做了各种准备之后，我们终于可以说说哈密顿力学中最重要的一点了。
前面提到的拉格朗日 {L}(q_1, q_2, ..., dot{q}_1, dot{q}_2,..., t) 应该包含了一个系统的所有动态学习信息。 根据具体的起始条件，一些关于 q_i, dot{q}_i 的函数将具有固定值，例如 H = E。当哈密顿量等于总能量时，哈密顿量守恒。 这些函数也称为运动积分。 （的 ）。
这些功能特别重要，因为它们源自时间和空间的一致性（）。
空间均匀性
当运动不依赖于位置时，我们说空间是均匀的 ()，也就是说不存在 V(vec r)，但可以存在 V(vec{r_2} - vec{r_1}) 。 前者取决于具体的位置，所以对于不同的坐标轴的定义，其值的大小是不同的，但后者取决于两点的相对位置，所以并不取决于我们如何定义坐标轴。
如果我们将粒子从 vec{r} 移动到 vec{r}'，则差异为 delta vec{r}
尽管位置发生了变化，但由于空间均匀性，我们预计其运动不会发生变化。 （你可以想象在一个点做一个实验，然后移动到另一个位置并再次做完全相同的实验。你得到的结果应该是相同的）
也就是说，位置发生了变化，但速度和相应的动作量以及拉格朗日量应该不会改变。
vec{r}' = vec{r} + delta vec{r} \ dot{vec{r}'} = dot{vec{r}}
{L}' = {L} + delta {L}
因此 delta {L} = 0 ，这会产生什么后果？
我们考虑一下粒子的情况{L} = {L}(x, y, z, dot{x}, dot{y}, dot{z}) = {L}(vec { r},dot{vec{r}})
位移后，{L} = {L}(vec{r} + delta vec{r},dot{vec{r}})
展开 {L}(vec{r} + delta vec{r},dot{vec{r}}) = {L}(vec{r},dot{vec{r } }) + vec{nabla}{L} cdot delta vec r
所以delta {L} = vec{nabla}{L} cdot delta vec r = 0
也就是说，对于任意维度，都有
frac{ {L}}{ q_i} = 0
当引入欧拉-拉格朗日方程时，可得
frac{d}{dt} left( frac{ {L}}{ dot{q}_i} right) = frac{ {L}}{ q_i} = 0
之前我们提到过，上一项括号里的是正则动量，也就是说
如果空间是均匀的，则 frac{dp_i}{dt} = 0 p_i = const。 常规动量是守恒的。 在均匀空间中运动的质点不受任何力，其动量为恒定值。 这也是牛顿第一定律的作用。
如果有很多颗粒怎么办？
对于任意粒子 k，其位置为 vec{r}_k，速度为 dot{vec{r}}_k。
如果对于任何 δ vec r ，δ {L} = 0，则 sum_k vec{nabla}_k {L} = vec{0}
所以sum_k frac{d}{dt} left( frac{ {L}}{ dot{vec{r}}_k} right) = vec{0}
如果我们这里严谨一点的话，不应该写frac{ {L}}{ dot{vec{r}}_k}，但是可以理解为每个速度是微分的，结果是一个向量，没关系。 上面的也可以宽松地表达为 vec{nabla}_k {L} equiv frac{ {L}}{ vec{r}_k}。
总而言之
sum_k frac{ {L}}{ dot{vec{r}}_k} =sum_k p_k = const。
如果空间是均匀的，则总规范动量守恒，总规范动量是所有粒子的规范动量之和。
值得注意的是，在多个粒子的情况下，单个粒子可能会受到力，但合力为0，并且在均匀空间的情况下，势能只能与粒子之间的相对位置有关，并且不能与单个粒子相关。 势能与粒子的绝对位置有关，因此势能来自粒子之间的相互作用。
相反，如果空间不均匀，比如地球表面的引力势能V(y)=mg y，那么动量就不会守恒，因为任何粒子都应该与地球发生相互作用，但是利用上面的势能将直接忽略与地球的相互作用并简单地使用来自表面的位置。 对于上述势能，只有p_y不守恒，而p_x和p_z仍然守恒。
时间均匀性
如果 {L} 不明确地依赖于时间，那么运动何时发生并不重要。
