摘要
借助基础热学和统计数学知识，从微观上研究了理想二氧化碳绝热变化中的做功过程，结合伽利略变换验证了二氧化碳膨胀做功的多少在数值上等于其分子总动能的降低量。作为一个力学与热学内容衔接的典型事例，补充了除浮力、温度和内能之外的又一个力学基础数学量——做功的详尽微观热学描述，进一步阐述了基础力学作为一门实验科学所具有的热学本质。其中，在分子与联通活塞碰撞问题中用到了伽利略变换，也是两个惯性系之间座标变换的一个实际应用示例。
关键词伽利略变换；二氧化碳做功；绝热过程
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现今大部份学院数学教材在二氧化碳动理论部份都介绍了理想二氧化碳的浮力、温度和内能的微观公式，揭示了电学作为一门实验科学的热学理论基础。并且常用热力学基础数学量中做功和热量只简单介绍了微观图象，并未详尽推论其微观上的热学表示。热量传递可以通过从微观上重新定义热流密度加以讨论，这儿我们仅通过对做功的详尽阐述进一步建立电学与热学的衔接。如图1所示，汽缸内理想二氧化碳准静态膨胀过程中做功的描述普遍采用[1,2]
dW=Fdl=pAdl=pdV(1)
式中dl为在二氧化碳压力F作用下活塞联通的位移微元，p为汽缸中二氧化碳的浮力，A为活塞面积，dV为该过程中二氧化碳容积增量。接着，借助热力学第一定理可知绝热过程中的二氧化碳对外做功的多少等于其内能的减少量，即
dE=－dW=－pdV(2)
而通常教材对这个推论的微观过程则鲜有描述。本文借助统计知识，结合伽利略变换，详细地推论了这一过程，验证了理想二氧化碳膨胀做功的多少在数值上等于其分子总动能的降低量。这对初学者理解理想二氧化碳做功的微观图象是有所助益的。同时，本文也是一个热学与力学内容衔接的典型例子。
微观上，因为忽视分子间斥力，理想二氧化碳的内能是所有分子的动能之和。这么二氧化碳膨胀做功完全弹性碰撞速度公式怎么记，内能减低，分子的动能必然增加。在分子质量不变的前提下，只能是分子速度变小。这么这是怎样实现的以及降低了多少呢？为了便捷，以下讨论均假定二氧化碳分子为单原子分子。图1所示为二氧化碳分子以速率vR撞击活塞的过程，若活塞静止，完全弹性碰撞后分子将以大小相同的速度回落，即，大跌速度vL=vR。但在二氧化碳膨胀过程中，活塞往右联通，减小了碰撞疗效，分子大跌速度应当要小一些。这儿初学者常常并不熟悉小球撞击联通平板的完全弹性碰撞大跌速率问题。考虑到碰撞只改变分子速率的x份量，y、z份量是不变的，好多时侯会轻率地以为大跌速率应为vL=(-vx+u,vy,vz)。虽然这是不正确的。要弄清楚这个问题从不同的参考系剖析是个便捷的方式。
1伽利略变换在分子碰撞问题中的应用
若令相对于汽缸及观察者静止的参考系记为S，相对以速率u联通的活塞静止的参考系记为S′，分别取合适的座标系后，两惯性系的时空座标满足伽利略变换
上式对时间导数，可得速率变换关系为
依照上式，当在S系中二氧化碳分子以速率vR=(vx,vy,vz)撞向活塞时，在S′系中，分子的撞击速率则变为v′R=(vx-u,vy,vz)撞向活塞。由于在S′系中活塞是静止的，这样借助小球撞击静止平板的经验，容易得到完全弹性碰撞后二氧化碳分子应以速率v′L=(-vx+u,vy,vz)大跌回来。这时，再回到相对于汽缸及观察者静止的S系中，并只关注大跌速率的x份量vLx，则按照式(4)可得
即，相对于观察者分子以速率vR=(vx,vy,vz)撞向以速率u沿x轴正方向联通的活塞时，弹性碰撞后大跌速率为vL=(-vx+2u,vy,vz)。
2二氧化碳膨胀时的内能损失
令l表示活塞的位置，某一时刻活塞联通速率大小为
。则单个分子因为碰撞造成的动能变化
上式推论中舍弃了(dl/dt)2项。由于准静态过程中活塞联通速度与分子热运动速度相比很小，二阶项可忽视[3]。在活塞联通一个位移微元dl所用的时间dt内，可能与活塞发生碰撞的分子是这些一开始就坐落紧靠活塞的一个薄层内的分子。其数目可恐怕为
式中n为分子数密度，vxdt-dl是dt时间内就能发生碰撞的分子与活塞的最远距离，即薄层的长度。因子1/2是因为平均来说薄层内只有一半分子是朝活塞运动，进而才能发生碰撞的。
这么，发生碰撞的所有分子总的动能改变即是单个分子因碰撞造成的动能变化与参与碰撞的总分子数量的乘积。它也是二氧化碳膨胀做功造成的二氧化碳内能改变dE，由于未参与活塞碰撞的分子与外界没有能量交换。
同样因为准静态过程中活塞联通速度与分子热运动速度相比很小，上式中舍弃了dl/dt项。考虑到每位分子速率都不一样，式中的
应用所有分子的平均值
取代
上式借助了理想二氧化碳浮力公式
。与式(1)对比，最终从微观上验证了绝热过程中理想二氧化碳膨胀时分子总动能的降低在数值上等于其对外做功的多少。
3结语
本文结合伽利略变换和统计知识从微观上研究了理想二氧化碳绝热变化中的做功过程，验证了二氧化碳膨胀做功的多少在数值上等于其分子总动能的降低完全弹性碰撞速度公式怎么记，补充了又一个常用热力学基础数学量——做功的微观热学基础，进一步健全了力学与热学内容的衔接。研究中防止了使用一些教科书上处理类似问题时常见的忽视分子间的碰撞，使分子在汽缸内闭和活塞之间来回撞击的便捷做法，这些图象是不恰当的。由于标准状况下，空气分子平均自由程仅为~10-8m。另外，从推论过程中多次舍掉dl/dt及其高阶项，也让我们从微观上认识了理想二氧化碳做功公式只有在活塞联通速度与二氧化碳分子热运动速度相比很小的准静态过程中才创立。
参考文献
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[2]费恩曼RP,莱顿RB,桑兹M.费恩曼化学学课件(第1卷)[M].郑永令,华宏鸣,吴子仪,等,译.北京:北京科学技术出版社,2005:462.
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HOUJX,SILM,WENGH.ofidealgasviaofgas[J].,2017,36(3):14-15.(in)
基金项目：哈尔滨师范大学教学内容与课程体系变革项目（）。
作者简介：邵怀华，男，贵州师范大学副院长，主要从事数学教学和科研工作，研究方向为低维量子结构化学，。
引文格式:邵怀华.从理想二氧化碳做功过程看力学与热学的衔接[J].化学与工程,2022,32(3):131-133.
Citethis:ròuHH.andfromtheworkofidealgases[J].and,2022,32(3):131-133.(in)
END
