它们的刚体做椭圆轨道运动。
综合剖析公式(12)、(15)和(16)的推论，可进一步获知，在质情系中：（1）两星轨道共面且相像，长轴共线，短轴平行，相像比为两星质量比的倒数；（2）两星运动同频且同步，比如它们同时达到远刚体点和近刚体点。考虑到两星坐落刚体右侧，它们的极座标多项式方式略有不同，如下边两式所示。
r1=d11+e1cosθ1(17)
r2=d21−e2cosθ2(18)
且θ1和θ2有如下关系：
θ2=θ1+π(19)
这儿，r1(r2)、θ1(θ2)、e1(e2)和d1(d2)分别是第一(二)颗星体的极径、极角、轨道偏心率和轨道半正焦弦。
仿真程序
按照上面的理论剖析，本文编撰了下边这段程序来模拟双星系统的运动。
m1=1;m2=1;
a1=1;
e1=0.6;
T1=1;
c1=a1*e1;
b1=a12−c12−−−−−−−−√;
d1=b11−−−−−−−√;
a2=a1*m1m2;
e2=e1;
c2=c1*m1m2;
b2=b1*m1m2;
d2=d1*m1m2;
xmin=If[−(a1+c1)a1−c1,
a2+c2,a1−c1];
Δx=xmax−xmin;
r1=Max[b1,b2]20*If[m1>m2,1,(m1m2)13];
r2=Max[b1,b2]20*If[m1
s=[{12(d11+e1cos[Θ[t]])2Θ'[t]
==π,Θ[0]==0},Θ,{t,0,T1}];
θ[t_]≔First[Θ[t]/.s];
image[t_]:=[{Blue,Disk[{d11+e1cos[θ[t]]cos[θ[t]],
d11+e1cos[θ[t]]sin[θ[t]]},r1],
Blue,Thick,[{−c1,0},{a1,b1}],
Green,Disk[{d21−e2cos[θ[t]+π]cos[θ[t]+π],
d21−e2cos[θ[t]+π]sin[θ[t]+π]},r2],
Green,Thick,[{c2,0},{a2,b2}],
Red,Thick,,Line[{{d11+e1cos[θ[t]]cos[θ[t]],d11+e1cos[θ[t]]sin[θ[t]]},
{d21−e2cos[θ[t]+π]cos[θ[t]+π],
d21−e2cos[θ[t]+π]sin[θ[t]+π]}}]},
→{{xmin−Δx4,xmax+Δx4},
{−1.5Max[b1,b2],1.5Max[b1,b2]}}];
=Table[image[t],{t,0,T1,T1180}];
["双星系统的运动_质量比为1比1_
偏心率为0.6.gif",,
→0.05,→
{Round[360*Δx2Max[b1,b2]],360},
""→6]
其中，前12行句子先把具体数值赋给两星质量m1和m2以及第一颗星体的轨道半长轴a1、离心律e1和周期T1，之后借助a1、e1、m1和m2估算了第一颗星体的轨道半焦距c1、半短轴b1和半正焦弦d1以及第二颗星体的轨道半长轴a2、离心律e2、半焦距c2、半短轴b2和半正焦弦d2。第13-19行句子估算了两星轨道上所有点横坐标的最小值、最大值以及它们的差值，并在密度相同（直径与质量的1/3次方成反比）的假定下，设定了两星在图上的显示直径。
第23行及其旁边的句子是这段程序的主体部份，该部份代码也可分为三个步骤。第一步利用函数定义了image函数，拿来生成双星系统椭圆轨道运动在t时刻的静态图。此处函数的第一个参数是一个涵盖24-35行的列表，其中包括五个绘图元素：（1）第一、二个元素勾画了第一颗星体及其运动轨道；（2）第三、四个元素分别用勾画了第二颗星体及其运动轨道；（3）第五个元素勾画了两星之间的连线。
模拟结果
借助里面的程序，只要在前4行句子中设定了两星的质量m1和m2以及其中第一颗星体的轨道半长轴a1、离心律e1和周期T1，就可以模拟相应双星系统在其质情系中的运动。因为计算机模拟和真实情况之间存在时空缩放因子，a1和T1不是影响仿真疗效的核心要素，本文将它们设定为1，以聚焦于考察不同m1:m2和e1对应的双星系统运动情况。作为示例，本文首先模拟了m1:m2=1:1，e1=e2=0.6、0.4、0.2和0四种情形下的双星系统运动。
