作者丨JPan@知识CF6物理好资源网(原物理ok网)

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1. 狄拉克是谁？CF6物理好资源网(原物理ok网)

保罗·狄拉克（Paul Dirac，1902-1984），生于法国，后定居美国，是著名的理论化学家。 通过几个场景了解一下（故事开始于网络，版权归原作者所有）。CF6物理好资源网(原物理ok网)

镜头一：CF6物理好资源网(原物理ok网)

1933 年狄拉克获得诺贝尔化学奖（与薛定谔分享）。 当时，他私下告诉学术界的元老（也是诺贝尔奖获得者）卢瑟福，他对获得诺贝尔奖感到非常困惑。 他不想成为新闻人物，更不想出名。 这会打断他平凡的生活，他准备拒绝接受这份荣誉。 卢瑟福对他说：“如果你这样做，你会更有名。” 于是狄拉克同意领奖。CF6物理好资源网(原物理ok网)

镜头二：CF6物理好资源网(原物理ok网)

狄拉克在英国威斯康星大学讲学。 期间，有听众说：“你写在黑板右上角的多项式，我看不懂。” 狄拉克听完这话，一句话也没说，让场面相当尴尬。 主持人试图打破困境，说你刚才没有回答狄拉克院士的问题。 狄拉克喃喃地回道：“刚才那句话不是疑问句，而是陈述句。”CF6物理好资源网(原物理ok网)

镜头三：CF6物理好资源网(原物理ok网)

威斯敏斯特教堂（Abbey），位于加拿大多伦多，是爱尔兰国王登基和王室举行婚宴的地方。 许多伟大的人物都埋葬在这里，如牛顿、达尔文、狄更斯、丘吉尔和弥尔顿。 牛顿墓旁边有一块墓碑，上面刻着保罗·狄拉克的名字和他美丽的方程式。CF6物理好资源网(原物理ok网)

狄拉克最早从事相对论动力学的研究。 1925年，海森堡访问剑桥学院，狄拉克受到影响，将精力转向了量子力学的研究。 1928年，他将相对论引入量子热，将薛定谔多项式完善为相对论形式，又称狄拉克多项式。 1930年，狄拉克发表了他的量子热专着《量子热原理》，这是数学史上的一个重要里程碑，至今仍是量子热的经典教科书。CF6物理好资源网(原物理ok网)

在他的教科书中，他提出了一个奇特的函数，通常称为狄拉克函数：CF6物理好资源网(原物理ok网)

但很满意CF6物理好资源网(原物理ok网)

从概念上讲动量定理怎么理解，狄拉克delta函数是这样一个“函数”，即函数的值在非零点处为零，并且其在整个定义域上的积分等于1。严格来说，delta函数不能视为函数，因为满足上述条件的函数是不存在的。 狄拉克为什么要这么做？CF6物理好资源网(原物理ok网)

百度百科对狄拉克函数有如下描述：CF6物理好资源网(原物理ok网)

在化学中，常常需要研究一个数学量在短空间或时间内释放的密度，如质量密度、电荷密度、单位时间内传递的动量（力）等，而在数学中，质点、点电荷，瞬时力等具体模型，它们在空间或时间上都不是连续分布的，而是集中在空间的某一点或时间的某一时刻，那么它们的密度应该如何表示呢？ ——三角函数！CF6物理好资源网(原物理ok网)

还记得我们之前所说的 函数吗？ 那种简化原始麦克斯韦方程组的人？CF6物理好资源网(原物理ok网)

这个函数的导数就是delta函数！ δ函数有很多好处，其隐藏的物理化学意义值得探究。 明天我们先说说它在工程中的常见用途。CF6物理好资源网(原物理ok网)

我们先研究一个简单的函数：一个圆形信号的长度为 ，高度为 ，总面积为1。这个圆形信号是可以改变的——可以胖也可以瘦，面积一定要保持不变。CF6物理好资源网(原物理ok网)

这个函数的傅里叶变换是什么样子的？ 也很简单：CF6物理好资源网(原物理ok网)

