男士们，先生们：
明天我所要讨论的问题，是弯曲空间及其与引力现象的关系。大家当中任何一个人都就能很容易地想像出一条曲线或一个曲面，对于这一点，我是一点也不怀疑的；并且，一提及三维的弯曲空间，大家的脸就全拉长了，大家大约觉得，这是某种极不寻常的、几乎是超自然的东西。为何人们这样普遍对弯曲空间怀有“恶感”，莫非这个概念真的比曲面的概念更无法理解吗？要是大家稍微多想一想，大约就有许多人会说，大家之所以认为无法想像出一个弯曲空间，是由于大家难以像观察一个球的曲面，或则像观察马鞍那类二维的曲面那样，“从外边”对它进行观察。并且，这些说这些话的人，只不过是曝露出她们自己不懂得曲率的严格物理意义罢了，事实上，这个词的物理含意同它的通常用法是有相当大的区别的。我们物理家说某个面是弯曲的，那是说，我们在这个面上所画的几何图形的性质，不同于在平面上所画的同一几何图形的性质，但是，我们用它们偏离欧几里得古典法则的程度来评判曲率的大小。假如你在一张平坦的纸上画一个三角形，这么，正如你从初等几何学所获知的那样，这个三角形三个角的总和等于两个直角。你可以把这张纸弯成圆锥形、圆锥形，或则甚至弯成更复杂的形状，并且，画在这张纸上那种三角形的三个角之和，必将永远保持等于两个直角。
这些面的几何性质不随上述形变而改变，因而，从“内在”曲率的观点看来，形变后所得到的各类面（虽然在通常概念中是弯曲的），事实上是和平面一样平坦的。
然而，你要是不把一张纸撕开，你就难以把它贴切地贴在球面上或鞍形面上；除了这般，假如你想在一个球面上画一个三角形（即所谓球面三角形），这么，欧几里得几何学这些简单的定律就不再组建了。事实上，我们可以用北半球上任何两条半截的子午线（即纬线）与二者之间那段赤道所构成的三角形作为反例，这时，三角形斜边的两个角都是直角，而内角则可以具有任意大的角度，这三个角之和其实小于两个直角。
同球面的情形相反重力加速度g等于多少，在鞍形面上，你会吃惊地发觉，三角形三个角之和永远大于两个直角。
可见，要确定一个面的曲率，必须研究这个面上的几何性质，而从外边来观察往往会形成错误。仅仅借助这些观察，你大约会把圆锥面同环面划为一类，虽然，后者是平面，前者却是难以矫治的曲面。你一旦习惯于曲率的这些新的、严格的物理概念，你就不难明白，化学学家们在讨论我们所居住的空间究竟是不是弯曲的时侯，她们所指的是哪些东西了。我们不须要挪到我们所居住的三维空间的“外面”去“看看”它是否弯曲；而可以留在这个空间中进行一些实验，去查明欧几里得几何学的普通定理是不是就能创立。
然而，大家似乎会感觉奇怪：为何我们在一切场合下都应当指望空间的几何性质与早已成为“常识”的欧几里得几何有所不同呢？为了表明这些几何性质确实取决于各类数学条件，让我们构想有一个巨大的矩形舞台，像唱片那样绕着自己的轴匀速地转动着。再假定有一些小量尺，顺着从圆心到圆周上某一点的直径，头尾相接地排成一条直线；另一些量尺则顺着圆周排成一个圆。
在相对于哪个安放舞台的卧室静止不动的观察者A看来，当舞台在转动时，这些顺着舞台为圆周摆放的量尺是在其宽度方向上运动，因而，它们会发生尺缩（正像我在第一次讲演中说过的那样）。这样一来，为了把圆周补全，所用的量尺就必须比舞台静止不动时更多一些。而这些顺着直径摆放的量尺，它们的宽度方向恰好同运动方向成直角，所以就不会发生尺缩，这样一来，不管舞台是不是在转动，都要用同样多的量尺去摆满从舞台的中心到圆周上某一点的距离。
可见，顺着圆周测出的距离C（用所须要的量尺数量表示）必定小于通常情况下的2πr，这儿r是所测出的直径。
我们晓得，在观察者A看来，这一切都是合情合理的，由于顺着圆周摆放的量尺的运动形成了尺缩效应。而且，对于站在舞台中心并且随着舞台转动的观察者B，情形又是哪些样呢？她会如何看待这个问题呢？因为她所见到的两组量尺的数量和观察者A相同，她同样会下推论说，这儿的周长与直径之比不符合欧几里得几何学的定律。并且，如果舞台是处在一间没有窗户的封闭房屋里，她就看不出舞台是在转动。这么，她会用哪些诱因来解释这些反常的几何性质呢？
