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1.全国中高中物理竞赛第十六届力学预赛试题分类汇编。1.（15分）一辆平顶小车，质量为，沿度的光滑轨道匀速运动。现将一小块质量为，无初速度放置在屋面前缘，已知块与屋面之间的动摩擦系数为。1.若要求块不从屋面后缘掉下来，屋面至少要有多长？2.若屋面长度满足问题1中的要求，则整个过程中摩擦做了多少功？参考答案1.将块放到小车上后，由于摩擦力的作用，以地面为参考系时，块由静止做加速运动，而小车则做减速运动。 如果滑车到达小车车顶后缘时的速度恰好等于此时小车的速度，那么滑车就不会掉下来。设表示此时的速度。在这个过程中，如果把滑车和小车看作一个系统，由于没有在度方向上受到外力，那么
2.在这个方向上动量守恒，即 （1）从能量的角度看，在上述过程中，物体动能的增量等于摩擦对物体所作的功，即 （2）式中为物体运动的间隔。手推车的动能的增量等于摩擦对手推车所作的功，即 （3）式中为手推车运动的间隔。用 表示车顶的最小长度，则 （4）由以上四个方程可解得 （5）即车顶的长度至少应为。 2由函数关系可知，摩擦所作的功等于系统动量的增量，即 （6）由方程（1）和（6）可得（7）2.（20分）一个大容器中盛放两种不混溶液体，它们的密度分别为和（）。 现让一根长度为、密度为的均匀木棒垂直放置在上方的液体中，其下端到两液体界面的距离为，从静止开始下落。试计算木棒到达最低点所需的时间。假设由于木棒的运动
3.产生的液体阻力可以忽略，两种液体都足够深，可以保证木棒始终在液体内部运动，不露出液面或者与容器相碰。 参考答案1 用 表示木棒的截面积。木棒从静止开始到它的下端到达两种液体界面的时候，在这个过程中，木棒受到向下的重力和向上的浮力。根据牛顿第二定律，它的下落加速度（1）用所需要的时间来表示高中物理力学竞赛，则（2）由此，我们可以解出（3）2 当木棒下端进入下方液体后，用 表示木棒在上层液体中的长度。此时，木棒上受到的重力不变，静止不动，但浮力却变大。此时浮力小于重力；此时浮力大于重力。可以看出，存在一个合力为零的平衡位置。 用 表示此平衡位置时木棒在上层液体中的长度，那么此时，我们有（4）由此，我们可以得到（5），也就是说高中物理力学竞赛，当木棒的中点在两种液体的界面时，木棒处于平衡状态，
4.在界面上取一个坐标系，原点在界面上，以垂直方向为轴，向上为正。当棒中点坐标为时，棒上所受的合力为零。当棒中点坐标为时，棒上所受的合力为。在公式（6）中，棒的运动方程为。沿方向的加速度为（7）。由此可知，它是一个简谐振动，其周期为（8）。要求在两种液体中同时运动的时间，首先求出振动的振幅。当棒下端刚进入下层液体时，其速度为（9）。由机械能守恒定律可知，（10）是此时棒中心到坐标系原点的距离。由（1）、（3）、（9）可得。再将和（6）代入（10），得（11）。 由此可知，棍棒下端进入下层液体到棍棒中心到达坐标系原点的距离为振幅的一半。从参考圆（如预解16-9所示）可知对应为30，对应时间为。因此，棍棒从底部移动到底部。
5.从一端进入下方液体到顶端进入下方液体，即从木棍中心到所用的时间为（12） 3.从木棍完全浸入下方液体开始，受力情况分析与1类似，只是浮力大于重力，故为匀速减速运动，加速度和的值相同，该过程与1对称且方向相反，所用的时间为（13） 4.总时间为（14） 第17轮预赛题目 1.（20分）如图17-8所示，一块长木板放在平坦的桌面上，右上端为固定挡板，左上端和中点放置小块和。和的大小和的厚度可以忽略，和之间的间隔为。 设木板与桌面之间无摩擦， 和 之间的静摩擦系数和滑动摩擦系数均为； 和 (连同挡板) 的质量相等。 开始时， 和 静止，以一定的初速度向右移动。 能否出现下列情况？
6、求出这些条件成立时物体初速度应满足的定量条件，或定量解释为什么这些条件不能成立。 （1）物体 与 相撞； （2）物体 与 相撞（假设是弹性碰撞）后，物体与挡板相撞； （3）物体与挡板相撞（假设是弹性碰撞）后，物体 与 再次碰撞在木板上； （4）物体从木板上掉下来； （5）物体从木板上掉下来。 参考答案 1、设 表示物体、 和木板的质量。当物体以初速度向右运动时，物体受到木板的滑动摩擦力而减速，木板受到物体的滑动摩擦力和物体的摩擦力而加速，物体受到木板的摩擦力而加速。设 和 的加速度分别为 、 和 。根据牛顿第二运动定律，有 。 事实上，在这个问题中，_和_之间没有相对运动。这是因为当时
