光的折射公式有多种形式，其中最常用的是斯涅尔折射定律和费马原理。以下是这些公式的证明方法：
1. 斯涅尔折射定律的证明：
斯涅尔折射定律指出，光线从光密介质射入光疏介质时，折射光线相对于入射光线偏折。其数学表达式为：n1sinθ1 = n2sinθ2其中，n1和n2分别是两种介质的折射率，θ1和θ2分别是入射光线和折射光线的入射角。
证明斯涅尔折射定律的方法有多种，其中一种基于几何光学的方法是利用费马原理的推导。费马原理指出，光线在任意两点之间传播的最短路径是满足折射和反射规律的路径。因此，可以通过求解光线路径，使用费马原理的推导方法来证明斯涅尔折射定律。
2. 费马原理的证明：
费马原理是光的传播的基本原理之一，它指出光在任意时刻和位置的传播满足折射和反射规律。费马原理可以通过几何光学和波动光学的方法来证明。
在几何光学中，费马原理可以表述为光线的传播满足费马最短时间原理，即光线在任意两点之间传播的最短路径是满足折射和反射规律的路径。在波动光学中，费马原理可以表述为光线的传播满足波动方程的边界条件，即光线在界面上满足折射和反射规律。
总之，光的折射公式有多种形式，其中斯涅尔折射定律是最常用的公式之一。其证明方法包括几何光学和波动光学的推导方法。费马原理也是光的折射的基本原理之一，其证明方法包括几何光学和波动光学的表述方式。
光的折射公式通常指的是斯涅尔折射定律，其形式为入射角的正弦与折射角的正弦之比为一常数。这个公式可以通过几何光学的方法进行证明，也可以通过物理理论进行推导。
假设光线从介质1（空气）射入介质2（水），入射角为i1，折射角为i2。我们可以使用费马原理（Fermat's principle）来推导出折射定律。费马原理指出，光线在介质分界面上的位置将使得光线传播的时间最短。
在介质1中，光线可以看作是沿着一条直线传播的，因此我们可以写出入射光的路径方程为：
r1 = x1 + y1 = c1
其中x1和y1是入射点坐标，c1是入射光线在介质1中的传播距离。
在介质2中，光线仍然可以看作是沿着一条直线传播的，但是它需要经过折射才能到达接收器。因此，我们可以写出折射光的路径方程为：
r2 = x2 + y2 = c2
其中x2和y2是折射点坐标，c2是折射光线在介质2中的传播距离。
由于光速在介质中的传播速度不同，因此折射光线和入射光线之间的夹角i1和i2也不同。我们可以使用费马原理来求解这两个角度之间的关系。根据费马原理，折射角i2应该使得光在介质2中的传播时间最短。因此，我们可以使用几何关系来求解折射角i2与入射角i1之间的关系，并得到斯涅尔折射定律的公式：
sin(i2) / sin(i1) = c2 / c1
