第七章8机械能守恒定理演示
如图7.8-1，一个用细线悬挂的小球从A点开始摆动。记住它往右才能达到的最大高度。之后用一把尺子在P点截住悬线，看一看这些情况下小球所能达到的最大高度。
图7.8-1小球能摆多高？
倘若从能量的角度剖析这个现象，你觉得实验说明了哪些？
物体自由下落或沿光滑斜面滑下时，重力对物体做正功，物体的重力势能降低。降低的重力势能到那里去了？我们发觉，在这种过程中，物体的速率降低了，表示物体的动能降低了。这说明，物体原先的重力势能转化成了动能。
原先具有一定速率的物体，因为惯性在空中竖直上升或沿光滑斜面上升，这时重力做负功，物体的速率降低，表示物休的动能降低了。但因为物体的高度降低，它的重力势能降低了。这说明，物体原先具有的动能转化成了重力势能。
除了重力势能可以与动能互相转化，弹性势能也可以与动能互相转化。被压缩的弹簧具有弹性势能，当弹簧恢复原先形状时，就把跟它接触的物体弹出去。这一过程中，弹力做正功，弹簧的弹性势能降低，而物体得到一定的速率，动能降低。射击时弓的弹性势能降低，箭的动能降低，也是这样一种过程。
图7.8-2儿子松手后橡皮条收缩，弹力对模型客机做功，弹性势能降低，客机的动能降低。
动能转化为重力势能或弹性势能时，重力或弹力做负功。你能列举这样的事例吗？
从前面的讨论可以看见，重力势能、弹性势能与动能之间具有密切的联系，我们把它们合称为机械能（）。通过重力或弹力做功，机械能可以从一种方式转化成另一种方式。
机械能守恒定理
动能与势能的互相转化是否存在某种定量的关系？这儿以动能与重力势能的互相转化为例，讨论这个问题。
我们讨论物体只受重力的情况动能和势能的相互转化，如自由落体运动或各类抛体运动；或则虽受其他力，但其他力并不做功，如物体沿图7.8-3所示光滑曲面滑下的情形。一句话，在我们所研究的情形里，只有重力做功。
图7.8-3物体沿光滑曲面滑下
在图7.8-3中，物体在某一时刻处在位置A，这时它的动能是Ek1，重力势能是Ep1，总机械能是E1＝Ek1＋Ep1。经过一段时间后，物体运动到另一位置B，这时它的动能是Ek2，重力势能是Ep2，总机械能是E2＝Ek2＋Ep2。
以W表示这一过程中重力做的功。从动能定律晓得，重力对物体做的功等于物体动能的降低，即
W＝Ek2－Ek1
另一方面，从重力的功与重力势能的关系晓得，重力对物体做的功等于重力势能的降低（见本章第4节“重力势能”），即
W＝Ep1－Ep2
从以上两式可得
Ek2－Ek1＝Ep1－Ep2
移项后，有
Ek2＋Ep2＝Ek1＋Ep1
即
E2＝E1
可见，在只有重力做功的物体系统内，动能与重力势能可以相互转化，而总的机械能保持不变。
同样可以证明，在只有弹力做功的物体系统内，动能和弹性势能可以相互转化，总的机械能也保持不变。
我们的推论是：在只有重力或弹力做功的物体系统内，动能与势能可以相互转化，而总的机械能保持不变。这称作机械能守恒定理（lawofof）。它是热学中的一条重要定理，是普遍的能量守恒定理的一种特殊情况。
图7.8-4滑冰者沿斜面下降时，忽视阻力，阻力不做功；雪面的支持力与运动方向垂直，也不做功；只有重力做功。例题
把一个小球用细线悬挂上去，就成为一个摆（图7.8-5），摆长为l，最大偏角为θ。假如阻力可以忽视，小球运动到最高位置时的速率是多大？
图7.8-5已知小球摆动的最大偏角，估算它的最大速率。
