高中物理竞赛-动量与能量练习 1.动量定理还是动能定理？ 物理情况：航天器在宇宙中飞行时，它与其他天体之间的引力可以忽略不计，但航天器时常会遭遇与空间碎片的碰撞而受到阻碍。设在单位体积的空间内均匀分布有n块垃圾，每块的平均质量为m，垃圾的速度可以忽略不计，航天器在飞行中保持匀速v，与速度垂直方向上的横截面积为S，与空间碎片碰撞后，垃圾完全粘附。试求航天器发动机应提供的平均推力F。 模型分析：空间碎片的分布并不是连续的，对航天器的影响也是不连续的，如何正确选取研究对象是本题的前提。 建议充分理解“平均”的含义，这样垃圾与航天器的相互作用过程就可以相对模糊地处理，淡化考察的“作用时间”与“物理过程时间”的差异。物理过程需要人为拦截，对象是空间碎片。先利用动量定理进行推断和求解。取一段时间Δt，在这段时间内，航天器要穿过体积为ΔV = S·vΔt的空间，遇到nΔV块空间碎片，使它们获得动量ΔP。动量的变化率就是航天器应该给予那部分碎片的推力，也就是航天器发动机的推力。= = = = = nmSv2如果我们利用动能定理，能解题吗？ 类似地，对于上述物理过程，由于航天器要向前移动一个位移x=vΔt，发动机推力所要做的功W=x，这个功对应于航天器及其附着碎片的动能增量，而航天器的ΔEk为零，所以：W=ΔMv2即：vΔt=(nmS·vΔt)v2得到：=nmSv2，这两个结果是不一致的，不可能同时正确。
分析动能定理的解法，我们可以发现，垃圾与航天器的碰撞是完全非弹性的，需要很大的机械能。因此，“发动机做功等于垃圾动能的增加”的观点是错误的。但在动量定理的解法中，由于I=t，因此得到的=必定是航天器对垃圾的平均推力。那么，利用航天器的平衡条件，的大小就是发动机推力。这个解法没有错，是正确的。（学生活动）思考：如图1所示，一根总长度为L，总质量为M的软绳绕在一根光滑的直杆上。现在用手握住绳子的一端，以恒定的水平速度v拉直。忽略地面阻力，求手拉力F。解法：解法与上面完全一样。 答：二、动量定理在不同方向上在物理情境中的应用：三粒子A、B、C，质量分别为m1、m2、m3，由直的不可伸长的绳AB、BC连接，静止在水平面上，如图2所示，AB与BC的夹角为（π-α）。现在对粒子C施加一个冲量I，沿BC方向，求粒子A运动开始时的速度。模型分析：一、注意对“开始运动”的理解，即绳子刚拉直，就有一个力和冲量产生，但绳子的取向没有改变。二、动量定理可以应用在三粒子上，但粒子B的冲量不在一条直线上，所以最复杂，可以用不同方向的形式来表示。三、由于两段绳子都是不可伸长的，所以可以求出三粒子的瞬时速度，有两段约束关系。
我们来详细看一下这个解题过程——在绳子被拉直的瞬间，绳子AB对粒子A、B的冲量大小相等（方向相反），设为I1，绳子BC对粒子B、C的冲量大小相等（方向相反），设为I2；假设A获得速度v1（由于A上的合成冲量只有I1，且方向沿AB，所以v1的反方向是沿AB），假设B获得速度v2（由于B上的合成冲量为+，矢量和既不沿AB也不沿BC，所以v2与绳子AB的夹角可设为〈π-β〉，如图3所示），假设C获得速度v3（合成冲量+沿BC，所以v3沿BC）。 利用A的动量定理，有： I1=m1v1① B的动量定理是一个矢量方程： +=m2，可转化为两个不同方向的标量方程，即： I2cosα－I1=β②I2sinα=β③ 粒子C的动量定理方程为： I－I2=m3v3④ 绳子AB不能拉长，故v1=v2cosβ⑤ 绳子BC不能拉长，故v2cos(β－α)=v3⑥ 用六个方程解六个未知量（I1，I2，v1，v2，v3，β）是可能的，但复杂性非同寻常，解方程时要注意有序，否则容易造成混乱。 