观察者B可能并不晓得舞台在转动，并且却会意识到在她周围正在发生某种奇怪的事情。她会注意到，置于舞台上不同地方的物体并不保持静止不动，它们全都从中心向外围进行加速运动，其加速度取决于它们的位置和中心的距离。换句话说，它们看上去都遭到一种力（离心力）的支配。这是一种很奇怪的力，不管物体处在哪些特定的位置，质量有多大，这个力总是以完全相同的加速度使它们向外围进行加速运动。换句话说，这些“力”似乎还能手动调整自己的硬度去配合物体的质量，因此总是能形成物体所处位置特有的加速度。为此，观察者B会做出推论说，在这些“力”与她发觉的非欧几里得几何性质之间，必然存在着某种关系。
除了这么，我们还可以考虑一束光线前进时的路径。对于静止的观察者A来说，光线总是顺着直线传播的。并且，假如有一束光线贴着旋转舞台的表面穿过舞台，又会怎样样呢？虽然在观察者A看来、这束光线仍然是顺着直线行进的，然而，它在旋转舞台的表面上划出的路径却并不是直线，这是由于这束光须要一定的时间能够穿过舞台。而在这段时间内，舞台早已转过一定的角度（这如同你用快刀在旋转的唱片上划一条直线时，唱片上的凹痕会是一条曲线而不是直线那样）。为此，站在旋转舞台中心的观察者B会发觉，那束光线在从舞台的右边穿到另左侧时，并不是顺着直线、而是顺着曲线行进。她会像上面提及的边长与直径之比的场合那样，把这些现象归因于在她周围起作用的特殊化学条件所形成的那种特殊的“力”。
这些力除了影响到几何性质（包括光线行进的路径），而且还影响着时间的进程。把一个挂钟置于旋转舞台的外围，就可以把这些情况演示下来。观察者B会发觉，这个挂钟比置于舞台中心的挂钟走得慢。从观察者A的观点看，这个现象是最容易理解不过了，由于他注意到，那种置于外围的挂钟在随着舞台的转动而运动，所以比起置于舞台中心。位置保持不变的挂钟来，它的时间便延长了（钟慢效应）。而观察者B因为没有意识到舞台的转动，就必将把那种挂钟走得慢归因于上面所说的那种“力”的存在。这样一来，我们便可以晓得，不论是几何性质还是时间进程，都能够成为化学环境的函数。
如今我们再来讨论一种不同的化学场合——这是我们在地面附近发觉的情形：一切物体都被地心引力吸向地面。这同旋转舞台上的一切物体都被甩向外围的情形有点相像。假如我们注意到下落的物体所得到的加速度只与其位置有关而与其质量无关时，这些相像性便更显著了。从下边要介绍的例子，我们甚至可以愈发清楚地看见引力与加速运动之间的这些对应关系。
假定有一艘专门进行星际航行的宇宙飞船，它自由自在地在空间中某个地方悬浮着，不管离哪一颗星体都十分远，因此在飞船中不存在任何引力。结果，在这样一艘飞船里的一切物体，包括搭乘它旅行的实验者在内，就都没有任何重力，她们会像凡尔纳知名的幻想小说中的阿尔丹及其旅伴在飞往地球的旅途中那样，自由自在地在空气中悬浮着。
如今，底盘开动了，我们的飞船开始运动，但是渐渐减小速率。这时在飞船内部会发生哪些情况呢？很容易看出，只要飞船处在加速状态，飞船内部的一切物体才会显示出朝着飞船顶部运动的倾向，或则是说，飞船顶部将朝着那些物体运动——这两种说法是一码事。举个反例吧，要是我们的实验者手中拿着一个苹果，之后撒手把它放开，这么，这个苹果必定以固定不变的速率——即飞船在放开苹果那刹那间的运动速率——相对于周围的星体继续运动。并且，飞船本身却在加强速率，结果，甲板的顶部因为在整个时间里运动得越来越快，它最后必定赶上那种苹果，但是撞上它。从这个瞬时起，这个苹果还会永远同顶部保持接触状态，而且靠稳定的加速度而压在顶部上。
然而，在飞船内部的实验者看来，这些情况却似乎是那种苹果在以固定的加速度“下落”，但是在击中底板之后，继续靠它自身的重力压在底板上。假如他再让别的物体掉下，他都会进一步发觉，所有那些物体全都以完全相同的加速度落下（假如忽视掉空气的磨擦力的话），于是他都会想起，这正好就是伽利略所发觉的自由落体定律。事实上，他根本不能否发觉在加速甲板中的现象与通常重力现象之间有一点点最细微的差异。他完全可以使用带钟摆的时钟，可以把书放到书柜上而毋须害怕它们飞掉，还可以把爱因斯坦的相片挂在铁钉上。你们晓得，正是爱因斯坦最先强调，参考系的加速度是与重力场等效的，他还在这个基础上提出了所谓广义相对论。
