1、刚体定轴转动的角动量定律和角动量守恒定理质心定轴转动的角动量定律和角动量守恒定理l质心定轴转动对轴上一点的角动量质心定轴转动对轴上一点的角动量（自学）（自学）：结结论：论：通常情况下，质心定轴转动对轴上一点的角动通常情况下，质心定轴转动对轴上一点的角动量并不一定沿角速率（即转轴）的方向，而是与其量并不一定沿角速率（即转轴）的方向刚体的角动量定理公式，而是与其成一定倾角；成一定倾角；但对于质量分布与几何形状有共同对但对于质量分布与几何形状有共同对称轴的质心，当绕该对称轴转动时，质心对轴上任称轴的质心，当绕该对称轴转动时，质心对轴上任一点的角动量与角速率的方向相同一点的角动量与角速率的方向相同.现今讨论扭力
2、对时间的积累效应。现今讨论扭矩对时间的积累效应。对于对于定轴转动质点系：定轴转动质点系：质点系：质点系：（质点系的角动量定律）（质点系的角动量定律）MdtdL外对点：对点：dLMdt外l现今讨论扭矩对时间的积累效应。现今讨论扭矩对时间的积累效应。（定轴角动量守恒定理）（定轴角动量守恒定理）（可以不是质心，也可以是一个或几个质心）（可以不是质心，也可以是一个或几个质心）假如假如0M外，（角动量守恒定理）（角动量守恒定理）L常量则则假如假如0zM，常量常量zL则则质心定轴转动的角动量定律和角动量守恒定理质心定轴转动的角动量定律和角动量守恒定理1.质心定轴转动（对轴）的角动量质心定
3、轴转动（对轴）的角动量ii.质心定轴转动的角动量定律质心定轴转动的角动量定律()iiirmr()2()iiimr=tdLLL则则质心作定轴转动的转动质心作定轴转动的转动力矩力矩保持不变，则保持不变，则I质心定轴转动的角动量定律质心定轴转动的角动量定律tII3质心定轴转动的角动量守恒定理质心定轴转动的角动量守恒定理0MLI常量，则，则若若l非质心定轴转动的角动量定律非质心定轴转动的角动量定律tIIl质心角动量定律
4、：质心角动量定律：作用在质心上的冲量矩等于质心角动量的增量。作用在质心上的冲量矩等于质心角动量的增量。3质心定轴转动的角动量守恒定理质心定轴转动的角动量守恒定理0MLI常量，则，则若若l若系统对定轴的外扭力之和为零，则系统对此固定若系统对定轴的外扭力之和为零，则系统对此固定轴的角动量守恒。轴的角动量守恒。-对定轴的角动量守恒对定轴的角动量守恒若质心由几部份组成，且都绕同一轴转动，若质心由几部份组成，且都绕同一轴转动，但角动量可在内部传递。但角动量可在内部传递。c.，当当时时角动量守恒定理是自然界的一个基本定理角动量守恒定理是自然界的一个基本定
5、律.内扭力不改变系统的角动量内扭力不改变系统的角动量.守守恒条件恒条件:0M若若不变，不变，不变；若不变；若变，变，也变，但也变，但不变不变.ILII3质心定轴转动的角动量守恒定理质心定轴转动的角动量守恒定理0MLI常量，则，则若若讨论讨论在在冲击冲击等问题中等问题中L常量常量有许多现象都可以有许多现象都可以用用角动量守恒角动量守恒来说明来说明.自然界中存在多种守恒定理自然界中存在多种守恒定理2动量守恒定理动量守恒定理2能量守恒定理能量守恒定理2角动量守恒定理角动量守恒定理2电荷守恒定理电荷守恒定理2质量守恒定理质量守恒定理2宇称守恒定理等宇称守恒定理
6、等花样溜冰花样溜冰跳水运动员跳水跳水运动员跳水圆圆柱锥摆摆子炮弹弹击击入入杆杆ov以炮弹和杆为系统以炮弹和杆为系统机械能机械能不不守恒守恒.角动量守恒；角动量守恒；动量动量不不守恒；守恒；以炮弹和沙包为系统以炮弹和沙包为系统动量守恒动量守恒；角动量守恒；角动量守恒；机械能机械能不不守恒守恒.圆柱摆系统圆柱摆系统动量动量不不守恒；守恒；角动量守恒；角动量守恒；机械能守恒机械能守恒.讨讨论论子子弹弹击击入入沙沙袋袋细细绳绳质质量量不不计计下边几种情况系统的动量、角动量和机械能下边几种情况系统的动量、角动量和机械能是否守恒？是否守恒？例例:质量很小宽度为质量很小宽度为l
