(1上海交通科技大学)
（2 中国科学技术大学数学研究所）
(3上海市教育科学研究院)
本文选自《物理》2021年第3期
基础数学教育以经典化学为主，其主要内容与当代数学前沿相去甚远。 因此，在大多数人的心目中，还原论范式等同于数学的基本范式和唯一范式。 但是，大量的实验证明，在不同的尺度和层次上确实存在一些新的性质和新的规律。 以进化论范式探索新规律，是未来数学前沿探索的重要方向，对于加深对世界的认识具有重要意义。 因此，了解还原论和进化论两种范式的异同经典物理指什么，并在讨论数学问题时采用合适的范式，将为学习数学和研究化学打下良好的基础。
01
前言
近年来，由于媒体和公众对超导、芯片等话题的关注，作为现代数学重要分支的“凝聚态数学”广为人知。 而且，在深入理解和学习的过程中，很多人发现有很多概念是人们无法理解的，比如声子，在标准模型中是找不到的。 它们到底是什么？ 它由哪些基本粒子组成？ 太奇妙了。
产生这些质疑的主要原因是思维方式仍停留在经典数学的“还原论”()框架下。 然而，对于现代数学中的许多问题，收敛化学中的各种“元爆发”、相变问题中的“自发对称性破缺”等，许多数学理论早已跳出了还原论范式1)，采用了所谓的“进化论”的新范式（）。 基于进化论的概念和理论仍然被还原论者看待并不奇怪，它们被误解或被认为不可理解也就不足为奇了。
02
还原论范式
大多数人从小学到大学所学的数学，体系背后都有这样一个基本思想：在我们生活的这个世界上，千奇百怪的事物归根结底都是由一些“基本单位”组成的。 在一套“基本法则”的约束下，形成了各种错综复杂的自然现象。 只要追根溯源，找到构成世界的基本单位和制约它们的基本规律，就可以通过严密的逻辑推演和精确的物理估算，建立一个准确完整地描述世界规律的体系，并成就了包罗万象的“万物之理”（of）。 简单地说，就是“先把复杂化简为简单，再由简单重建复杂”[1]，这就是所谓“还原论”的基本范式。
还原论是数学完善和发展过程中的主流范式，也取得了辉煌的成就。 我们把宏观物体看作是由分子和原子组成的集合体，它们的性质和行为可以从原子和分子的性质、运动和聚集方式推导出来。 这是一个成功的“还原”过程。 在此基础上，经典数学中的许多问题都获得了简单的形象和优美的理论。 从《费曼数学课件》中著名的短语“”及相关解释[2]中，我们可以窥见这种“还原-构造”的辉煌与成功。
图1 物质的结构层次
然后将原子分解成质子、中子和电子，再将质子和中子进一步分解成夸克。 人们在不断深化的还原层次中寻找最基本的物质构成单元和最基本的相互作用机制。 明天，大多数学过一些数学的人脑海中的世界图景大致如图1所示。世界上的一切都源于三种“基本粒子”：夸克、轻子和规范玻璃骰子。 自然界中的四种基本相互作用：引力、电磁力、强力、弱力，其他三者统一在这个“标准模型”中。 “标准模型”是还原论范式下当前化学的顶峰。 你几乎本能地觉得，我们可以从基本粒子的质量、电荷、自旋、寿命等性质出发，结合粒子间的基本相互作用。 作用规律，逐步准确地认识宏观物体的性质和行为。 估计化学中的“第一性原理”就遵循了这一思路，“第一”二字充分体现了还原论的思想。 其实这个模型里的基本粒子有61种之多，不是很简单，但似乎只要再下功夫，解决引力统一问题，万物追求的“大一统”论通过数学将实现。 预计。
03
进化范式
但大自然似乎并没有准备好让人类如此轻易地揭开它的面纱。 研究中发现，当基于约简理论构建的数学系统面对由少量粒子组成的物体时，理论与实验吻合较好，但随着粒子数目的减少，数值估计难度加大呈指数下降。 宏观物体往往富含数量庞大的粒子，一滴水（约1/20ml）中的水分子数达到1021个数量级，甚至更大更复杂的系统。
目前的计算能力还不足以支持从基本粒子到宏观物体的估计，因此有人寄希望于未来量子估计的发展。 事实上，量子计算的发展对分子设计等问题具有可预测的好处，但问题不仅仅是计算限制。
