模态分析是振动分析的一个主要领域，用于确定结构或机器部件的振动特性，如频率、阻尼等。以下是一些与模态分析相关的物理公式：
1. 自由振动公式：对于自由振动，一个无阻尼自由振动的模态具有以下公式形式：
x_i(t) = A_i exp(i f_i t)
其中，x_i 是第 i 个模态的位移，A_i 是模态大小，f_i 是频率，t 是时间。
2. 模态叠加原理公式：模态叠加原理是模态分析的基础。在多自由度系统中，如果一个系统受到一系列激励，且这些激励的频率与系统的模态频率接近，那么这些激励引起的响应可以通过各个模态的响应进行叠加得到。模态叠加原理公式如下：
x(t) = Σ xi exp(i fi t) w_i exp(i theta_i)
其中，x(t) 是总响应，xi 是第 i 个模态的位移，fi 是第 i 个模态的频率，w_i 是模态权重，theta_i 是阻尼比。
3. 阻尼公式：阻尼是系统衰减振动的原因。阻尼公式描述了阻尼对振动衰减的影响。对于线性阻尼系统，阻尼公式如下：
d^2x/dt^2 = -2zetaomegax + kx
其中，x 是位移，d^2x/dt^2 是二阶导数，zeta 是阻尼比，omega 是角频率，k 是刚度。
这些公式只是模态分析的一部分，具体应用中可能还需要考虑其他因素。
公式：
$$M \ddot{x} + C \dot{x} + K x = 0$$
其中：
$M$ 是质量矩阵，表示结构的质量分布；
$C$ 是阻尼矩阵，表示结构的阻尼效应；
$K$ 是刚度矩阵，表示结构的振动刚度；
$\dot{x}$ 是速度，表示结构的振动速度；
$\ddot{x}$ 是加速度，表示结构的振动加速度。
例题：
假设有一座桥，其结构形式为悬索桥，桥面由许多钢丝构成。为了评估这座桥的振动特性，需要进行模态分析。已知桥的质量分布为：$M = \left[ 1000, 0, 0 \right]$ kg，钢丝的阻尼系数为：$C = 5 \times 10^{- 3}$ kg/s，钢丝的弹性系数为：$K = 5 \times 10^{6}$ N/m。
$$M \ddot{x} + C \dot{x} + K x = 0$$
其中 $x$ 表示桥面在垂直方向上的位移。将已知数据带入方程中，得到：
$$[1000, 0, 0] \times \ddot{x} + [5 \times 10^{- 3}, 0, 0] \times \dot{x} + [5 \times 10^{6}, 0, 0] \times x = 0$$
为了求解该方程，需要使用数值方法，如有限差分法或有限元法。求解得到桥面在垂直方向上的振动模态，即可评估该桥的振动特性。