这部分的推导已经在哈密顿量的介绍中介绍过了。
这里我们直接写出我们想要看的公式。
frac{dH}{dt} = - frac{ {L}}{ t}
当 {L} = {L}(q_i, dot{q}_i) 时
压裂{dH}{dt} = 0
哈密顿量是守恒的，此时哈密顿量基本上就是总能量，所以
如果时间均匀，则总能量守恒。
空间各向同性
所谓各向同性空间，是指从各个方向观察能量守恒定律，空间都是相同的。 可以理解，物理性质不会随着空间的旋转而改变。 （也就是说，你做了一个方向的实验，现在你把实验设备转向另一个方向，做精确的实验，实验结果应该是一样的）
考虑一个绕 z 轴旋转的系统，角度为 delta vec{phi} = delta phi hat{z}
那么对于第 k 个粒子，改变后的位置为delta vec{r_k} = r_k sin() delta phi hat{phi} = r_k sin() delta phi (hat { z} times hat{r}) = delta vec{phi} times vec{r_k}
速度的变化为delta vec{v_k} = frac{d}{dt} left( delta vec{r_k} right) = delta vec{phi} times dot{vec {r_k}}，这里不需要乘法规则，因为我们的设置是绕z旋转，所以角度θ不随时间变化。
我们的拉格朗日量也可以表示为 {L} + delta {L}。 拉格朗日变化的部分是所有粒子变化的总和。
delta {L} = sum_k left( frac{ {L}}{ vec{r_k}} cdot delta vec{r_k}+ frac{ {L}}{ dot{vec{r_k}}} cdot delta dot{vec{r_k}} right)
这里我们的拉格朗日量不随时间变化。
vec F_k = dot{vec p}_k = frac{ {L}}{ vec{r_k}} , vec p_k = frac{ {L}}{ dot{ vec{r_k}}}
delta {L} = sum_k left( dot{vec p}_k cdot delta vec{r_k}+ vec p_k cdot delta dot{vec{r_k}} right) = sum_k left( dot{vec p}_k cdot (delta vec{phi} times vec r_k)+ vec p_k cdot (delta vec{phi} times vec v_k) 右)
利用点向量的性质vec a cdot (vec b times vec c) = vec b cdot (vec c times vec a)
delta {L} = delta vec{phi} cdot sum_k left( vec r_k times dot{vec p}_k + vec v_k times vec p_k right) = delta vec{phi} cdot sum_k frac{d}{dt} left( vec r_k times vec p_k right)
如果空间像我们之前所说的那样是各向同性的，那么 delta {L} = 0，并且对于任何 delta vec{phi}，
sum_k frac{d}{dt} left( vec r_k times vec p_k right) = frac{d vec L }{dt} = vec{0}
如果空间是各向同性的，则系统的总角动量守恒。
诺特定理
上述所有粒子都可以用一个定理来概括，这就是诺特定理。
如果拉格朗日存在对称性（），那么运动中就会有相应的常数值，也就是说，就会有相应的守恒定律。
一般来说，对于 n 个广义坐标，我们最多可以有 (2n + 1) 个守恒量：
一个栗子
最后，让我们看一个简单的例子。 假设有一个无限大的均匀平面场，那么在同一高度上势能是一个常数V=V(z)。 动能为 T = T(dot{x}, dot{y}, dot{z})。
那么守恒的量有多少呢？
首先是能量守恒，因为拉格朗日函数不是 t 的函数。
其次，动量在 x 和 y 方向上守恒能量守恒定律，但 z 方向上不守恒，因为拉格朗日量与 x 和 y 无关。
之后，就角动量而言，z方向的角动量守恒，但x、y方向的角动量不守恒，因为绕z旋转并不会改变x、y。