建议采取以下步骤：1.先利用方程⑤和方程⑥消去v2和v3，使6个一级方程变为4个二级方程：I1 = m1 v1Ⅰ2cosα－I1 = m2 v1ⅡI2sinα= m2 v1 tgβⅢI － I2 = m3 v1(cosα+ sinαtgβ)⑷2.解方程Ⅲ和方程⑷消去β，使4个二级方程变为3个三级方程：I1 = m1 v1㈠I2cosα－I1 = m2 v1㈡I = m3 v1 cosα+ I2㈢3.最后消去方程㈠㈡㈢中的I1和I2，解v1就容易多了。
计算结果为：v1= （学生活动：训练解方程的条理性和耐心） 思考：v2的方位角β是多少？ 解答：解“二次公式”(1) (2) (3) (4) (5) 。将(1)代入(2)消去I1，得到I2的表达式。将I2的表达式代入(3) (6) 。 答：β=arc tg()。 三、动量守恒中的相对运动问题 物理情况：在光滑的水平地面上，有一辆汽车，车内有一个人和N个铅球。系统原来处于静止状态。现在车内的人以一定的水平速度将铅球一个接一个地从车内抛出，车和人都会获得反冲速度。在第一个过程中，每次保持投球相对于地面的速度为v，直到投完球；在第二个过程中，每次保持投球相对于汽车的速度为v，直到投完球。 问题：哪个过程使汽车获得的速度更大？ 模型分析：动量守恒定律必须选择研究对象之外的第三方（或第四、第五方）作为参照物，也就是说本题不能选择汽车作为参照物。一般选择地面作为参照系，这就使得“第二过程”中铅球的动量难以表达，必须引入相对速度与绝对速度的关系。至于“第一过程”，则比较简单：投掷N次球完全等同于一次投掷N个球。设汽车和人的质量为M，每次投掷铅球的质量为m。由于矢量的方向落在直线上，可以取正方向，将矢量运算转化为代数运算。设车速方向为正，第一过程得到的速度为V1，第二过程得到的速度为V2。
第一个过程中，由于每次投掷铅球的动量相同，因此多次投掷可视为一次投掷。车、人及N个球的动量守恒。0 = Nm(-v) + MV1 所以：V1 = v① 第二个过程中，必须逐一考察铅球与车（人）的相互作用。第一个球与（N-1）个球、人、车系统相互作用，完成后，设“系统”的速度为u1。值得注意的是，根据运动合成定律网校头条，铅球相对于地面的速度不是（-v），而是（-v + u1）。它们的动量守恒方程为：0 = m(-v + u1) +〔M +(N-1)m〕u1 所以：u1 = 第二个球与（N -2）个球、人、车系统相互作用，完成后，设“系统”的速度为u2。 它们的动量守恒方程为： 〔M+(N-1)m〕u1 = m(-v + u2) +〔M+(N-2)m〕u2 所以： u2 = + 第三个球与（N -2）个球、人、车系统相互作用，完成后令“系统”速度为u3，铅球相对地面的速度为（-v + u3）。 它们的动量守恒方程为：[M+(N-2)m]u2 = m(-v + u3) + [M+(N-3)m]u3，所以： u3 = + + 以此类推（注意过程：先找uN和uN-1的关系，再看uN和v的关系，不要急于简化公分母）……，可得出uN的通式： V2 = uN = + + + ... + 即：V2 =② 我们将公式①重写为：V1 =①′ 不难发现，公式①′与公式②都有N项，且各项的分子相同，但公式①′中各项的分母均小于公式②中的分母，所以：V1＞V2。
