高中金属棒、科赫雪花和托里切利喇叭
因为一道高中物理题，想到了两道很有意思的数学题，好像有关联，就整理出来分享给小伙伴们，欢迎分享！
总而言之，今天我们主要讲：
（1）一个物体沿着单一方向直线运动，但无论时间流逝多少，它行进的距离都被限制在一定的范围内，仿佛有一个永远无法突破的界限。因此，我看到了生命的悲哀，那就是无论你如何努力前行，直到时间的尽头，你仍然无法到达想要的距离。
（2）面积有限的封闭多边形，其周长是无限的。所以当老师叫一个孩子给多边形涂颜色时，孩子很快就涂完了。但当老师叫另一个孩子用红色给多边形涂颜色时，即使他用完了学校里所有的水彩笔，他还是涂不完。
（3）体积有限的物体，其表面积是无限的。因此，我们可以想象，如果我们买一个体积有限的物体，然后把它的表面展开，就可以用它覆盖无数个面积一定的房间。
这些都是关于无穷大的事情。让我们一一讨论一下：
先说《高中金属棒》吧！
如下图所示，间距为
水平金属轨道上有一个垂直向下的均匀磁场，磁感应强度为
高中物理所有公式蛋糕，连接一个电阻
阻力，具有初速度的金属棒
在水平导轨上移动，忽略所有摩擦力和导轨与金属杆的阻力。
这是一个很常规的模型，金属棒切割磁力线，产生电流，然后金属棒在安培力的作用下减速，最后金属棒停在轨道上。
我们可以计算出金属棒要移动多远才会停下来，这个很简单也很常规。
根据动量定理：
（1）
在
，
但：
（2）
根据
，我们可以知道：
（3）
在
是金属棒移动的距离，
结合（2）和（3），我们可以得到：
（4）
很简单，但是这里还有一道题，一般高中生都不会做。我补充一下，就是求金属棒的运动时间。这涉及到微积分的方法，我简单介绍一下。
根据牛顿第二定律，我们有：
（5）
当速度
当 时，电流为：
（6）
结合（5）和（6），我们得到：
（7）
求解（7）可得：
，
整合双方：
，
解决方案必须：
（8）
上面的公式是速度和时间的关系。因此，当
什么时候
。因此，金属棒需要无限长的时间才能停下来。
但会
和
通过比较我们发现，金属棒虽然一直在运动，但是运动的距离却被限制在一定的范围内。
这跟有些人的人生是不是很相似，终其一生都在奋斗，却永远达不到一定的高度。
就像我一样，无助！
如果我们对（8）式进行时间积分，我们还可以得到：
，
与上面的答案相同（4）！
当然，物理学中类似的问题还有很多，比如我之前写过的文章：袁野：芝诺悖论解析及物理学中匀速运动能否实现“终结”的问题
在一个无限的过程中，存在着有限的距离。这样的现象似乎还有很多，但还是显得不可思议，比如：
请用一条无限长的绳子画出一个有限面积的封闭图形，可以吗？
这就是“科赫雪花”。
取一个边长为 1 的等边三角形，取每条边的中间三分之一，并将其连接到一个形状完全相同但边长为该边长的三分之一的三角形。结果是一个六边形。取六边形的每一条边，进行同样的变换，即，将一个较小的三角形连接到中间三分之一，并重复此操作直至无穷大。边界将变得越来越微妙和曲折，形状将接近理想化的雪花。
接下来我们求解“科赫雪花”的面积，为了展示思考过程，我们制作一个表格来展示：
于是，我们得到“科赫雪花”的总面积为：
。
也就是说，总面积是一个常数。
接下来我们求解它的周长，同样的列表如下：
如上所述，当
经过第二个分形后，其周长为：
，
什么时候
当它趋近于无穷大时高中物理所有公式蛋糕，
它也趋向于无穷大。
这就是“面积有限、周长无限”的图形，很多“分形”图形都是这样的。
接下来我们来谈谈“托里拆利小号”。
托里拆利喇叭是意大利数学家埃万杰利斯塔·托里拆利发明的一种三维形状，其表面积无限大，但体积有限。它类似于喇叭。
具体来说：
将要
中间
部分周围
轴旋转一次的结果。
因此，我们求解其体积为：
，
也就是说，体积具有有限的值。
其表面积为：
。
这就相当于留学之路，只需要有限量的油漆就能填满整个托里切利小号，但要涂满托里切利小号的整个表面却需要无限量的油漆！
换句话说，我们可以用有限体积的材料制作一个托里拆利小号，然后回家将其展开成一张地毯，但它可以用来覆盖无限数量的一定大小的房间。
最后，当我们觉得有些神奇的时候，再想想。有限量存在于无限过程中是很常见的。例如，无限级数的和就是一个有限值，如下所示：
。
好啦，就这些啦，喜欢的朋友记得点个三连赞哦，也可以看看下面的文章哦！
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朋友们，我们下次再见！
对了，也需要推荐一些好东西。