给出动量定律在流动中的彰显方式，首先是剖析流动与受力的关系，之后得出简单流动的动量多项式。当流动较为复杂时，要采用微分方式，也就是拉维斯托克斯多项式，简称NS多项式。最后，剖析动量多项式中各项的含意，并针对具体的流动粒子看一下它的应用。
01
PART
流体与受力
流体的运动遵守牛顿定理，所以流动方式直接作用于流体上的力。
来看一个变截面通道内的流动与压力的变化。这个流动属于不可压缩流动，流速与流道横截面积成正比，而各截面处的压力则可以从吸上来的火柱高度来判别。可以看出，截面越小动量定理在流体中的应用，流速越大，而压力就越低。通常这些流动用于伯努利原理的解释动量定理在流体中的应用，但从根本上来说，流体遵照的是牛顿定理。
这儿给出三个流向位置的速率，从截面积判定，V2小于V1，V3大于V2。
流体的加减速是怎样形成的呢？现今只研究收缩段，剖析流体经过收缩段加速的诱因。在收缩段中部，取一个流体微团。其实，这个流体微团具有往右的加速度，这么它所遭到的合力就应当是往右的。这个合力只能是它四周的流体给他的，准确的说是压差力形成的。这儿画出微团表面的压力分布，可以看出两侧的压力小于左边产生的压差力，这就是微团加速运动的诱因了。
通过收缩段的所有流体微团都是在这样的压差力作用下加速的。把整个收缩段看作一个控制体，一定是进口的压力大，出口的压力小。与压差力对应，收缩段进口流速小，出口流速大。所以，流体的加减速运动从根本上来看是依循牛顿第二定理的。
如今我们再来看一个汽球漏气时的推力问题。倘若直接对汽球内的二氧化碳应用牛顿第二定理，公式是这样：
式中，m为二氧化碳的质量，v为二氧化碳的速率，这属于拉格朗日法。
假如用
表示二氧化碳单位时间内的动量变化，这个动量变化是多少呢？这要把二氧化碳分为两部份，考虑保持在汽球内的和从喷管排出的。
假定从喷管排出的二氧化碳流速是v，单位时间排出的二氧化碳质量是δm，这么所有二氧化碳的动量变化是δm除以v吗？不完全是，由于汽球内的二氧化碳质量发生了变化，但是形成了一定的流动，所以整体的动量变化是两部份之和，也就是还在汽球内那部份二氧化碳的动量的变化和流出那部份二氧化碳的动量变化。
把动量变化带入到牛顿第二定理公式中，就得到了这样的关系：
这儿左侧第一项是控制体内动量的变化；第二项是流出控制体的动量。这个等式是针对控制体的，所以是欧拉法的动量多项式。在好多问题中流动是定常的，既控制体内的性质不随时间变化，这时作用于控制体上的力的疗效是使进出控制体的流体动量不同。
这个关系式适用于进出口处是一维流动的情况，这时动量流量可以用质量流量与速率的乘积来表示。
如今我们来看这样一个问题，这是一些静止的空气微团，现今有客机从这种空气中划过，微团遭到扰动后的运动趋势是这样的。
这其实是客机给她们的斥力引起的。我们晓得匀速飞行的客机上大体有四种力的作用，分别是重力、升力、推进力和阻力。这四种力中，不仅重力以外，其他三种力都是气流对客机的斥力，气流给客机提供向下的升力，对应着客机给气流向下的斥力。依据动量多项式客机给空气向上的力，空气就具有了向上的速率，在水平方向上。客机外表面推动空气往前运动，而底盘则把空气排向后方。被客机带动向前的空气给客机向后的阻力，而被底盘排向后方的空气给客机往前的推力。由于客机匀速飞行时，推动力和阻力是相等的，所以客机掠过后，空气整体并无水平方向的速率，但具有向上的速率。
从动量多项式的角度来说，所有借助空气形成升力的物体都须要把空气排向上方。这些理解升力的思路在直升机上更好理解。我们都晓得，直升机是靠涵道把空气排向上方来形成升力的。动物飞行也是一样，是靠翅膀把空气排向上方和后方，就能形成升力和推动力。悬停的鹈鹕则有所不同，它排向上方的二氧化碳是自身携带的。
02
PART
动量多项式—N-S多项式
接出来，看一看客机底盘推力的估算。这是一个简化的客机底盘模型，用一个旋翼吊扇来取代。底盘吊客机上，通过吊架给客机提供推力；反过来，客机就通过吊架给底盘向后的拉力。现今取实线所示的圆锥体为控制体，通过剖析它的受力来求推力。
以底盘为参照物，气流从左边流入控制体，从两侧流出。依据动量多项式可以确定控制体所受的合力，进出口动量的关系：
通常在巡航状态下，气流直接步入底盘，而没有加速或减速。流速等于飞行速率，所以进口处的压力等于大气压Pin=Pa，只要出口的气流速率为亚音速，则出口处的压力也为大气压Pout=Pa。于是可知控制体进出口压力相等，其上作用的力只有客机的拉力T。这样，我们就得到了客机底盘推力的表达式：
这儿面
是流经底盘的空气质量，vout是出口气流相对于底盘的速率，v是进口气流相对于底盘的速率，虽然也就是客机的飞行速率。
现今来看一下客机的升力和阻力。以翼型为参照物，远前方的空气水平流向喷管，在喷管上形成升力和阻力。依据动量定律，这必然造成空气的向上偏转和减速。空气的向上偏转对应着升力，减速对应着阻力，分别可以用图中动量等式表示下来。