结论：第一个过程使汽车获得的速度较大。（学生活动） 思考：一辆质量为M的汽车上，有n个质量均为m的人，静止在光滑的水平地面上。现在车内的人以相对于汽车大小的初速度v，水平向后地从车上跳下。第一个过程，N人同时跳下；第二个过程，N人相继跳下。 问：哪一个过程中汽车获得的速度较大？ 解：第二个过程的结论与上面模型完全相同，而第一个过程的结论为V1= 。 答：第二个过程获得的速度较大。 4、反冲运动中一个重要的固定物理情形：如图4所示，一艘长为L，质量为M的小船停在静水中（但没有抛锚），船头上有一个质量为m的人，此人也静止不动。 现在让这个人开始向船尾走去，忽略水的阻力。 问题：当人走到船尾时，船会移动多远？（学生活动） 思考：人能匀速（或匀加速）行走吗？当人在中途停下来休息时，船有速度吗？人的总位移是L吗？ 本系统以船为参考，动量守恒吗？ 模型分析：动量守恒表示已知质量条件下的速度关系。要过渡到位移关系，需要引入相关运动学定律。根据实际情况（人必须停在船尾），人的运动不可能是匀速或匀加速的。运动学定律应该选取S=t。要求出时刻t，必须掌握人与船之间的位移约束关系。 对于人-船系统，对于“开始运动→中间任意时刻”的过程，采用动量守恒（设最终状态的人的速度为v，船的速度为V），指向船头的方向为正方向。则向量关系可以转化为代数运算，有： 0 = MV + m(-v) 即：mv = MV 由于该过程的最终状态是任意选取的，因此该公式表示任意时刻人与船之间的瞬时速度关系。
而且，不难推断，对于中间的任意一个过程，二者的平均速度也存在这种关系。即：m=M①设整个过程的时间为t，乘以式（1）两边，可得：mt=Mt设s、S分别为人、船的位移。 根据平均速度公式，可得： ms=MS② 受船长L的约束，s与S有关系： s+S=L③ 解②和③可得： 船移动的距离S=L （应用动量守恒定律解题时，也可以用一切矢量关系，但此时“位移关系”比较难表达——必须借助运动合成与分解公式，如果时间允许，可以作对比介绍。） 另一种解法： 质心运动定律 人船系统水平方向没有外力，故系统质心无加速度→系统质心无位移。 首先求出初状态系统的质心（用它到小船质心的水平距离x来表示。根据力矩平衡的知识可得：x=），根据，终状态的质量分布与初状态相比，相对整体质心是对称的。明白了这一点之后，求解小船质心的位移就很容易了。（学生活动）思考：如图5所示，在无风的天空中，一个人抓住气球下方的绳索，刚好能与气球处于静力平衡。人与气球的质量分别为m和M。此时人距离地面的高度为h。现在人想沿着吊索下降到地面，绳索至少要有多长才能让人完全安全落地？答：和模型几乎一模一样。这里的绳索长度对应着模型中的“小船长度”（“完全安全落地”是指不允许人从绳索上跳下来落地）。
答案：h。（学生活动）思考：如图6所示，两个倾斜角相同的斜面倒置在光滑的水平地面上，小斜面在大斜面上方。无初速度释放后，小斜面下滑，大斜面后退。设大、小斜面的质量分别为M、m，底边长度分别为a、b，求：小斜面滑到底部时，大斜面后退的距离。解答：水平动量守恒。解题过程省略。答案：（ab）。高级应用：如图7所示，一个质量为M，半径为R的光滑均质半球放在光滑的水平桌面上。球面上方有一质量为m的质点，质点从静止开始沿球面下滑。求：质点在离开球面前的轨迹。 解释：质点滑落，半球后退。这个物理情况和上面的双斜面问题很相似。仔细分析，由于也满足水平动量守恒，所以我们介绍的“定点公式”是适用的。公式解决了水平位移（位置）的问题，但纵坐标需要一些数学解。要求轨迹方程，我们需要建立一个坐标系：以半球中心O为原点，沿质点滑落一侧的横轴为x坐标，纵轴为y坐标。 由于质点相对于半球始终做圆周运动（在离开球面前），因此，需要引入相对运动的半球中心O′的方位角θ来表示质点的瞬时位置，如图8所示。由“公式”易得：x=Rsinθ①由图可知：y=Rcosθ②不难看出，方程①、方程②其实都是一条轨迹的参数方程。
