【题目】有一个直径为R的半球形碗，如图1所示，质点m的初速度v0沿碗边切线。 碗已固定，顶部光滑。 分析粒子 m 的运动。
【解】曲面支撑的质点有两个自由度。 而这道题的支撑力通过z轴，粒子的引力平行于z，所以粒子在z轴上的动量矩守恒，这样就可以加上一个方程。 据报道，球的机械能是守恒的。
选择 θ 和 φ 作为图 1 中的两个坐标。
绕 z 轴的动量矩守恒为：
讨论
(€6) 没有基本解。 虽然退化为初始切线速度为0什么是质点系的动量定理，但只能退化为尖摆椭圆积分（仍不是初等函数解）。
对于（€3）衍生品，我们有
它不同于单摆结果。 这应该是从不同方向取极限的结果（（9 欧元）到（10 欧元）有一个 0/0 不确定的介绍）。
总结
解决更复杂的动力学问题需要结合三大定律（动量定律、动量矩定律和动能定律）。
在物理解释上，三大定律都源于牛顿第二定理（发现过程并非如此），而如果每一个问题的“分析”都从牛顿第二定理开始，这样的分析过程是非常繁琐的，而第二个是真的 对牛顿第二定理的微分表达式进行积分也是一件令人讨厌的事情。 从粒子的牛顿第二定理过渡到我们工程中常用的系统和刚性系统，每次也需要对粒子求和（本质上是空间积分，还需要知道排斥和反排斥的特性，理想约束等），这也是一个漫长的过程。 鉴于化学和工程中常用的粒子系统和质心的特殊性，可以从三定律中解释更容易使用的具体方法，尤其是积分后的守恒公式，使用起来更方便。
动量定律和动量矩定律，以及对质点系统和质心解释的刚体运动定律，质心平面运动的微分多项式都是向量的表达。 它们给出加速度（或角加速度）和力（或质心）之间的多项式。 只有外力出现在多项式中，所以对于这套定律，力分为内力和外力。
动能定律及其导数、机械能守恒和幂多项式是给出系统能量与力功之间关系的标量多项式。 只有做功的力才会出现在多项式中，所以对于这组定律，力分为理想约束和非理想约束。 一个系统只有一个动能定律多项式。 所以就目前的学习水平来说，最适合分析单自由度系统。 如果是多自由度系统，看一下，借助守恒定理，变成“伪”单自由度系统。
对于理论热力学中经常讨论的单自由度系统，从目标来看，如果只需要速度信息，那么动能定律就足够了。 如果目标只是加速，则使用幂多项式。 如果要估计速度和加速度，则使用动能定律（机械能守恒定律）和导数。 这时，要得到的系统动能的通式其实更容易写下来。
如果要分析力，通常会用到动量定律和动量矩定律。 为了减少未知量，我们往往需要通过动能定律求解个别关键点的速度，从而得到该点的法向加速度。
初始瞬态问题是运动训练中的常见类型。 其特点是初始瞬间各质点速度为零，各质心角速度为零（故速度不再用动能定律分析）。 对于这类问题，通常先分析加速度，再用动量定律和动量力矩定律分析力。
综上所述，结合目前理论热力学中动力学的难点，将要分析的问题大致分为两类，一类是初始瞬态问题，一类是单自由度问题。 第一类问题比较少，技术上已经讲过了。 第二类问题是最常见的。 通常先用动能定律（或其派生定律）分析运动量什么是质点系的动量定理，再用动量定律和动量矩定律分析力的信息。
参考资料：理论卡路里强化教程。 复旦大学出版社。 2018.9