7、的均匀细杆的均匀细杆,可绕开其中心可绕开其中心O并与纸面垂直的轴在竖直平面内转动并与纸面垂直的轴在竖直平面内转动.当细杆静止于水平当细杆静止于水平位置时位置时,有一只虫子以速度有一只虫子以速度垂直落在距点垂直落在距点O为l/4处处,并并背离点背离点O向细杆的端点向细杆的端点A爬行爬行.设虫子与细杆的质量均为设虫子与细杆的质量均为m.问问:欲使细杆以恒定的角速率转动欲使细杆以恒定的角速率转动,虫子应以多大速度虫子应以多大速度向细杆端点爬行向细杆端点爬行?0v220)4(解解:虫子与细杆的碰撞视为完全非弹性碰撞，碰虫子与细杆的碰撞视为完全非
8、弹性碰撞，碰撞前后系统角动量守恒撞前后系统角动量守恒l0712v由角动量定理由角动量定律()dLdgrdd2)121(即即考虑到考虑到()例：例：圆盘（圆盘（R，M），人（），人（m）开始静止，人）开始静止，人走一周，求盘相对地转动的角度走一周，求盘相对地转动的角度.解：解：系统对转轴系统对转轴角动量守恒角动量守恒21ImR人人，盘，盘dId21200IdI)(M=0（对地的角位移）（
9、对地的角位移）例：例：圆盘质量圆盘质量M,,直径直径R,,J=MR2/2,,转轴光滑转轴光滑,,人的质量人的质量m,,开始时，开始时，二者静止二者静止求：人在盘上沿边求：人在盘上沿边沿走过一周时，盘对地面转过缘走过一周时，盘对地面转过的角度的角度解：解：在走动过程中在走动过程中,,人盘系统人盘系统L=const.设设任意任意时刻，人对盘时刻，人对盘:；盘对地；盘对地:则有则有0)(Mml作作业：业：7.4.3.l思思考：考：7.4.1.例例:已知均匀直杆已知均匀直杆((l,,M),),一端挂在光滑水
10、平轴上，开始时静止一端挂在光滑水平轴上，开始时静止在竖直位置，有一炮弹（在竖直位置，有一炮弹（m..voo))水平射入而不复出。求杆与炮弹水平射入而不复出。求杆与炮弹一起运动时的角速率一起运动时的角速率..解：解：炮弹步入到一起运动，顿时完成炮弹步入到一起运动，顿时完成.系统（炮弹系统（炮弹+棒）棒）外力：外力：重力、轴的斥力重力、轴的斥力对轴的扭矩为零对轴的扭矩为零角动量守恒角动量守恒动量守恒？动量守恒？201())3/(30()vl方向？方向？22121()或或l结合本章教材习题结合本章教材习题7.3.6（严打中
11、心）（严打中心），在哪些情况，在哪些情况下，上页例题中系统下，上页例题中系统（炮弹与杆）（炮弹与杆）的动量在碰撞严打前后的动量在碰撞严打前后保持守恒？保持守恒？()/(34)mvMml2()(()碰撞前后系统的动量：碰撞前后系统的动量：(2)所以，系统所以，系统（炮弹与杆）（炮弹与杆）的互相斥力作用在严打中心时，的互相斥力作用在严打中心时，动量在碰撞严打前后保持守恒动量在碰撞严打前后保持守恒.系统对轴的角动量守恒系统对轴的角动量守恒例：例：质量为质量为M，长
12、为，长为l的均匀棒，如图，若用水平力严打在离轴下的均匀棒，如图，若用水平力严打在离轴下y处，求：轴反力处，求：轴反力解：轴反力设为解：轴反力设为由转动定律：由转动定律：为作用时间为作用时间得到：得到：由刚体运动定律：由刚体运动定律：切向：切向：法向：法向：于是得到于是得到：FlyRx)231()(9例题例题如图所示，一质量为如图所示，一质量为m的炮弹以水平速率射入一静止的炮弹以水平速率射入一静止悬于顶端长棒的上端，穿出后速率损失悬于顶端长棒的上端，穿出后速率损失3/4，求炮弹穿出
13、后，棒，求炮弹穿出后，棒的角速率的角速率，已知棒长为，已知棒长为l，质量为，质量为M.003()4fdtmvvmv炮弹对棒的反斥力炮弹对棒的反斥力对棒的冲量矩为对棒的冲量矩为fff由解解以以f代表棒对炮弹的阻力，对于炮弹有代表棒对炮弹的阻力，对于炮弹有fldtlf思索题思索题：11、此题能否用炮弹和棒的弱冠动量守恒来作？、此题能否用炮弹和棒的弱冠动量守恒来作？22、子弹和棒的总动量在水方向上是否守恒？、子弹和棒的总动量在水方向上是否守恒？33、若将杆换成软绳系一质量为、若将杆换成软绳系一质量为M的