不过，气流经过喷管后，并不保持匀速的流动，出口速率与位置有关，这时是不能简单的取出口速率平均来估算升力和阻力的。由于动量多项式中的流量也是与速率有关的，所以应当对动量整体进行积分。
在这个事例中，紊流不是一维流动，尽管升力和阻力依然可以用简单的积分解决。并且，假如想晓得翼型表面的流速和压力分布，简单的动量多项式就不能胜任了。
这时，我们就须要微分方式的动量多项式。对于流经喷管表面的一个流体微团来说，其上作用着容积力和表面力。在这个图里，白色的箭头表示X方向的斥力。黑色的箭头表示Y方向的斥力，X方向斥力的合力使流体微团形成X方向的加速度；Y方向斥力的合力使流体微团形成Y方向的加速度。
容积力比较简单，可以用作用于微团刚体的集中力来表示，表面力分为正挠度和切挠度，四个面上的正挠度切挠度如图所示。设微团在垂直壁面方向的长度为1，就可以分别写出沿X方向和沿Y方向力的表达式。
X方向合力：
Y方向合力：
如今我们只看X方向的力与运动的关系：
在X方向合力的作用下，微团在X方向形成加速度ax，加速度的表达式我们早已讲过了，是速率的物质行列式方式：
把力与加速度带入到牛顿第二定理公式中，就得到了X方向的动量多项式，同样也可以得到Y方向和Z方向的动量多项式。这三个份量方式的等式，组成了流体微分方式的动量多项式：
不过这个等式并没有直接的好处，由于其中的正挠度和切挠度都是未知的。流体中的挠度与流动的关系我们是晓得一些的，牛顿黏性力公式就是一个。对于不是顺着座标轴的剪切来说，这个黏性力公式可以写成更通常的方式。
这就是流体切挠度与切应变率的关系。正挠度主要由压力组成，黏性力也有一点贡献。历史上，斯托克斯在牛顿黏性力公式的基础上通过一定合理的假定，得出了广义的牛顿黏性定理公式。其中，X方向正挠度的关系式是这样的：
类似的还有其他正挠度和切挠度的关系τyy、τzz、τzx，切挠度是对称的，例如τxy·τyx，一共只有三个独立切挠度。正挠度也是三个，这六个挠度的关系式表示了牛顿流体中挠度与流动之间的关系，称为广义的牛顿黏性定理公式，俗称为牛顿流体的本构多项式。把本构多项式带入到动量多项式中，就得到了最终的动量多项式，这是写成矢量方式的动量多项式：
由于这个等式的推论过程中，纳维和斯托克斯三人的贡献最大，所以称之为纳维和斯托克斯多项式，简称为NS多项式。这个等式是二阶非线性的偏微分多项式，对通常流动不容易得到解析解，所以流体热学又发展了各类简化的和取代的方式来解决实际的流动问题。
03
PART
动量多项式的剖析与应用
如今我们来剖析一下N-S多项式的化学意义。N-S多项式是动量定律，在流体运动中的应用无非就是力与动量变化的关系。
在这个多项式中，方程右边是加速度，也就是单位质量流体的动量变化。假如我们跟随微团一起运动，这个加速度就彰显为惯性力，所以有时成为惯性项。多项式右端第一项是容积力，第二项是压差力，第三和第四项是黏性力。因为在常见的大多数流动中，黏性力、压差力也小得多，好多流动常常可以简化为无粘流动，即黏性力项为零。这时二次方程退化为欧拉多项式，既无粘流动的动量多项式：
假如流体是静止的，黏性项自然为零，同时惯性力项也为零。多项式就蜕化成欧拉静平衡多项式：
假如在无粘的条件下再加上一维和定常流动的条件，则多项式弄成这样的方式：
对这个等式进行积分，并加上不可压缩的条件，就得到了伯努利多项式：
所以，伯努利多项式的应用条件就是定常不可压，而且沿一条流线。
最后，我们通过一个管线流动的反例来进一步理解动量多项式。
对于无限长的管线内部的流动来说，假如流动是层流的，是有解析解的，如今我们用控制体方式来剖析一下这些流动。取包含管线内所有流体的圆锥体为控制体，其两端作用有压力，而四周的圆锥面上作用于壁面给流体的剪切力，即磨擦阻力。
对无限长管线流动，流体流速沿流动方向不变。所以，压差力形成的驱动力和剪切力形成的阻力平衡。整理后就可以得到单位宽度压降的关系：
壁面剪切力τw是未知的，还须要额外的关系式能够得出更有用的结果。现今取这样的一个控制体，其半径D是任意的。一直可以使用上述关系式，只不过这时关系式中的剪切力不再是壁面处的，而是任意直径处的剪切力τ。
补充一个牛顿黏性力公式，并考虑壁面的无滑移边界条件：
按照这种关系式和边界条件，可以解出管内的流速分布：
可以看出速率沿直径方向是二次分布的，在中心线上取得最大。通常管线流动问题中，我们已知的是流量，因而可以晓得各截面上的平均流速。假如对流速关系式进行积分，就可以发觉最大速率是平均速率的两倍
这样，我们就得到了单位宽度压降与平均速率和内径的关系：
这是个很有用的关系，可以直接通过内径和流量得出压力损失。我们这儿是通过控制体法得出的，这个结果实际上也可以直接求解NS多项式得出。这些流动。