实验展示了m1:m2=1:1时不同偏心率下的双星系统运动，可以看出：（1）当偏心率小于0时，两星轨道相交且全等；（2）随着偏心率的降低，两星轨道渐渐变圆且趋于于重合；（3）当偏心率等于0时，两星顺着同一轨道做匀速圆周运动。
之后，本文又模拟了e1=e2=0.6，m1:m2=1:2、1:4、1:10和1:100四种情形下的双星系统运动，在图4中展示这四个动态图在t=0时刻的黑白静态图。
从实验可以看出：（1）随着质量比的减少，两星轨道半长轴之比减小，其中质量大的星体轨道半长轴小，质量小的星体轨道半长轴大；（2）随着质量比的减少，两星轨道之间的关系，会发生从相交到相切再到相含的变化，仔细剖析可知，(1−e1)(1+m2/m1)=2是相切情形对应的临界条件；（3）当质量比为1:100时，可近似觉得，质量大的星体是静止的，而质量小的星体则绕着质量大的星体做椭圆轨道运动。
拓展研究
以上所述为双星系统在其质情系中的运动。但是，实际观测时，我们并不处在双星系统的刚体位置。考虑到双星系统一般远离其他天体，可将其近似为一个理想的孤立系统，因不受外力，系统刚体静止或则做匀速直线运动，其中静止是在质情系中独有的特殊情况，匀速直线运动是在通常惯性参考系中观察到的普遍情况。为此，在双星系统椭圆轨道运动的基础上，叠加一个匀速直线运动，即可得到其在通常惯性参考系中的运动。
修改程序中所有图形对象的座标，在横座标和纵坐标的基础上分别叠加一个增量vxt和vyt，并绘出两星的运动轨迹，即可模拟双星系统在通常惯性参考系中的运动（这儿未考虑垂直于双星系统椭圆轨道平面方向的刚体平移运动份量vzt）。
作为示例，在此仅考察m1:m2=1:2，e1=e2=0.6的双星系统在vx=1，vy=0情况下的运动，图5中展示该双星系统运动三个周期后的黑白静态图，其中黑线代表两星在通常惯性参考系中的运动轨迹，而灰线则代表它们在质情系中的运行轨道以及它们之间的连线。
其相应的动态图清晰地展示了双星系统在通常惯性参考系中的运动，尽管其中的双星运动轨迹看似比较复杂，但实际上它们仅是在其相应的动态图所示的质情系中椭圆轨道运动的基础上，叠加了一个整体水平往右的匀速直线运动而产生的。考虑到通常情况下刚体也有顺着双星系统椭圆轨道平面法线方向的运动份量，双星运动轨迹会愈加复杂，但无论怎样，它们都可分解为刚体的平移运动和在质情系中两星各自的椭圆轨道运动。
本文借助软件强悍的数值估算功能、图形勾画功能、动画合成功能和程序设计功能，基于精典热学公式和定理，结合天文学相关数据，对行星、周期慧星和双星系统的运动进行了精确地动态模拟，作出了多种天体运动的动态疗效图，其中囊括：（1）以太阳为参考系的行星和周期慧星的运动；（2）以月球为参考系的行星和周期慧星的运动；（3）质情系中的双星系统的运动；（4）通常惯性参考系中的双星系统的运动。这种动态疗效图形象生动，特别有助于学习者构建清晰的化学图象，降低对行星、周期慧星和双星系统的直观认识，增进对天体运动规律的深入理解。
本文以天体运动的模拟为例介绍了基于的化学教学资源开发。就研究内容而言，行星和周期慧星的绕日公转运动属于一体运动问题，双星系统的运动是两体运动问题。这两类问题都有普适的解析解,理论上简约明晰，因此相应的运动便于模拟。
三体及其以上的多体运动问题不存在普适的解析解，具体问题的研究须要用到天体热学中的高阶理论和技巧，相对来说要困难好多，可以作为将来进行化学教学资源开发的一个拓展方向。天体热学在科学发展史上留下了浓墨工笔的一笔，其成就为人类深入理解宇宙垫定了基础，同时也为人类的航海和航天事业提供了帮助，在此方向开发教学资源，可以进一步拓展和迸发物理学习者的视野和兴趣。
化学学是研究物质基本组成单元、相互作用和运动规律的科学分支，运动和变化是化学学研究的核心主题。运用计算机软件将化学学中的运动和变化过程可视化为形象直观的动漫，可以帮助学习者降低感性认识，构建化学图象，甩掉物理桎梏天体物理专业代码，养成化学直觉。
因而，化学学专业的朋友早日接触估算化学学，在普通数学和四大热学等课程的学习过程中，进行一些仿真模拟方面的可视化研究，是一件十分有益的事情。正如本文研究内容所诠释的，作为一款功能强悍、用法简单、语法高贵的物理软件，是进行这类研究最为方便和有力的工具之一。
《中国学科发展战略·计算数学学》
《第八届全省学院生化学实验大赛(创新）第一轮通知》
《计算软件在估算化学课程中的地位与作用》