7.由上式可得 （1） 小于最大静摩擦力。可见静摩擦力阻碍了块体与木板之间的相对运动。如果块体恰好与块体相撞，那么当块体移动到块体所在位置时， 和 的速度相等。由于块体和木板的速度相等，所以此时三者的速度相同。设，由动量守恒定律可得 （2） 在这个过程中，设木板的距离为 ，则块体的距离为 ，如预解17-8所示。由动能定理可得 （3） （4） 也就是说，在这个过程中，整个系统的动能变化量等于系统间滑动摩擦所作功的代数和。将（3）和（4）的等号两边相加，即得 （5） 其中 是块体相对于木板移动的距离。 解（2）和（5）可得（6）也就是说，当物块的初速度为时，刚好不足以发生碰撞。如果，则和会发生碰撞，因此和发生碰撞的条件是（7）2
8.当物体的初速度满足式（7）时，与会发生碰撞。设碰撞瞬间，的速度分别为英语作文，和，则 （8）在物体和碰撞的极短时间内，木板对它们的摩擦力冲量很小，可以忽略不计。因此，在碰撞过程中，和组成的系统的动量守恒，而木板的速度不变。由于物体和之间的碰撞是弹性碰撞，系统的机械能守恒。由于质量相等，由动量守恒和机械能守恒（证明从略）可证明，在碰撞前后，和互换速度。若碰撞刚结束时，的速度分别为，和，则由式（8）和式（9）可知，物体和木板的速度相等，保持相对静止，而相对于，则向右移动。 后续过程相当于问题1过程的延续，物体交换后向右移动，如果物体刚好没有与挡板发生碰撞，则物体以速度从板子的中点开始移动。
9.当它运动到挡板时， 和 的速度相等。由于 和 的速度相等，所以 和 的速度相等。设此时三者的速度根据动量守恒定律为 。 （10） 它以一个初速度开始，然后 和 发生完全弹性碰撞。碰撞后，物体相对于挡板是静止的。在到达 位置的整个过程中，相对运动距离先为，然后 相对运动距离为 。整个系统动能的变化量类似于上面问题1的答案（5）中的说法，等于内部系统间滑动摩擦所作功的代数和，即 （11） 解（10）和（11）可得（12）。也就是说，当物体的初速度为 时， 和 相撞，但 和 刚好不相撞。如果 ，就会引起 和 相撞。 所以，和碰撞后，物体与挡板碰撞的条件为（13）3。若物体的初速度满足条件（13），则和碰撞后，和会与挡板相撞。
10.设碰撞前一刻， 和 的速度分别为 和 ，则有（14）；碰撞后一刻， 和 的速度分别为 和 ，这仍然与问题2答案中（9）的原理相似，因此有（15）。由（14）和（15）可知，在碰撞刚发生后， 和 的速度相等，均小于木板的速度，即（16）。在随后的运动过程中，木板以较大的加速度向右减速，而木块 和 则以同样较小的加速度向右加速，加速度的大小分别为（17）。加速过程将持续进行，直到 和 的速度相同，三者以相同的速度均匀向右移动，或者木块从木板上掉下来。因此，木块 和 不可能再次在木板上碰撞。 4.如果它刚好不从木板上掉下来，即到达左端时的速度与和相同，则三者的速度相同，表示为，根据动量守恒定律，我们有（18）。从
11.初速度从木板左端开始，碰撞到和后，一直到刚好停止从木板左端下落。在这整个过程中，系统内部的相对距离先为；然后相对距离也为；碰撞到和后，直到刚好停止从木板上下落，相对距离也为。整个系统的动能变化量应等于内部滑动摩擦所作功的代数和，即 （19） 由（18）和（19）可得 （20） 即当物体的初速度为 时，它刚好不会从木板上下落。如果 ，它会从木板上下落，所以从上方下落的条件为 （21） 5.如果物体的初速度满足条件（21），它就会从木板上下落。 假设当物体即将从木板上落下时， 和 的速度分别为 和 ，则有 （22）此时， （18） 应改写为 （23） （19） 应改写为 （24） 当物体从木板上落下时，如果物体刚好
