点作平面曲线运动的情况有很多，以下是一些常见的例子：
1. 匀速圆周运动：一个点沿着一个圆周平滑地进行运动，速度的大小保持不变，但方向不断变化。
2. 抛物线运动：一个点沿着一个抛物线形的路径进行运动。
3. 双曲线运动：一个点沿着双曲线形的路径进行运动。
4. 螺旋线运动：一个点沿着螺旋形的路径进行运动。
5. 弹性碰撞：在碰撞过程中，一个点在两个物体的相互作用下进行运动，通常遵循一定的物理规律。
6. 粘性流动：在粘性流动中，一个点在流体中运动时，会受到流体的粘性阻力的影响，使其速度和方向不断变化。
7. 非线性运动：非线性运动是指点的运动轨迹不是简单的直线或圆弧，而是复杂的非线性曲线。
以上是一些常见的例子，实际上点作平面曲线运动的种类非常多，可以根据不同的物理规律和条件进行分类和描述。
假设我们有一个质点，它从原点开始，受到一个力F的作用，力F的方向与x轴成45度角。这个力的作用使得质点开始沿着一条曲线运动。我们可以通过设定质点的位置和速度来描述这个运动。
假设t为时间，那么在t时刻，质点的位置可以表示为(x(t), y(t))，其中x(t)和y(t)是时间t的函数。为了简化问题，我们可以假设质点沿着一条简单的二次曲线运动，即：
x(t) = a t^2
y(t) = b t
其中a和b是常数，由初始条件确定。在这个例子中，我们可以选择a=1, b=1，这样质点就会以初始速度开始沿着一条抛物线运动。
质点的速度v(t)可以通过对位置函数求导得到：
v(t) = x'(t) i + y'(t) j
其中i和j是平面的两个单位向量。在这个例子中，我们可以得到v(t) = (2t, 1)。