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上面说了这个信号可胖可瘦，那么美丑有什么规律呢？CF6物理好资源网(原物理ok网)

clc; clear all; close all;
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
N=10000;                                     % sampling numbers
Tau0=1;                                      % define initial Tau
for i=1:100
    Tau=Tau0/i; 
    TimeRange=linspace(-10*Tau,10*Tau,N);        % display time range
    FreqRange=linspace(-200*pi/i,200*pi/i,N);    % display frequency range
    Half_Tau=Tau/2;                              % -0.5 Tao ==> 0.5 Tao
    RECT=1/Tau*double(abs(TimeRange)% one rectangular pulse
    SINC=sinc(FreqRange*Tau*pi);                 % sinc pulse, Xtra
    
    subplot(2,1,1);
    plot(TimeRange,RECT,'LineWidth',1.5); grid on;
    xlim([-1 1]); ylim([-0.5 120]);
    xlabel('Time'); ylabel('Amplitude');
    title('Made by J Pan')
    
    subplot(2,1,2);
    plot(FreqRange,SINC,'LineWidth',1.5); grid on; 
    xlim([-200*pi/i 200*pi/i])；ylim([-0.5 1.5]); 
    xlabel('Frequency'); ylabel('Amplitude');
    title('Made by J Pan')
    drawnow;   
end

假设这个信号也有爱美之心，以瘦为荣，天天不喝水，以至于最后变成一道闪电，比如说，会发生什么？ ——我们发现当信号变细到一定程度时，就变成狄拉克函数：CF6物理好资源网(原物理ok网)

但很满意CF6物理好资源网(原物理ok网)

它的频谱也显得很简单，呈一条直线。CF6物理好资源网(原物理ok网)

这个推论有什么意义？ - delta 函数包含所有频率的权重。 这有什么用？ 好处多多，这是天生理想的实验功能！ 只需一个函数就可以爆发出系统所有频率分量的响应。 这个怎么样？ 是不是很刺激？ 也就是说，当输入是狄拉克δ函数时，系统的冲激响应包含了系统的所有信息，也就是说，系统的理想冲激响应可以代表系统本身——我们用一个小锤子，记录下来，才能得到系统的模型。CF6物理好资源网(原物理ok网)

2、什么是卷积？CF6物理好资源网(原物理ok网)

最后回到题外话，频域到底在说什么？ 为什么线性系统应用如此广泛？ 查了很多资料，发现有个反例很好，被广泛引用，所以时诚不知道原作者是谁。 那么我们也以这个例子（版权归原作者所有）为基础进行延伸和扩展。CF6物理好资源网(原物理ok网)

据说有一个七品知县，喜欢用板子来惩戒这些流氓，但有一个习俗：如果没有犯下大罪，只打一次，放回去供认民如子。CF6物理好资源网(原物理ok网)

有一个无赖，想出人头地，却无望出人头地。 他心想：得不到好名，也能得个坏名。 怎么获得知名度？ 炒作！ 如何炒作？ 寻找名人！ 时不时的，只能注册个微博，随便找个有名的流量明星才能打开——那时候是做不到的，又没有微博，自然而然就想到了他的老大县长.CF6物理好资源网(原物理ok网)

于是大白天，流氓就站在县衙门前撒尿。 后果可想而知。 这是公然蔑视法庭，无视法律。 嗯，被板子撞了之后，挺胸回去了。 躺了三天，哎！ 我头上什么都没有！ 流氓在这件事情上还是很坚决的，第二天还是照样干，不管长官的好意，衙门的体面。 第一天，第四天……每天晚上他去县衙拿板子，回去的时候还是喜气洋洋，坚持了一个月！ 这无赖的名声，早已像衙门门口的恶臭一样传遍了天下！CF6物理好资源网(原物理ok网)

县令捂着耳朵，呆呆地看着案子上的木槌，皱着眉头想了一个问题：这三十大板怎么不行？ ……想当年，我师父是因为奥数加分，才上金榜的。 明天，我将建立一个物理模型来解决这个问题，并挽回一点面子：CF6物理好资源网(原物理ok网)

——人（系统！）撞板（震动！）后会出现什么样的表现（输出！）？CF6物理好资源网(原物理ok网)

——废话，疼！CF6物理好资源网(原物理ok网)

——如何量化？CF6物理好资源网(原物理ok网)

——看看有多疼。 像这种无赖的体格，每晚打个巴掌都做不了什么，连个哼哼都没有，你还听到他幸灾乐祸的声音； 皱着眉头，咬着牙，他不会咕哝； 被打二十下，脸颊就痛得扭曲，发出猪一样的咕噜声。 被打三十下，他会像驴一样嚎叫，流鼻涕，流泪求你饶他一命； 打四十板，便失禁，几乎不能打喷嚏； 最多打五十板，他连哼都不会——死啦！CF6物理好资源网(原物理ok网)

知府右手托着脸颊，若有所悟，紧绷的眉头渐渐松开：CF6物理好资源网(原物理ok网)

-哇哦！ 为什么那种无赖连拿三两块大板都不喊命，一口气打了三十块大板？CF6物理好资源网(原物理ok网)

