利用软件剖析疑难数学问题
——以“平面镜成像实验中像距和物距仍然不等”为例
文|吴彬彬
在中学数学教学中，探究平面镜成像特性是要求中学生操作的实验项目。实验中，中学生用白色玻璃板取代平面镜探究像距和物距的关系，得到像距略小于物距的结果。究其缘由在于，班主任常常将问题归结于玻璃板宽度，觉得玻璃板长度与像距物距之差在数值上大致相等，而选用薄玻璃板供学生做实验。虽然用玻璃板代替平面镜，像距和物距的差值比玻璃板长度要小好多。在玻璃板很薄的情况下，差值可以忽视不计，师生可以得出平面镜成像实验中像距与物距相等的推论。为何在实验中像距和物距不等？像距和物距的差值究竟和玻璃板的长度有哪些关系？笔者将运用软件剖析缘由，并动态改变玻璃板长度引导中学生观察像距和物距的差值变化情况。
一、利用光路图剖析人眼“透玻观物”的情况
实验中，中学生将蜡烛B置于蜡烛A的像的位置，须要透过玻璃板观察玻璃板前面蜡烛B的情况。当蜡烛B与蜡烛A的像重合时，蜡烛B的位置就是蜡烛A像的位置。实际上，当实验者透过玻璃板观察前面的物体时，看见的虽然是经过玻璃板两个表面折射后产生的实像，此实像的位置与物体的位置并不重合（如图1）。
图1 物体经玻璃板两次折射成像
二、应用软件动态剖析像距和物距的差值
软件是一款结合几何、代数与微积分的物理软件。笔者研究后发觉，运用该软件可剖析疑难化学问题，将具象的问题直观、动态地呈现在中学生面前，以增强实验或则问题剖析的可视化程度。
笔者打开软件，按以下步骤演示和操作（见表1）。
表1 探究平面镜成像实验中蜡烛B与蜡烛A的像的动态位置关系
师生通过一系列的操作，得到了成像图（如图2），其中K'点为蜡烛A的位置，K点为蜡烛A的像的位置，E点为蜡烛B的位置。实验者站在玻璃板两侧通过玻璃板观察蜡烛A的像和玻璃板后边蜡烛B，当二者重合时，可知蜡烛B到玻璃板两侧的距离（像距）并不等于蜡烛A到玻璃板两侧的距离（物距）。
图2 蜡烛B经玻璃板两表面折射成像
为便捷研究，笔者将所有点和线的标签隐藏掉，重新命名，并将玻璃板长度分别调为5、3、1，让中学生观察对应的像距和物距的差值，分别为1.83、1.1、0.37（如图3）。中学生由此得出三个推论：（1）光的折射造成测得的像距与物距不等，且像距小于物距；（2）像距与物距的差值比玻璃板长度小，当玻璃板的折射率为1.5时，后者大概是前者的0.37倍；（3）像距与物距的差值随玻璃板长度降低而降低。
图3 像距和物距的差值与玻璃板长度的动态关系
中学生推理获知，当玻璃板很薄时，像距与物距的差值可以忽视，从而得出像距与物距相等的推论。在平常的实验中，班主任选择较薄的玻璃板做实验是有道理的。
为便捷画图，以上模拟中的入射角比较大，这与人眼观察视角并不相符。笔者将入射角尽量调小，将玻璃板宽度调为1，得到像距和物距的差值为0.33。笔者保持入射角不变，逐步减小玻璃板宽度，估算像距和物距的差值（见表2）。
表2 像距和物距的差值与玻璃板长度的关系
依据表2中的数据，中学生发觉像距和物距的差值约为玻璃板长度的1/3，二者之间有明晰的关系。
三、几何证明像距和物距的差值与玻璃板长度的关系
笔者进行如下设置：设玻璃板的长度为d，玻璃的折射率为n，蜡烛A与玻璃板右表面的距离为物距u，蜡烛B与玻璃板右表面的距离为像距v，蜡烛B发出的光线经过玻璃板左表面折射的入射角和折射角分别为α和β（如图4）。
图4 入射角很小时，像距和物距的差值大小
按照几何关系可得：
utan α-dtan β=(v-d)tan α。
整理可得：(u-v+d)tan α=dtan β。
因为玻璃的折射率n一定，所以像距和物距的差值与玻璃板的长度d成反比。玻璃折射率n取1.5代入时用玻璃板代替平面镜，二者之间确实是成比列的关系，与之前运用软件模拟的结果相符。
四、总结
中学生探究光的折射问题被安排在平面镜成像教学以后，在新讲课过程中，班主任未能给中学生解释其中缘由。并且在备考过程中，班主任完全可以借助这个“真实验”中发觉的“真问题”带领中学生巩固相关知识。在中学数学教学过程中有许多具象而复杂的问题，班主任难以用现有的知识或借助现成的实验器材为中学生解答，此时可以利用等教学软件进行模拟剖析，引导中学生观察、探究和思索。班主任只有在教学中不断充实自己知识储备，提升专业素质，优化教学方式，能够高效教学，科学育人。
注：本文系浙江省教育科学“十三五”规划2020年度立项课题“基于TPACK理念的学校数学微课设计策略研究”（课题编号：D/2020/02/151）的研究成果。
（作者系浙江省温州市相县城春申学校班主任）
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