袁老师经典讲授二十一：斜面上的平投动作
我们来讨论一个模型并得出一些小结论。
那么，我们今天的小话题就算结束了，也当作2022年的新年礼物吧。
嘿嘿，实在是太忙了，没时间写。 可能最近看推理小说上瘾了。
悬疑小说的美妙之处就在于你觉得自己读懂了，甚至会因为你的推理超前于作者的言语而感到沾沾自喜。 但结局却一转，你发现自己被作者带走了。 读完之后，作者放下了束缚。 你说，去玩得开心，自由自在！ 被骗后心里很高兴，真是个卑鄙的书生啊！
让我们表达一下我们的感受，然后我们回到主题，
如下所示，一个小球以初速度 v_0 被水平抛到斜坡上的 A 点，并落在斜坡上的 B 点。 已知斜坡的倾角为θ，重力加速度为g。
对于这个简单的模型，我们首先 (1) 求解球从 A 点到 B 点的时间，
这很简单。 根据平抛运动水平位移与垂直位移的关系式，
得到tanθ=frac{y}{x}=frac{frac{1}{2}^2}{}，
解为=frac{2v_0tanθ}{g}。
然后（2）求出小球运动到距离斜坡最远点的时间、此时的速度以及距离斜坡最远的距离。
这道题的几何关系比较难处理一点。 假设距离斜坡最远的点是C点，从A点移动到C点的时间为t_1，那么如下，我们画出局部放大图，
解决方案1：制作辅助线：
(1) 过A点画一条水平线，过C点画一条垂直线，交于D点。
(2) 分别过D点和C点画与斜坡垂直的线，并与斜坡相交于E点和F点。
(3) 过C点作垂线DE，与DE交于G点。
则C点到斜坡的距离为l，
l=l_{CF}=l_{GE},
从几何关系可以看出
l=l_{CF}=l_{GE}=l_{DE}-l_{DG} ,
其中，l_{DE}=l_{AD}cdotsinθ=cdotsinθ，
l_{DG}=l_{DC}cdotcosθ=frac{1}{2}gt_1^2cdotcosθ ,
因此， l=cdotsinθ-frac{1}{2}gt_1^2cdotcosθ ，
因此，l是关于t_1的二次函数，此时l取得最大值，
因此，从初中二次函数的知识点我们可以知道，
t_1=-frac{b}{2a}=-frac{v_0cdotsinθ}{-2cdotfrac{1}{2}gcdotcosθ}=frac{v_0tanθ}{ G}，
这里我们首先发现一个小结论，t_1=frac{1}{2}，
也就是说，它运动到距离斜坡最远的C点的时刻，就是从A点到B点整个运动的中间时刻。
有了t_1的解，下面的问题就简单了，
距斜坡最远距离为
l=v_0(frac{v_0tanθ}{g})cdotsinθ-frac{1}{2}g(frac{v_0tanθ}{g})^2cdotcosθ=frac {v_0^2sin^2θ}{2gcos} ,
求解此时速度为v_1，
v_1=sqrt{v_0^2+(gt_1)^2}=sqrt{v_0^2+(gcdotfrac{v_0tanθ}{g})^2}=v_0sqrt{1+tan ^2θ}=frac{v_0}{cosθ} 。
方案二：显然上面的方案不太好，不够“物理”，而且制作几何辅助线有点麻烦，所以我们还是要采用另一种速度分解的方法，也很简单。
我们分解沿斜坡（x方向）和垂直斜坡（y方向）的速度和加速度，
沿斜坡方向，进行匀加速直线运动，初速度为v_0cosθ，加速度为gsinθ。
在垂直斜坡方向，以初速度 v_0sinθ 和加速度 gcosθ 进行类似投掷的运动（先匀速减速，然后匀速加速），
因此，离开斜坡最远点的时刻就是类被抛到垂直斜坡方向最高点的时刻，也就是垂直斜坡方向速度为零的时刻，那么到达最高点所需的时间为，
t_1=frac{v_0sinθ}{gcosθ}=frac{v_0tanθ}{g} ,
而且，从投掷类运动的对称特性可以看出，这个时间是总时间的一半，即t_1=frac{1}{2}，
此时只有沿斜坡方向的速度，其大小为，
v_1=v_0cosθ+gsinθcdot t_1=v_0cosθ+gsinθcdot frac{v_0tanθ}{g}=frac{v_0}{cosθ} ,
此时距斜坡的距离为
l=v_0sinθcdot t_1-frac{1}{2}gcosθcdot t_1^2=frac{v_0^2sin^2θ}{2gcos} 。