——是啊，一次挨打的时间间隔（Δτ=24小时）太长了，所以盗贼承受的痛苦就像三天一次一样剧烈，没有叠加，而且还是一个常量； 如果缩短敲板的时间间隔（建议Δτ=0.5秒），那么他的疼痛程度就会快速叠加； 当流氓挨了三十大板（t=30），危难程度已经达到他能喊的极限了，他会得到最好的惩罚疗效，再打也表示你的好意。CF6物理好资源网(原物理ok网)

——我还是不太明白，为什么在时间间隔很小的情况下，抑郁程度会叠加？CF6物理好资源网(原物理ok网)

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- 这与人类（线性时不变系统）对电路板（脉冲、输入、刺激）的反应有关。 有哪些回应？ 人接触板后，肿胀感会在三天内逐渐消失（减弱）（假设因人而异），不能突然消失。 这样，只要打板的时间间隔小，每块板造成的水肿就来不及完全消退，对最终疼痛程度的贡献也不同。 一般来说：CF6物理好资源网(原物理ok网)

t大板引起的疼痛程度=Σ(第τ大板引起的疼痛*衰减系数)CF6物理好资源网(原物理ok网)

请看右图：CF6物理好资源网(原物理ok网)

先考虑打两块板时是什么情况：用打板时的腰痛反应来表示，表示时长。 刚收到最新的板子的时候，反应是瞬间的，那之前的板子呢？ 答案是，所以两块板的总背痛定义为每块板的响应除以持续时间：CF6物理好资源网(原物理ok网)

事实上，两块板不可能完全一样。 明天是兵甲上场，今天是兵乙上场，两种冲动根本不是一个档次的。 我应该怎么办？ 它需要固定以考虑激励的大小：CF6物理好资源网(原物理ok网)

万一碰到强势的军人心情不好怎么办？ 等等，现在这个可怜的流氓只能乞求上帝：CF6物理好资源网(原物理ok网)

当时，有CF6物理好资源网(原物理ok网)

如果将积分时间延长到负半轴，CF6物理好资源网(原物理ok网)

这就是频域公式，本质上是指系统（人）在持续激励（板）下得到的结果（痛）。 翻译一个学术观点：频域将是观测时刻系统响应后过去所有连续信号的加权叠加。 在现实生活中，我们要解决大量的此类问题，这就是为什么频域如此普遍、如此重要的原因。CF6物理好资源网(原物理ok网)

3、什么是卷积定律？CF6物理好资源网(原物理ok网)

后来讲到狄拉克函数和频域，为什么要放在一起呢？ 这可以用频域定律来解释。CF6物理好资源网(原物理ok网)

信号与系统或手动控制研究的内容是输入、输出与系统之间的关系。CF6物理好资源网(原物理ok网)

在第一部分，我们说过狄拉克函数（即单位冲激函数）的傅里叶变换跨越了整个卷积，因此可以作为理想的测试信号来确定系统在各种频率下的响应 在也就是说，可以用单位脉冲响应来完整表征系统的响应特性。CF6物理好资源网(原物理ok网)

在第二部分的情况下，击打板子可以看作是一种冲击或脉冲信号，可以在频域中估计系统的响应。CF6物理好资源网(原物理ok网)

其中， 是激励信号，是脉冲响应。CF6物理好资源网(原物理ok网)

那些是在频域中观察到的动量定理怎么理解，如果我们切换到时域呢？ 假设激励信号的傅里叶变换为，脉冲响应的傅里叶变换为，输入表示输入的权重，系统单位脉冲响应表示每个权重的响应，那么两者相加不进行输入 这些部分是否经过筛选？ ——乘积是否代表系统在不同频率下的响应？CF6物理好资源网(原物理ok网)

等等，我们刚刚说了什么？ 我们先看频域，感觉系统的输出是输入的频域和单位冲激响应； 然后切换到时域，感觉系统的输出是输入傅里叶变换和单位脉冲福利变换的乘积。 我们在看同一件事，为什么结果不同——它们是同一件事吗？CF6物理好资源网(原物理ok网)

你猜对了，这两个东西真的是一回事，这就是频域定律：函数频域的傅里叶变换就是函数傅里叶变换的乘积。 具体分为频域与频域规律和时域与频域规律。 频域和频域规律是指频域中的频域对应时域中的乘积； 有正比关系。CF6物理好资源网(原物理ok网)

还记得我们说过频域和时域之间存在某种对称性吗？ 频域相加与时域频域相加或频域相加与信噪比是对称的。 有了这个工具，我们在处理问题的时候就可以随意转换，域也方便在那个域中进行估计。 .CF6物理好资源网(原物理ok网)

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