12.物块刚好不会从木板上掉下来。即当左端追上时，和的速度相等。设此速度为，则对于此系统，根据动量守恒定律，有（25）。在此过程中，对于此系统，滑动摩擦力所作功的代数和为，由动能定理得（26）。由（23）、（24）、（25）、（26）可得（27）。即当，物块刚好不会从木板上掉下来。若，则它会从木板上掉下来，所以物块从木板上掉下来的条件为（28）。第18期预赛题1.（25分）如图185所示，一块质量为，长度为的薄挡板木板静止于a度的地面上。设木板与地面之间的静摩擦系数与滑动摩擦系数相等，均为。 一个人，质量为，从木板的一端出发，以相对于地面的匀加速向前走到另一端，到达另一端时，突然抓住挡板，停在木板上，已知人和木板
13、木板与人之间的静摩擦系数足够大，人就不会在木板上滑动。 问题：在什么条件下木板向前移动的距离能达到最大？其值是多少？ 参考答案： 在人从木板的一端移动到另一端的过程中，先讨论木板向后移动的情况。设表示人到达另一端而不停止所用的时间。设表示木板向后移动的距离，如预解18-5所示。设表示人与木板之间的静摩擦力，设表示地面对木板的摩擦力，设和分别表示人和木板的加速度，则 （1）（2）（3）（4） 解上面四个方程可得 （5） 对于人与木板组成的系统，人在木板的另一端突然停止后，二者的总动量等于从开始到此时地面摩擦力的冲量。 忽略人突然停下的那段极短暂的时间，那么（6）就是人刚好停在木板的另一端。
14、当两人一起运动的速度为 ，设人停在木板的另一端，两人一起向前运动的距离为 ，地面的滑动摩擦系数为 ，则 （7）木板向前移动的净距离为 （8）从以上公式可知，要使木板向前移动的距离最大，应有 （9）即 （10）即木板向前移动的距离最大的条件是：人对木板施加的静摩擦力等于地面对木板施加的滑动摩擦力，移动的最大距离为 （11）从以上公式可知，木板向后运动时，也就是 的条件下，有最大值，也就是在时间为0内，木板刚好不动的情况下，有最大值。 我们来讨论一下木板不动的情况，也就是此时，因为，人所积累的动能和碰撞后的总动能会变小，所以前进的距离也会变小，也就是小于上面的。评分标准：本题25分（1）、（2）、（3）
15.（4）各1分；（6）5分；（7）2分；（8）3分；（9）2分；（10）3分；（11）5分；解释加1分。2.（18分） 在以铀235为燃料的核反应堆中，铀235原子核吸收一个动能约为0.025的热中子（慢中子）后，能发生裂变反应，释放出能量和23个快中子。快中子不利于铀235的裂变，为使裂变反应继续进行，需将反应中释放的快中子减速。减速的方法之一是用石墨（碳12）作减速剂。设中子与碳原子的碰撞为同心弹性碰撞。 一个动能为的快中子与静止的碳原子碰撞，需要多少次才能减速到0.025的热中子？参考答案：设中子与碳原子核的质量分别为和，碰撞前中子的速度为，
16、碰撞后，中子与碳核的速度分别为和。由于碰撞为弹性碰撞，碰撞前后动量和机械能守恒。由于、和沿同一垂直线，有 （1）（2）解以上两个方程可得 （3）代入（3）可得 （4）负号表示和的方向相反，即和 碳核碰撞后，中子被反弹，因此，经过1次碰撞，中子的能量为，因此 （5）经过2、3、4次碰撞，中子的能量分别为，有 （6）因此 （7）代入（7）可得 （8）因此，初能量为的快中子经过近54次碰撞后，变为能量为0.025的热中子。评分标准：本题满分18分。 （1）、（2）、（4）、（6）各占3分；（5）、（7）、（8）各占2分。第19轮预赛（15分）今年3月，我国北方遭遇了近10年来最严重的沙尘天气。现将
17、粉尘被扬起后的情况简化为：为垂直向上的风速，粉尘粒子被扬起后悬浮在空中（不动）。此时风对粉尘的作用力相当于空气不动而粉尘以一定速度垂直向下运动时所遇到的阻力。这种阻力可以用下式表示：式中为系数，为粉尘粒子的截面积，为空气密度。（1）设沙粒密度为，沙粒呈球形，有半径，地球表面处的空气密度为，试估算紧挨着地面上方的最小值。（2）设空气密度与高度的关系为，式中为处的空气密度，为常数，试估算此时沙粒的最大高度（忽略重力加速度随高度的变化）。 参考答案 (1)紧邻地面，沙尘要悬浮在空中，空气阻力至少要由重力来平衡，即 式中 为沙尘粒子的质量，得 (2)用和表示 时沙尘所到达最高点的空气密度与高度，则有 此时公式应为 ，可由和解得 代入数据可得 评分标准：本题15分。 1.第一题计8分。公式计3分，公式计1分，公式计1分，公式计2分，公式计1分。 2.第二题计7分。公式计1分，公式计1分，公式计3分，公式计2分。
