摘要： 本文主要介绍了竞争数学的一些基本问题解决方法，包括构造法（存在问题的构造方法和构造的数学建模）、反证法和数学归纳法。
关键词：数学;比赛;如何解决问题
数学离不开解决问题，掌握数学的一个重要标志就是善于解决问题。本文将介绍一些解决竞赛数学问题的基本方法。
一、施工方法
问题解决通常是从给定系统中的问题中推断出来的。但是，对于一些问题，例如存在问题和条件和结论相对遥远的问题物理竞赛解题方法，直接推理无法顺利进行，因此有必要找到某种中介工具来建立条件和结论之间的联系。这种解决问题的中介工具通常隐含在问题设计中，需要被发现、解释和构建。通过构建解决问题的中介工具（示例、数学模型或对应关系）来构建问题的解决方案，这是构建方法。
1. 对生存问题的建设性解决方案
存在主义问题是结论中包含“存在”一词的问题。它是研究数学对象的存在，或者研究数学对象是否具有某种性质的问题。有两种方法可以解决存在的问题：结构性和非结构性。一个非建设性的解决方案是使用排他性法律（例如，反证）进行论证。反证在建构证据中起着非常重要的作用。
例1：证明：奇数c为合数的充分必要条件是自然数a≤■-1的存在，因此（2a-1）2+8c是平方数。
证书的充分性很简单，证明被省略了。以下证明了这种必要性。必要性是一个存在的问题，可以使用构造方法。
设c为奇数，则c可以分解为两个大于1的奇数的乘积，较小的一个表示为2k-1，较大的一个表示为m，即c=（2k-1）m，k≥2，m≥2k-1。设 a=m-k+1，则 a=■-k+1≤■-1≤■-1，
和（2a-1）2+8c=（2m-2k+1）2+8（2k-1）m=[2m-（2k-1）]2+8m（2k-1）。
=[2m-（2k-1）]2
例 2.对于任何自然数，整个点平面上是否有一个圆英语作文，使得里面正好有一个完整的点？
为了解决论证性存在问题，假设问题中的圆存在，只需找到一个点，使得平面上每个点的距离不相等。点 P （■， ■） 是符合条件的点。使用反证来证明猜想是正确的。
否则，平面上有两个不同的整点 M（a，b） 和 N（c，d），到点 P 点的距离相等物理竞赛解题方法，即 （a-■）2+（b-■）2=（c-■）2+（d-■）2
简化后，C2+D2-A2-B2+■（B-D）=02（A-C）=0可以推导出a=c，b=d，这与假设相矛盾。我们将从平面的整个点到点 P 的距离从近到远排列为 P1 和 P2,...Pn,...,选择R，使■
2. 构建数学模型
构建数学模型是指反映特定问题的数学对象及其关系结构的图像系统，是一种具体、直观、典型的模式。构建数学模型是一种创造性思维，但也离不开对问题结构的深刻理解。
示例 3：知道 a、b 和 c 是 ABC 的三个边，请验证它
a2（b+c-a）+b2（a+c-b）+c2（a+b-c）≤3abc
分析：使验证器左侧变形
A（B2+C2-A2）+B（A2+C2-B2）+C（A2+B2+C2）（*）
可以使用余弦定理相关联，并使用已知的三角不等式将 （*） 转换为三角函数问题 cosA+cosB+cosC≤ ■ 证明结论是正确的。
2. 反证
数学证明有两种类型：直接证明和间接证明。反证法是间接证据的一种，是数学证明的伟大方法。历史上许多最著名的命题都是通过反证方法证明的。反证方法被誉为“数学家最精密的武器”。
例 4.{an} 是一个正序列，满足 （ak+1+k）ak=1，k=1,2,...,验证对于所有 k∈N，ak 是一个无理数。
假设 ak=■ （p，q 是互质自然数），则 ak+1=■，即 ak+1 也是有理数，则 Sk 表示 ak 的分子和分母之和，则 Sk=p+q，Sk+1=q-（k-1）p。
因为 k≥1，Sk ≥ Sk+1，因此 Sk>Sk+1>Sk+2>....
因为Sk，Sk+1，Sk+2,...都是整数，所以必须有 Sk+1
3. 数学归纳法
数学归纳法也是数学中最基本、最重要的方法之一，在数学的各个分支中都有广泛的应用。需要用数学归纳法证明的一般是与自然数有关的命题，但并不是所有与自然数有关的命题都能被证明，只有能递归的命题才能用数学归纳法证明。
示例 5.m，n∈N 验证 2mn>mn
证明：（1）显然，当 m=1 且 n=1 时，不等式成立。
（2）对于任何自然数k，l，假设2kl>kl和2kl>lk为真，则
2（K+1）L=2kl2L>kl2l=（2k）l≥（k+1）l，2k（l+1）=2kl2k=（2l）k≥（l+1）k
也就是说，p（k+1，l）和p（k，l+1）都是真的，并且命题被证明。
任何方法都有一定的适用范围，在竞赛数学中还有很多其他的解题方法，比如构造法，也可以构造对应法、染色法、赋值法等，教师要不断探索。
引用：
陈传丽，张彤军.竞赛数学课程[M]北京：高等教育出版社，2000