模态分析是振动分析的一个主要领域，用于确定结构或机器部件的振动特性，如频率、阻尼等。以下是一些与模态分析相关的物理公式：
1. 自由振动公式：对于自由振动，一个无阻尼自由振动的模态具有以下形式：
mω²x=0
x=Acos(ωt+ψ)
其中，m是质量，ω是角频率，t是时间，A是振幅，ψ是初始相位。
2. 固有振动公式：对于固有振动，一个有阻尼自由振动的模态具有以下形式：
mω²x=−cω²ψ
x=Acos(ωt+ψ)−cω2ψ=−∫t0dx/ω2A=∫t0(−cψ)dx/ω2
其中，c是阻尼比，表示阻尼对模态振荡的影响。
3. 模态叠加原理：模态分析中一个重要的原理是模态叠加原理，它指出如果一个系统的所有模态都相互作用，那么系统的总响应就是各个模态响应的叠加。
4. 模态分析中的能量守恒公式：在模态分析中，能量守恒是一个重要的概念。如果一个系统从一个模态转换到另一个模态，那么能量的转换必须保持总能量不变。
需要注意的是，这些公式只是模态分析中的一部分，并且具体的公式可能会根据不同的应用和假设而有所不同。在进行模态分析时，需要考虑到具体的物理环境和系统特性。
公式：
$$M \ddot{x} + C \dot{x} + K x = 0$$
其中：
$M$ 是质量矩阵，表示结构的质量分布；
$C$ 是阻尼矩阵，表示结构的阻尼效应；
$K$ 是刚度矩阵，表示结构的振动刚度；
$\dot{x}$ 是速度，表示结构的振动速度；
$\ddot{x}$ 是加速度，表示结构的振动加速度。
例题：
假设有一座桥，其结构形式为悬索桥，桥面由许多钢丝构成。为了评估这座桥的振动特性，需要进行模态分析。已知桥的质量分布为：$M = \left[ 1000, 0, 0 \right]$ kg，钢丝的阻尼系数为：$C = 5 \times 10^{- 3}$ kg/s，钢丝的弹性系数为：$K = 5 \times 10^{6}$ N/m。
$$M \ddot{x} + C \dot{x} + K x = 0$$
其中 $x$ 表示桥面在垂直方向上的位移。将已知数据带入方程中，得到：
$$(1000 \times \omega^{2}) \times (x) + (5 \times 10^{- 3}) \times (\omega \times x) + (5 \times 10^{6}) \times x = 0$$
其中 $\omega$ 是桥面振动角频率。解这个方程可以得到桥面在垂直方向上的振动位移 $x$。通过多次重复这个过程，可以获得桥在不同频率下的振动特性。
需要注意的是，模态分析的结果受到许多因素的影响，如结构的质量分布、阻尼系数、刚度等。因此，在实际应用中，需要结合实际情况对模态分析的结果进行校准和验证。