然而，正像转动舞台那种反例一样，在这儿，我们也会发觉一些伽利略和牛顿在研究重力时所不晓得的现象。这时，穿过甲板的光线将发生弯曲，但是随着飞船加速度的不同，而投射在旁边墙壁屏幕的不同地方。其实，在货舱外的观察者看来，这可以解释成光的匀速直线运动同飞船甲板的加速运动相叠加的结果。在货舱内的几何图形也必将是不正常的，由三条光线构成的三角形，它的三个角的总和并不等于两个直角，而一个圆的圆周与其半径之比则将小于一般的π值。在这儿，我们所考虑的是加速系统的两个最简单的事例，然而，前面所说的等效性，对于任何一个指定的刚性的（或不可变形的）参考系的运动也同样创立。
如今我们就要接触到最重要的问题了。我们刚刚早已听到，在一个加速的参考系中，可以观察到许多在通常万有引力场中从未观察到的现象。这么，像光线弯曲或挂钟走慢这样的新现象，在由可测质量所形成的引力场中，是不是同样存在呢？
要量度光线在引力场中的曲率，借助上面提及的宇宙飞船那种事例比较便捷。假如l是货舱的跨距，这么，光线走过这段距离所需的时间就是
在这段时间内，以加速度g运动的飞船所掠过的距离为L，从初等热学的公式，我们晓得
为此，表示光线方向改变的角度具有如下的数目级
光在引力场中走过的距离越大，Φ的值也越大。其实，如今应当把宇宙飞船的加速度解释成重力加速度。假如我如今让一束光线穿过这个讲演厅，我可以简略地取L＝10米。地面上的重力加速度g＝9.81米/秒2，c＝3×108米/秒，所以
这样，大家可以看出，在这些条件下，光线的曲率是肯定没法观察到的。并且，在太阳表面附近，g＝270米/秒2，但是光线在太阳的引力场中走过的路程是特别长的。有一些精确的估算表明，一束光线从太阳表面附近经过时的偏转值应当等于1.75弧秒。天文学家在日全蚀时观察到的。太阳对面的星体视位置的位移值就刚好是这样大。现今因为天文学家借助了从类恒星发出的强射电幅射，就毋须再等到日全蚀时再进行检测了。从类恒星发出并从太阳后面穿过来的射电波，就是在大晚上也可以毫无困难地侦测到。正是这种检测使我们才能最精确地测出光线的弯曲。为此，我们可以做出推论说，我们在加速系统中发觉的光线弯曲，实际上是和它在引力场中的弯曲相同的。这么，观察者B在旋转舞台上发觉的另一个奇怪的现象——放在舞台外围的挂钟走得比较慢，会不会也是这样呢？在月球重力场中，置于地面上空某个地方的挂钟，会不会有类似的表现？换句话说，加速度所形成的疗效与重力所形成的疗效是否除了特别相像，但是完全等同呢？
这个问题只能靠直接的实验来解答。事实上，这样的实验早已证明，时间是可以深受普通重力场的影响的。通过加速运动与引力场的等效关系所预想的效应是十分小的，这正是直至科学家们开始专门探求它们之后才会发觉它们的诱因。
用旋转舞台这个反例，很容易确定挂钟速度变慢的数目级。从初等热学获知，作用在离中心的距离为r。质量为1的粒子上的离心力，可由下边公式算出：
式中ω是转动舞台的固定的角速率。因而，这个力在粒子从中心运动到边沿时所作的总功是
式中R是舞台的直径。
根据前面所说的等效原理，我们应当把F看做是舞台上的引力，而把W看做是舞台中心与边沿之间的引力势之差。
我们应当记得，正像我在上一次讲演中所提到的那样，以速率v运动的时钟要比不运动的时钟走得慢一些，二者相差一个因子
假如v同c比上去十分小，我们可以把第二项之后的各项都略去不计。根据角速率的定义，v＝Rω，这样，“减慢因子”就弄成
这是用两个地点的万有引力势差来表示的时钟速度的改变。
假如我们把一个时钟置于艾菲尔铁塔（300米高）的顶部，再把另一个时钟置于塔顶，因为它们之间的势差特别之小，所以，置于顶部的那种时钟走慢的因子只有
0.99999999999997