为了明确轨迹的性质，我们可以消去参数θ，使它们为： + = 1 这样，特点就很明显了：质点运动的轨迹是一个椭圆，其长短半轴分别为R和R。 5、功的定义中S值怎样取？ 解功的问题时，有时力作用点的位移不等于受力物体（质心）的位移，应该将S取为力作用点的位移还是物体（质心）的位移？下面看几个例子。 1、如图9所示，一个人双手撑在桌子上，推讲台，结果，双手向前移动了一段距离，而讲台却没有动。问：这个人做了功吗？ 2、本“节”第3页图1的模型中，计算拉力所作的功时，S可否取为绳索质心的位移？ 3、一个人从一楼爬到二楼的固定楼梯，楼梯做功吗？ 4、如图10所示，双手分别按压固定气缸两边的活塞高中物理竞赛推荐，作用力大小相等，方向相反，活塞移动相同的距离S，气缸内封闭的气体被压缩，施加力的人（人）做功吗？ 以上四种情况，若S取作用点的位移，只有第1、2、4种情况做功（注意第3种情况，楼梯支撑力的作用点没有移动，只是不停地改变作用点）。若S取物体（受力人）质心的位移，只有第2、3种情况做功。 而且，第二种情况虽然也做了功，但数值却不一样，因此，用不同的标准得出的结论有着根本的区别。面对这些看似合理的“难题”，我们还是先回到最根本的一点上来，那就是“功是物体能量转换的尺度”。
第一个例子，手与讲台摩擦生热，内能的产生必须由人体生物能转化而来，人必须做功，S应为作用点位移；第二个例子中，求拉力的功，上面已经说明S最好取作用点位移；第三个例子中，楼梯不需要输出任何能量，不做功，S取作用点位移；第四个例子中，气体内能的增加必须由人输出，而压力做功，S取作用点位移。但是高中物理竞赛推荐，如果将以上四个例子中的受力者分别运用动能定理，第一个例子中，人在讲台上不做功，S取物体质心位移；第二个例子中，动能增量对应的值是S取L/2-物体质心位移时的值； 在第四个例子中，气体的宏观动能没有增量，所以S取质心的位移。（第三个例子的分析暂时放后。）上面的分析引用理论知识并没有错。那怎么把它们统一起来呢？原来，功的概念有广义和狭义之分。在力学中，狭义的功仅指机械能转换的量度；而在物理学中，广义的功则指除热传递外一切能量转换的量度。因此，功也可以定义为能量转换的量度。一个体系的总能量的变化量，常常以这个体系所作的功的多少来衡量。能量可以是机械能、电能、热能、化学能等多种形式，也可以同时进行多种形式的能量转换。可见，在上述分析中，第一种理论对应的是广义的功，第二种理论对应的是狭义的功。 这两者并没有什么问题，只是现在的教科书没有及时区分而已。而且，我们也不难总结出来：算广义的功，S取作用点的位移；算狭义的功，S取物体（质心）的位移。
那么我们在解题时该如何处理呢？这里有几点建议：1、抽象地说，“某一力所作的功”一般是指广义的功；2、“力对物体所作的功”往往是指狭义的功；3、动能定理中的功肯定是指狭义的功。当然，在解功地问题时，也要注意具体问题具体分析。比如上面的第三个例子就比较复杂，如果我们认为所求的功是狭义的功，S是质心的位移，做功，但结论还是不成立的。我们这样处理吧：把复杂的可变形物体（人）看作这样一个相对理想的组合：在刚性物体下面连接一个压缩弹簧（如图11所示）。人每踏上梯子，双腿就会伸直，使身体重心抬起，相当于弹簧把刚性物体抬起来。 这样一来，我们不难发现，做功的是人的腿而不是地面。人既是输出能量（生物能）的机构，又是获得能量（机械能）的机构——这里的物理情况更像生物的情况。这道题要求做的功，应该理解为广义的功。上述四个例子，有一些共同的特点：要么受力物体比较复杂（变形，不能简单看成质点。如第二、三、四例），要么施力物体与受力物体之间的能量转换不是封闭的（涉及第三者，或者以机械能以外的形式存在。如第一个例子）。以后再遇到这样的问题，需要谨慎对待。（学生活动）思考：一条足够长的水平传送带，保持匀速v，上面放一袋货物，无初速度。货物在达到速度v之前，与传送带的摩擦力为f，向地面的位移为S。