【分析】在阻力可以忽视的情况下，小球摆动过程中受重力和细线的拉力。细线的拉力与小球的运动方向垂直，不做功，所以这个过程中只有重力做功，机械能守恒。
小球在最低点只有重力势能，没有动能，估算小球在最低点和最高点重力势能的差值，按照机械能守恒定理能够得出它在最高点的动能，进而算出它在最高点的速率。
【解】把最高点的重力势能定为0，以小球在最低点的状态作为初状态。在最低点的重力势能是Ep1＝mg（l－lcosθ），而动能为0，即Ek1＝0。
小球在最低点与最高点的高度差为l－lcosθ，这个关系可以由几何关系得出。
以小球在最高点的状态作为末状态，势能Ep2＝0，而动能可以表示为Ek2＝(frac{1}{2})mv2。
运动过程中只有重力做功，所以机械能守恒，即
Ek2＋Ep2＝Ek1＋Ep1
把各个状态下动能、势能的表达式代入，得
(frac{1}{2})mv2＝mg（l－lcosθ）
由此解出
v＝(sqrt{2gl(1-costheta)})
从得到的表达式可以看出，初状态的θ角越大，cosθ越小，（1－cosθ）就越大，v也就越大。也就是说，最初把小球拉得越高，它抵达最上端时的速率也就越大。这与生活经验是一致的。
解决一个问题以后要对推论进行剖析。若果与已有的知识或日常经验不一致，则要认真考虑，瞧瞧是否出现了错误。这就是我们所说的“评估”。
从这个例题可以看出，应用机械能守恒定理解决问题，只需考虑运动的初状态和末状态，毋须考虑两个状态间过程的细节。倘若直接用牛顿定理解决问题，须要剖析过程中各类力的作用，而这种力又常常在变化着，因而一些难于用牛顿定理解决的问题动能和势能的相互转化，应用机械能守恒定理则便于解决。
思索与讨论
一个小球在真空中自由下落，另一个同样的小球在粘性较大的液体中由静止开始下落。它们都由高度为h1的地方下落到高度为h2的地方。在这两种情况下，重力做的功相等吗？重力势能的变化相等吗？动能的变化相等吗？重力势能各转化成哪些方式的能？
问题与练习
1．如图7.8-6，质量为m的小球从光滑曲面上滑下。当抵达高度为h1的位置A时，速率的大小为v1，滑到高度为h2的位置B时，速率的大小为v2。在由高度h1滑到高度h2的过程中，重力做的功为W。
图7.8-6研究小球的能量变化
（1）按照动能定律列举等式，描述小球在A、B两点间动能的关系。
（2）依据重力做功与重力势能的关系，把以上等式变型，以反映出小球运动过程中机械能是守恒的。
2．神舟号载人飞船在发射至返回的过程中，以下什么阶段中返回舱的机械能是守恒的？
A．飞船升空的阶段。
B．飞船在椭圆轨道上绕月球运行的阶段。
C．返回舱在大气层以内向着月球做无动力飞行的阶段。
D．降落伞伸开后，返回舱增长的阶段。
3．把质量为0.5kg的铁块从10m高处以30°角斜向上方抛出（图7.8-7），初速率是v0＝5m/s。不计空气阻力。
图7.8-7讨论铁块落地时的速率
（1）铁块落地时的速率是多大？请用机械能守恒定理和动能定律分别讨论。
（2）铁块落地时速率的大小与下述什么量有关，与什么量无关？说明理由。
A．铁块的质量。
B．铁块初速率的大小。
C．铁块初速率的仰角。
D．铁块抛出时的高度。
4．有一种粮下铁道，西站的路轨建得高些，汽车检票时要下坡，出站时要上坡，如图7.8-8。设坡高h为2m，检票汽车抵达坡下的A点时，速率为25.2km/h，此时切断电动机的电源，汽车能不能“冲”到坡上？假如才能，抵达坡上的速率是多大？
图7.8-8有的地下铁道西站的路轨建得比较高文件下载（已下载218次）