然而，月球表面上和太阳表面上的重力势差却大得多了，由此形成的减弱因子等于0.9999995，这是用很精密的检测所能侦测到的。其实，从来没有人想把普通时钟迁往太阳表面起来，瞧瞧它走得如何样。化学学家们有一些更妙的办法，借助分光计，我们可以观察太阳表面上各类原子的震动周期，并把它们与同一种元素的原子在实验室本生灯火焰中的震动周期相比较。在太阳表面上，原子的震动应当比地面上慢一些，二者相差一个由公式（11）所给出的减弱因子，因而，它们所发出的光应当比地面光源的光稍红一些，也就是说，它们发出的光的频度会向波谱的红端联通。这些“红移”确实早已在太阳的波谱中观察到了，对于其他一些才能精确测定其波谱的星体，也同样观察到这些效应，而且观察到的结果同我们的理论公式所给出的值相符。
如今，我们可以再回头讨论空间曲率的问题了。大家大约还记得，我们当初借助直线的最合理的定义得出推论说，在非匀速运动的参考系中所得到的几何图形是与欧几里得几何学不同的，因而，应当觉得这样的空间是弯曲空间。既然任何一个重力场都同参考系的某种加速度等效，这也就意味着，任何一个有重力场存在的空间都是弯曲空间。我们还可以进一步说，重力场只不过是空间曲率的一种数学表现。为此，每一点上的空间曲率都应当由质量分布所决定，但是在重的物体（或天体）近旁，空间曲率应当达到其极大值。因为描述弯曲空间的性质及其与质量分布的关系的数学公式相当复杂，我没法在这儿进行介绍。我只想提一提，这个曲率通常不是取决于一个量，而是取决于几个不同的量，这种量一般称为重力势的份量gμν，它们是我们上面用W表示的古典数学学重力势的推广。与此相应，每一点上的曲率也由几个不同的曲率直径来描述，前者一般写成Rμν，这种曲率直径同质量分布的关系由爱因斯坦的基本多项式来描述：
式中R是另一种曲率，代表曲率起因的源项Tμν取决于密度、速度和质量所形成的引力场的其他性质。G是你们熟悉的引力常数。
这个等式早已通过研究水星的运动而得到验证。这颗行星最紧靠太阳，因而，它的轨道最灵敏地反映出爱因斯坦基本多项式的细节，早已发觉，它的轨道的近期点（也就是这颗行星在沿其扁长椭圆形轨道运行时最接近太阳的那一点）在空间并不是固定不变的，而是每转一圈就会系统地改变它相对于太阳的取向，这些进动，有一部份来始于其他行星的引力场对水星所起的摄动作用，有一部份可以用水星的质量因为其运动而形成的狭义相对论性增大来解释。并且，还剩下一个很小的剩余量（每世纪43弧秒）是难以用旧的牛顿万有引力理论来说明的，不过却很容易用广义相对论来解释。
对水星的观察连同后面所提及的其他实验结果，都否认了我们关于广义相对论的判定是正确的——它是才能最好地解释我们在宇宙中实际看见的各类现象的引力理论。
在结束这篇讲演之前，我想再强调多项式（12）的两个很有意义的推论。假如我们所考虑的是一个均匀分布着质量的空间，例如像我们这个分布着星体和星体的空间，这么，我们将得出这样一个推论：不仅在各个分开的星体附近时常出现很大的曲率以外，这个空间在正常情况下总是倾向于在大距离上均匀地弯曲。从物理上说，多项式（12）有几种不同的解，其中有一些解相当于空间本身最后是封闭的重力加速度g等于多少，因此具有有限的容积；另一些解所代表的则是类似于鞍形面的无限空间，前者我早已在这篇讲演的开头提及过了。多项式（12）的第二个重要的结果是：这样一些弯曲空间应当总是处在膨胀（或收缩）的状态中，从数学学上说，这就意味着分布在这些空间中的粒子应当不断彼此飞离（或则恰好相反，应当不断互相靠拢）。除了这般，我们还可以证明，对于容积有限的封闭空间来说，膨胀和收缩是周期性地互相交替着的——这就是所谓脉动宇宙。并且，无限的“类鞍形”空间则一直不变地处在膨胀（或收缩）状态中。
在物理上各类不同的可能解当中，到底哪一个解同我们所居住的空间相适应呢——这个问题只能借助对星体团的运动（包括它们彼此飞散的速率减缓的情况）进行实验观察来解答，或则也可以把宇宙现有的全部质量加在一起，再估算出减弱的疗效会有多大。目前，天文学所得到的证据还不太明晰。并且，有一点是肯定的——我们这个空间目前正在膨胀着。不过，这些膨胀是不是有朝一日会转弄成收缩？我们这个空间的大小到底是有限的还是无限的——这两个问题如今都还没有明晰的答案。
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选自|化学世界奇遇记
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