因此，对比以上两种求解方法，我们发现，由于速度分解方法不同，求解的重点和难度也不同。
例如，解1中的普通水平和垂直分解更多地使用了数学几何和函数的极值，但沿斜面和垂直斜面的分解相对更纯粹的物理方法。
最后(3)求解从A点到B点的平均运动速度。
方案1：显然，我们首先需要求解l_{AB}的距离，然后除以时间，
根据上面对斜面和垂直斜面的分解，我们可以再复制到这里，
沿斜坡方向，以初速度v_0cosθ、加速度gsinθ进行匀加速直线运动。
因此， l_{AB}=v_0cosθcdot +frac{1}{2}gsinθcdot ^2 ，我们不要在这里替换 =frac{2v_0tanθ} 。 {G} ，
首先求平均速度，得到bar{v}=frac{l_{AB}}{}=v_0cosθ+frac{1}{2}gsinθcdot ，
然后代入 =frac{2v_0tanθ}{g} 得到 bar{v}=frac{v_0}{cosθ}。
方案二：如上所述，不同的分解方法导致问题求解的难度不同。
所以，这里我想换一种分解方式。 当然，并不是什么特殊的分解方式，而是回归到水平分解和垂直分解。
我只是太无聊了。 我不断地一遍又一遍地做同一个问题，比较一种又一种方法，寻找每种方法的优缺点，并试图找到最优的解决方案。
如下图所示平抛运动实验，象征性地画两条辅助线，一条经过A点的水平线，一条经过B点并交于H点的垂直线，然后，
l_{AB}=frac{l_{AH}}{cosθ}=frac{v_0 }{cosθ} ,
因此， bar{v}=frac{l_{AB}}{}=frac{v_0}{cosθ} ，
看，这很简单。 根本不需要计算。
解法3：至此，你已经发现从A点到B点的运动平均速度bar{v}正好等于距离斜坡最远点C点的瞬时速度v_1，bar{v }=v_1，v_1上面已经解决了，其实它们不仅大小相等，而且方向相同，因为它们都是沿着斜面的。
如果你恰好知道这个结论，那就不用再计算了！
为什么是这样？
因为上面已经证明了C点正是从A点运动到B点的中间时刻，
这个结论是匀速直线运动中非常常用的结论平抛运动实验，叫做：
平均速度等于中间时刻的瞬时速度，
此外，我们有，
平均速度等于中间时刻的瞬时速度，等于初始时刻和最后时刻瞬时速度的平均值。
关于上面更详细的证明，朋友们请自己思考一下，尤其是初始时刻和最终时刻的瞬时速度相加然后除以2时，相加就是向量相加！
也就是说，上述结论不仅适用于等速直线运动，而且适用于平抛运动，即等速曲线运动。
也就是说，上述结论适用于匀变速运动，无论是直线还是曲线。
朋友们，你们有困惑吗？ 什么是匀速运动？ 它是匀加速度的运动（包括大小和方向不变）。
好吧，最后我补充一点。 我好像在哪里提到过。 不知道是离线的还是其他文章里的。 例如如下：
例：在水平投掷运动实验中，在正方向方格纸上画出A、B、C三个位置点。 已知正方形方格纸的边长l=0.1m，重力加速度g=10m。 /s^2，求B点的瞬时速度大小和方向。
解决方案：我们用一种新的方法来解决，
根据A、B、C三点之间的水平间隔相等，可知A、B、C三点之间的时间间隔相等。
根据垂直方向的自由落体运动，即匀加速直线运动，根据相邻位移差公式Delta x=aT^2计算时间间隔T，
T=sqrt{frac{2l-l}{g}}=sqrt{frac{0.2-0.1}{10}}=0.1s，
那么我们知道B点是A点到C点运动的中间力矩，因此B点的瞬时速度等于A点到C点运动的平均速度（大小和方向都相等） ),
因此，v_B=bar{v}_{AC}=frac{l_{AC}}{2T}，
其中，l_{AC}可以通过简单的毕达哥拉斯定理求解，
l_{AC}=sqrt{(4l)^2+(3l)^2}=5l=0.5m,
因此，v_B=frac{l_{AC}}{2T}=frac{0.5}{0.2}=2.5m/s，
B点瞬时速度的方向是A点到C点的平均速度方向，即A点到C点的位移方向，即AC方向。
因此，若B点瞬时速度方向与水平方向的夹角为θ，则满足：
tanθ=frac{3}{4} 。
解决方案完成。
是不是感觉非常简单呢？ 至少省略了几个步骤。 无需单独计算水平速度和垂直速度然后将它们组合起来！
好了，朋友们，我终于说完了。 新年快乐！