14、重物，在的重物，在水平方向上动量是否守恒？水平方向上动量是否守恒？44、机械能是否守恒？、机械能是否守恒？l质心的重心质心的重心重心重心质心处于不同方位时质心处于不同方位时,重力作用线都要通过的那一点重力作用线都要通过的那一点.如图如图,被悬挂质心处于静止被悬挂质心处于静止,C为重心为重心,因因C不动不动,可视为可视为转轴转轴.由于质心静止由于质心静止,所以诸体元重力对所以诸体元重力对C轴合扭力为零轴合扭力为零.)(gmWii则重心座标与刚体座标同，但概念不同则重心座标与刚体座标同，但概念不同.力偶是质量力偶是质量
15、中心，其运动服从刚体运动定律中心，其运动服从刚体运动定律.重心是重力合力作重心是重力合力作用线通过的那一点用线通过的那一点.若取若取典型事例典型事例例题例题如图如图(a)表示直径为表示直径为R的放水圆弧闸门，可绕图中的放水圆弧闸门，可绕图中左方质点转动，总质量为左方质点转动，总质量为m,刚体在距转轴刚体在距转轴处，闸处，闸门及钢架对质点的总转动力矩为门及钢架对质点的总转动力矩为,可用钢丝可用钢丝绳将圆弧闸门提起放水刚体的角动量定理公式，近似觉得在开始提高时钢架绳将圆弧闸门提起放水，近似觉得在开始提高时钢架部份处于水平，圆弧部份的切向加速度为部份处于水平，圆弧部份的切向加速度
16、为a=0.1g，g为为重力加速度重力加速度,不计磨擦不计磨擦,不计水压强不计水压强.R32图图(a)（1）求开始提高时的瞬时，钢丝绳对圆弧闸门的拉力）求开始提高时的瞬时，钢丝绳对圆弧闸门的拉力和质点对闸门钢架的支承力和质点对闸门钢架的支承力.（2）若以同样加速度提高同样重量的平板闸门）若以同样加速度提高同样重量的平板闸门图图(b)需拉力是多少？需拉力是多少？TFW图图(b)图图(a)解解（1）以圆弧闸门及钢架）以圆弧闸门及钢架为隔离体，受力如图为隔离体，受力如图(a)所示所示.构建直角座标系完善直角座标系Oxy，向向x及及y轴投影得轴投影
17、得依照转动定律依照转动定律NT0Razcy32起动时起动时按照刚体运动定律按照刚体运动定律即起动瞬时绳对闸板的拉力为即起动瞬时绳对闸板的拉力为，质点，质点O对闸门钢对闸门钢架的支承力竖直向下，大小等于架的支承力竖直向下，大小等于29mg/90.图图(b)0NxF(2)用用表示提高平板形闸门所用的拉力，对闸门应用牛表示提高平板形闸门所用的拉力，对闸门应用牛顿第二定理，得：顿第二定理，得：比较前面结果，可见提高圆弧闸门
18、比较前面结果，可见提高圆弧闸门所用的拉力较小所用的拉力较小.mamgFT例题例题如图表示一种用实验方式检测转动力矩的装置。待如图表示一种用实验方式检测转动力矩的装置。待测质心装在转动架上，线的一端绕在转动架的车钩上，测质心装在转动架上，线的一端绕在转动架的车钩上，线与线轴垂直，车钩的轴体直径为线与线轴垂直，车钩的轴体直径为r，线的另一端通过定，线的另一端通过定滑轮悬挂质量为滑轮悬挂质量为m的重物，已知转动架力矩为的重物，已知转动架力矩为I0，并测得，并测得m自静止开始下落自静止开始下落h高度的时间为高度的时间为t,求待测物体的转动求待测物体的转动力矩力矩I，不计两轴承处的磨擦，不计
19、滑轮和线的质量，线，不计两轴承处的磨擦，不计滑轮和线的质量，线的宽度不变的宽度不变.解解分别以质点分别以质点m和转动系统和转动系统I+I0作为研究对象，受力作为研究对象，受力剖析如图剖析如图.2T)(ra022)12(例题例题如图所示，将一根质量为如图所示，将一根质量为m的长杆用细绳从两端水平的长杆用细绳从两端水平地挂上去，其中一根绳子忽然断了，另一根绳内的张力是多少？地挂上去，其中一根绳子忽然断了，另一根绳内的张力是多少？解解设杆长为设杆长为2l，刚体运动定律和转动定律给出绳断的一刹，刚体运动定律和转动定律给出绳断的一霎那的运动多项式：那的运动多项式：式中转动力矩式中转动力矩。因在此时刻。因在此时刻悬绳未断的一端的速率为悬绳未断的一端的速率为0，因而在刚体，因而在刚体的加速度和角加速度之间有的加速度和角加速度之间有2(2)3Iml如下关系：如下关系：cal4.Tmg得绳中张力得绳中张力