1972年，澳大利亚收敛化学家安德森（PW）在《科学》杂志上发表了他的文章“”：“将世界上的一切还原为基本单位和基本规律，并不意味着可以从这些规律中重建整个世界。宇宙” ……”由大量基本粒子组成的巨大复杂集合体的行为，不能简单地从少数粒子的性质中推断出来，新的数学概念和物理定理和数学原理，需要研究理解这个新的行为与任何其他研究一样基础”[3]。
也就是说，在越来越复杂的过程中经典物理指什么，这些基本粒子会在不同的尺度、不同的能级形成新的数学定律。 但是新的，同样基本的数学定律。 这种规律似乎是通过粒子聚集过程中的相互影响而“无中生有”，所以借用生物学中“进化”的意思，称之为“进化论”。
让我们观察一片雪花。 范仲淹《易云与体行太伯甲雪》诗云：“昨夜天意忽复，阴阳浮于云中。斩六出，化造真好。” 雪花的“六出” 冰晶的结构大家都很熟悉，但你有没有想过，是什么让数以万亿计的水分子在水滴形成的过程中，从四面八方均匀分布的状态，形成高度有序的排列？变成冰，具有非凡的对称性？ 增加形成自发的“对称破缺”？
在还原论的范式下，这些水分子仍然遵循相同的基本规律。 为什么在冷却过程中系统的状态和性质会突然发生变化——冻结？ 有理由推测还有其他规律在起作用，而这个规律是在大量粒子形成系统时“进化”出来的。 威尔逊（KG）因对临界现象的重整化群论对相关相变规律的贡献而获得1982年诺贝尔化学奖。 从最常见的水冻结、各种物质结晶等第一型相变，到超导、超流等第二型相变，相变与临界问题是收敛化学的重要研究方向，也是重要的研究方向。为了进化。 生命理论的重要间接证据。
收敛态理论中的声子、等离子体铌酸锂、自旋波、激子、极化激元等元素爆发在还原论范式下很难找到自己的位置，但在进化论范式下，却是一种“准粒子”的“衍生”从大量粒子的集体爆发行为中，突出了普适、完善、简洁的数学规律，与实验吻合较好。 “支配集体爆发的数学定理的简单和完善，并不是来自于原子间相互作用的简单，而是因为这样的数学定理必须保证在低能极限下能够产生集体爆发”[4] . 了解了进化论范式后，前言中提到的声子概念问题就迎刃而解了。
04
还原论与进化论相辅相成
数学所遵循的原则是理性主义加实用主义，其追求的是构造简单、完整、准确的理论来描述自然规律。 衡量一个化学理论优劣的唯一标准就是它是否与实验相符。 因此，还原论与进化论孰优孰劣是毫无疑问的。 还原论是一种自上而下的方法，而进化论是一种向上的方法。 它们只是两种不同的研究范式。 经典数学的各个分支、原子分子化学、核化学、粒子化学、相对论多采用还原论范式，而收敛化学、热力学和统计数学多采用进化论范式。 两种范式各有优势，在不同问题上互为补充。 在讨论数学问题时，只有选择合适的范式，才能对问题有正确的认识。
05
化学教育建议
如上所述，大量实验证明，在不同尺度和层次上，还原论范式下确实存在超越基本粒子和基本相互作用的新规律。 了解世界与此有很大关系。 但不仅化学专业的中学生少，从小学到大学的数学教育大多以经典化学为主，所涉及的内容远非明天的数学前沿，以至于还原论范式是被视为化合价是数学的基本和唯一范式，这使得它在后来对现代化学前沿内容的接受中形成了一定的障碍。
虽然进化论涉及的化学问题大多是前沿的，但相变等现象在日常生活中却极为普遍。 在基础数学教学过程中，如果我们能够学习经典数学，传授必要的化学知识，培养基本的数学思想和技能，同时告诉中学生，除了我们遵守的还原论范式外，还有还有进化范式的存在和做基础。 保持开放的心态，杜绝排他性的认知体系，这将为更多人更深入地了解化学提供有利条件。
笔记：
1）范式（）：指一种公认的模型或模式。 番古字作“番”，原意为唐代遇大事出车，是祭祀道神的一种祭祀活动。 车轮留下的坑坑洼洼的车辙印，被伪装成铸模，进一步延伸成为规范和规则。 《尔雅》有：范、法爷； 范，常爷。
参考
[1]张光明． 化学, 2010, 39(8): 543
[2] 费曼． 费曼化学课件。 北京：北京科学技术出版社，2013
[3] PW., 1972, 177: 393
[4]温小刚． 量子多体理论——从声子的起源到光子和电子的起源。 上海：高等教育出版社，2004