2014飞行高中物理竞赛角动量练习 1、一根质量为m、长度为l的均匀细杆绕过杆端点并垂直于杆的轴以角速度ω旋转时物理竞赛角动量，它相对于端点的动能与角动量分别如图5-1-6所示。将杆从水平静止位置放开，设杆能绕过A点的固定光滑水平细轴无摩擦地摆动下来，当摆动角度从零到θ时，求：（i）细杆的角速度ω和角加速度β；（2）固定光滑细轴给杆提供的支撑力N。 解（1）由于没有摩擦，机械能守恒。代入后，可以以A点为坐标系原点，建立一条垂直于图形平面的z轴，细杆各部分相对于A点的角动量沿z轴方向。叠加后，细杆的总角动量L也必定是沿z轴方向的，其大小为： 固定的光滑细轴给细杆提供支撑力N，相对于A点的矩为零，细杆相对于A点的重力矩为M： 方向： 刚体沿固定轴旋转时，沿z轴的角动量变化量与冲量矩相同。因此，（2）如图5-1-7所示，将N分解为和，支撑力与重力合起来为细杆的质心提供加速度，可建立下面的方程，式中和分别为质心在圆周运动中的质心向和切向加速度。于是可得，2.质量为M，半径为R的均匀圆盘绕过圆心并垂直于圆盘的轴以角速度ω旋转时，其角动量为，有如图5-1-8所示的系统。细绳的质量可以忽略，细绳与盘面之间无相对滑动，定滑轮与中心轴光滑接触，图中已标出相关参数，m1m2，试求出一个.. 解： 取轴上某点为参考点，定滑轮的角动量为沿轴线方向向外，其大小为 。设左、右绳子上的拉力分别为T1和T2，它们相对于轴线的矩和为沿轴线方向向外，其大小为 。由于m1和m2有方程，m2也有方程，则a与β的关系为a=βR: 3可解： — — 一个质量为m的物体，一端拴在一根穿过小孔的轻绳上，在光滑水平面上以角速度为ω0，半径为r0做圆周运动。从时刻t=0开始，手以v的匀速向下拉绳子的另一端，使半径逐渐减小。 求：（1）角速度与时间的关系；（2）绳子内的拉力与时间的关系。 解：（1）物体m只在水平方向受到绳子拉力的作用，它相对于小孔的角动量守恒。
当粒子与小孔之间的距离为r，设它的角速度为ω，则有 或 因此根据问题， ，代入上式可得 根据牛顿运动定律，由于 为常数，所以， 4.两个质量为m的小球用长度l的绳子连接起来，放在光滑的水平桌面上。给其中一个小球一个垂直于绳子方向的速度v0，如图5-4-2所示。求此系统的运动规律及绳子中的拉力。 解 对于整个系统而言，水平方向没有外力物理竞赛角动量，因此系统的动量在水平方向上守恒。根据质心运动定律，有公式式中vc为质心速度，方向与v0相同，所以系统质心以-的速度做匀速直线运动。由于整个系统对质心没有外加扭矩，系统对质心的角动量守恒，即ω为两球对质心的角速度，所以，即两球绕质心做匀速圆周运动，同时绳内的拉力为5。如图5-4-4所示，两球质量为m，分别拴在一轻弹簧两端，放在光滑的水平桌面上。弹簧在自然状态时，其长度为a，刚度系数为k。现在两球同时受到冲击力的作用，各自获得一个大小相等、方向相反的垂直于连线的初速度。设弹簧在随后运动的最大长度为b=2a，求两小球的初速度v0。 解：取两小球连线中点0为初始时刻的不动点，观察到系统角动量守恒，当弹簧伸长到最大长度时，小球没有径向速度。 ①系统的机械能也守恒。 ②从公式①和公式②中消去v，代入b=2a得 6.小滑块A位于光滑水平桌面上，小滑块B位于桌面上一个光滑小凹槽内。两滑块质量均为m，用一条长度为l的轻的、不能伸长的、无弹性的绳子连接起来，如图5-4-3(a)所示。开始时，A、B之间的距离为，A、B连线垂直于小凹槽，如图5-4-3(a)所示。现在对滑块 A 施加冲击，使其获得与凹槽平行的速度 v0。求滑块 B 开始移动时的速度。
解：设在绳子被拉紧的瞬间，滑块A的速度为vA，滑块B的速度为vB。当绳子被拉紧时，滑块A相对于滑块B的运动是以滑块B为圆心的圆周运动，它的相对运动速度为v，垂直于绳子，如图5-4-3(b)所示。所以，滑块A此时的速度取图5-4-3(b)所示的坐标系，则有 ①②由图中几何关系可知 ③滑块在运动过程中，系统在y方向不受外力作用，动量守恒 ④滑块A相对于滑块B原始位置的角动量守恒： ⑤联立以上五个方程，可得 7.一个质量为m的小球在距半顶角为α的圆锥顶端高度h处，以一定的初速度沿内壁水平射出。设圆锥内壁光滑。（1）为了让小球在高度为h的水平面上做匀速圆周运动，初速度v0是多少？（2）设初速度v1=2v0，求小球在运动过程中的最大与最小高度。解（1）物体在重力mg和锥壁支撑力N的作用下做圆周运动。由于①R为圆的半径，R=将htanα代入上式可得（2）当初速度大于时，小球不能在原来水平面上保持圆周运动，因为这不满足方程①，小球必须上升；但不能停留在更高的水平面上做匀速圆周运动。这样，小球就必须在一定的上下高度之间做螺旋状运动，来回往返。为了求这两个极限高度，我们寻找小球运动的守恒性。首先，机械能守恒，因为小球在重力场中运动，支撑力N不做功；其次，小球在旋转。如果有一个守恒定律，另一个守恒定律必定是角动量或者是它的分量。不难发现，由于外力N和mg都在过z轴的平面内，所以外力矩没有z方向的分量，即，因此为常数。用h+x表示极限高度。注意，在极限高度，小球的速度必定是水平方向。于是我们可以列出下面两个守恒定律方程：能量守恒：②角动量分量守恒：③由方程②和③可得x的三次方程，由方程④可知x=0必定有解。这是合理的，因为弹射速度是水平方向，高度必定是极值。消去x后得到x的二次方程： 解得8.如图5-2-6所示，在光滑水平面上，两个质量均为M的小球由一根长为l的光杆连接在一起，另一质量为m的小球以速度v0沿与杆成角度θ的方向运动，与某一M相碰撞。碰撞后，m以速度v0沿原路线反弹。试求碰撞后光杆系统绕其质心旋转的角速度ω。 解： 系统水平动量守恒： 机械能守恒： 系统绕光杆系统质心旋转的角动量守恒。 解得9.设上题三个球的质量相同，均为m，且θ=450。运动小球与杆上连接的小球发生弹性碰撞时，其速度为v0贝语网校，运动方向与原速度垂直，如图5-2-6所示。求：（1）碰撞后运动小球的速度vf；（2）碰撞后光杆系统绕其质心旋转的角速度ω。解系统的水平动量守恒定律（1）（2）机械能守恒定律：（3）系统绕光杆系统质心旋转的角动量守恒定律