问题：计算摩擦所作的功时，能用W=fS吗？ 解答：按一般的理解，这应该是指广义功（对应传送带发动机输出的能量），所以“位移”就是作用点的位移。注意，这里隐含着一个“交换作用点”的问题。仔细分析不难发现，每个作用点（相对于传送带）的位移都是2S。（另解：计算货物增加的动能与与传送带摩擦产生的热量之和。） 答：不能。（学生活动） 思考：如图十二所示，一个人站在船上，拉着固定在铁桩上的缆绳，把船拉到岸边。 问题：缆绳对船和人系统做功吗？ 解答：分析同上“例三”。 答：不能。 六、 机械能守恒与运动合成（分解）的综合物理情况：如图13所示，一根矩形刚性杆固定，水平和垂直部分足够长。两个带孔的小球A、B，质量分别为m1和m2，串在杆上，用长度为L的轻绳连接。忽略两球的大小。初始状态，假设它们处于同一高度，绳子处于拉直状态。现在释放系统，不设初速度，忽略一切摩擦力，试求B球运动L/2时的速度v2。模型分析：系统A、B的机械能守恒。A、B球的瞬时速度不相等，可根据“第三部分”介绍的公式（滑轮船）求它们的关系。（学生活动）A球的机械能守恒吗？B球的机械能守恒吗？ 系统机械能守恒的原因是什么（两种分析方法：a.“微分法”确定两个WT的代数和为零；b.不存在非弹性碰撞，不存在摩擦，也不产生其他形式能量）？由“推广条件”可判断系统A、B的机械能守恒（设终态A球瞬时速度为v1）。该过程方程为：m2g=+①终态下绳子与水平杆的瞬时夹角为30°，设绳子瞬时迁移速度为v，根据“第三部分”介绍的公式可得：v1=v/cos30°，v2=v/sin30°。两方程联立为：v1=°=v2/②解方程①和②可得：v2=VII。 动量与能量的积分（一）物理情况：如图14所示，两根长度为L的刚性轻杆，其一端通过质量为m的球铰链连接，另一端分别与质量为m和2m的小球相连。
将此装置的两根杆合拢，垂直放置在水平桌面上，铰链在上方，然后轻轻敲击，使两球向两侧滑动，但两根杆始终保持在垂直面内。忽略一切摩擦力，试求：当两杆夹角为90°时，质量为2m的球的速度v2。 模型分析：三球系机械能守恒，水平动量守恒，注意约束关系-两杆不能伸长。（学生活动） 初步判断：左边球与球铰链的速度方向会是什么？设最终状态（杆间夹角为90°）左边球的速度为v1（方向：水平向左），球铰链的速度为v（方向：与垂直方向成θ角向左斜行）。 对于该问题，假设过程，三球系机械能守恒，有： mg(LL) = m + mv2 + 2m① 三球系水平动量守恒，有： mv1 + mvsinθ= 2mv2② 左边杆不变形，有： °= vcos(45°-θ)③ 右边杆不变形，有： vcos(45°+θ) = °④ 四个方程的四个未知量（v1，v2，v和θ）均可以求解。 解该方程的推荐步骤如下： 1. 用v2 代替方程③和④中的v1 和v，代入方程②求θ，可得：tgθ= 1/4 2. 回到方程③和④，可得：v1 = v2 , v = v2 3. 将v1 和v 的代入公式①，求v2。 结果：v2 = （学生活动）思考：在球形铰链接触地面之前的瞬间，左球、铰链、右球的速度分别为多少？ 解答：由于两根杆不能变形，可知三个球的水平速度都为零，θ 为零。
