曲线运动动能不变的情况有：
1. 匀速圆周运动：物体沿着圆周运动，并且线速度的大小始终不变。
2. 平抛运动：物体只在重力的作用下，水平方向做匀速直线运动，竖直方向做自由落体运动，其合运动是曲线运动。
3. 竖直上抛运动：物体以某一初速度沿竖直方向抛出（不考虑空气阻力），物体只在重力作用下，从静止开始竖直上抛的运动的轨迹是直线。
需要注意的是，虽然动能不变，但速度的方向会发生变化，因此仍属于曲线运动。
例题：一个质量为 m 的小球在光滑的水平面上做匀速圆周运动，转速为 n 转/分，半径为 R。求小球的动能。
在这个例子中，小球做曲线运动，但动能保持不变。这是因为小球在光滑的水平面上运动，没有受到摩擦力的作用，所以它的动能只与它的质量和速度有关。
根据动能的定义，小球动能 EK = 1/2mv²，其中 m 是小球的质量，v 是小球的速度。在这个例子中，小球的速度是恒定的，所以它的动能也是恒定的。
根据题意，小球做匀速圆周运动，因此它的速度大小不变，方向不断变化。我们可以根据转速 n 计算出小球每秒转的圈数，从而得到小球每秒的线速度。
设小球每秒转的圈数为 T，则有：
T = n转/分 = 60转/秒
设小球每秒转的圈数为 t，则有：
t = T/t = t秒
根据线速度的定义，线速度 v = 半径 R × 角速度 ω，其中角速度 ω = 转数 T/秒。因此，小球每秒的线速度为：
v = Rω = R × T/t = R × nR/t = nR²/t 米/秒
由于小球做匀速圆周运动，它的线速度大小不变，方向不断变化。因此，小球每秒的线速度等于其转速乘以半径的平方再除以每秒转的圈数。由于小球的质量和半径已知，我们可以根据上述公式计算出小球的动能。
综上所述，这个例子中曲线运动动能不变的原因是小球在光滑的水平面上运动，没有受到摩擦力的作用，因此它的动能只与它的质量和速度有关。小球的转速、半径和质量已知，我们可以根据上述公式计算出小球的动能。