一个能量方程就够解决问题了。 答：0， ，0。 （学生活动）想：当两杆夹角为90°时，右边小球的位移是多少？ 解：水平方向用“反冲位移公式”，或者水平方向用质心运动定律。 答： 。 高级应用：在本讲中的模型“四、反冲……”的“高级应用”（见图8）中，当质点m滑向方位角θ（不离开半球）时，质点速度v的大小和方向是多少？ 讲解：本例综合运用了运动合成、动量守恒、机械能守恒的知识，数学运算比较复杂，是一道考验学生各项能力和素质的难题。 根据运动合成，有： = + = - 其中，必然是沿着地面左边走。为了书写方便，我们将其大小设为v2； 它必须沿着半球瞬时位置的切线方向（垂直于瞬时半径）前进，大小设为v。根据矢量减法的三角法则，我们可以得到一个示意图（设大小为v1），如图16所示。同时，我们还在图中画出了v1的x和y分量v1x和v1y。 从图中，我们可以得到：v1y =（v2 + v1x）tgθ①保守粒子和半球系统的水平动量用三个方程式解决三个未知数量（V2，V1X，V1Y），但数学操作很复杂。 The steps are as : 1. From ① and ②, we get: v1x = v2, v1y = (tgθ) v2 2. into ③ to solve v2, and get: v2 = 3. From = + to solve v1, we get: v1 = The of v1: It makes an angle α with the , α= arctg = arctg() This is the final .
[粒子的瞬时角速度与半球的速度= = = =的瞬时速度（II）。铁块以v = 6 m/s的速度向右移动。当有两对相互作用时，可以进行治疗程序。 能量关系引入了摩擦热量的应用，因为过程相对复杂，动态分析必须有助于动态分析，并且全面性相对较高。在这里，当汽车与墙壁相撞时，可以认为铁块和汽车之间的相互作用尚未发生，但只有在汽车和墙壁之间的相互作用已经完成后，与铁块的相互作用开始了。 汽车首次撞到墙后，汽车的速度变为-v，然后它与速度仍然为v的铁块相互作用。动量是保守的，相互作用完成后，共同的速度v1 = = =，因为方向是正的，因此它必须向墙移动。
（学生活动）在达到共同的速度之前，汽车会撞到墙壁：汽车的最大位移是S =，反向加速度的位移是S'=，其中A = A1 =，SO S'＜S，因此，在墙壁上，汽车在墙壁上遇到了墙壁的相互作用。速度仍然是v1。 ...通过类似，我们可以总结铁障碍物和汽车的运动 - 铁块：向右的均匀减速→向右的均匀速度→向右的均匀速度→右速度均匀的速度：平面汽车均匀的速度：均匀的减速到左→左→右加速度的均匀加速度的均匀速度均匀的速度均匀→左右的速度均匀→均匀的速度→均匀的速度→左右距离距离距离距离均匀→铁块具有共同的速度，它们将始终撞到墙壁，因此最终的稳定状态是：它们在墙壁的角落（总最终动能为零）。向右移动时，只需走两倍的左移动距离即可。 但是左侧的减速是统一的，因此第一次：S1 = S2 = = =第三次：s3 = ... n次撞墙的总距离为：σs= 2（S1 + S2 + S3 + S3 +… + SN）=（1 + +… +… +… +… +… +… +）=（1 + +… +… +… +） EN带有质量M和长度L的板固定在平滑的水平平面上。
现在，请再次将相同的滑块赶到板上，并要求它从另一端滑下，这应该是什么。新的初始速度对M =（M + M）VM-（M + M）V2 = FL，并求解上述三个方程式：= V0。