第一次
静力学
第一章静力学公理和物体力分析
1.1 静力学公理
公理1 二力平衡公理：对于作用在刚体上的两个力，刚体保持平衡的充要条件是：两个力大小相等、方向相反、作用在同一条直线上。 F=-F' 在工程中，我们经常遇到仅由两个力平衡的构件，称为二力构件或二力杆。
公理2 平衡力系统的加法和减法公理：在作用于刚体的任何力系统中添加或删除任何平衡力系统不会改变原始力系统对刚体的影响。
力传递原理的推论：作用在刚体上某一点上的力可以沿着其作用线移动到刚体内的任何点，而不改变力对刚体的影响。
公理3力的平行四边形定律：作用在物体上某一点上的两个力的合力也作用在同一点上，其大小和方向可以用这两个力形成的平行四边形的对角线来表示。
三力平衡收敛定理的推导
：作用在刚体上的三个相互平衡的力。 如果两个力的作用线相交于一点，则这三个力必须在同一平面上，并且第三个力的作用线穿过交点。
公理
4 作用力和反作用力定律：两个物体之间相互作用的力总是同时存在，且大小相等、方向相反。 它们沿同一条直线作用于两个物体。
公理 5 回火原理
：变形体在一定力系统的作用下达到平衡。 如果它被淬火成刚体，它的平衡状态保持不变。 对于处于平衡状态的变形体，总是可以将其作为刚体来研究。 1.2 约束条件及其约束力
1.灵活的身体约束
2． 光滑接触面约束3.光滑铰链约束
1 第 2 章
平面交力系统和平面力偶系统
1、平面相交力系合成的结果是合力。 合力的作用线穿过各个力的作用线的交点。 其大小和方向可以用损失多边形的闭边来表示，等于力损失的矢量和，即FR=F1+F2+…..+Fn=ΣF 2.矢量投影定理：和向量在某个轴上的投影等于其分量向量在同一轴上的投影的代数和。
3、力对刚体的作用分为运动和旋转。 力对刚体的运动影响是通过力损失来衡量的； 力对刚体的旋转作用是用扭矩来衡量的，即扭矩是衡量使刚体绕某一点或轴旋转的力强度的物理量。 (Mo(F)=±Fh)
4、作用在同一物体上的两个大小相等、方向相反、作用线不重合的平行力所组成的力系称为力偶，记为（F，F'）。
实施例2-8
在图2.-17(a)所示的结构中，忽略了各构件的自重。 杆件AB上有力偶作用，其力偶力矩为500kN·m。 求 A 点和 C 点的结合力。
解开
构件BC仅在B、C两点受力，处于平衡状态。 因此BC是二力杆，其受力如图2-17(b)所示。
由于杆件 AB 上存在一个带有力矩 M 的力偶，因此杆件 AB 在铰链 A、B 处的一对力 FA 和 FB' 构成与带有力矩 M 的力偶平衡的力偶（见图 2-17（c）） ).由平面力偶系统的平衡方程ΣMi=0,可得
_Fad+M=0则有
FA=FB' N=471.40N
由于FA和FB'为正值，可见两个力的实际方向为图2-17(c)所示的方向。 根据作用力与反作用力的关系可知FC=FB'=471.40N，方向如图2-17(b)所示。
第三章平面任意力系统
1、合力矩定理：平面上任意力系能否合成为合力。 那么合力相对于作用平面上任意点的力矩就等于力系中的力相对于该点的力矩的代数和。
2、平面上任意力系达到平衡的充分必要条件是：力系的主和与平面上任意点Q的主力矩同时为零，即FR`= 0，Mo=0.3。 平面上任意力系的平衡方程：ΣFx=0，ΣFy=0，ΣMo(F)=0。 平面上任意力系平衡的解析条件是该力系中的所有力在作用面内任意两个直角坐标系上的投影的代数和为零，且每个力相对于作用平面上任意点的力矩也为零。
例3-1 如图3-8(a)所示，矩形板的四个角点上作用有四个力，其中F1=4kN理论力学知识点总结，F2=2kN，F3=F4=3kN，另外还有力作用于板上。 有一对力矩M=2kN·m。 试求将上述四个力和一个力偶组成的力系向O点简化后的结果，以及该力系的最终结果。
解 (1) 求出主向量 FR' 并建立如图 3-8(a) 所示的坐标系，有
F'Rx=ΣFx=﹣°+F3+°=4.598kN F'Ry=ΣFy=F1－°+°=3.768kN 因此，主向量为
F'R=
主向量的方向
余弦(F'R,i)=
余弦(F'R,j)=
=0.634, ∠(F'R,j)=50.7°
(2) 求主矩，有
M0=ΣM0(F)=M+°-2F2+°=2.5kN·m
由于主矢量和主力矩均为零，因此最终结果为合力FR，如图3-8(b)所示，FR=F'R，合力FR到O点的距离为
d=
=0.421m
例3-10 连续梁由AC和CE部分通过C点铰链连接而成，梁的载荷和约束条件如图3-18(a)所示，其中M=10kN·m，F= 30kN，q=10kN/m理论力学知识点总结，l=1m。 求固定端A和支撑D的约束力。
解：首先以整体为研究对象，其受力如图3-18(a)所示。 除主力外，还受到固定端A处的约束力Fax和Fay、具有力矩MA的约束力偶以及支撑D处的约束力FD的影响。平衡方程组为
ΣFx=0，Fax－°=0
ΣFy=0，FAy－2ql+°+FD=0
ΣMA(F)=0, MA+M－4ql²+3FDl+°=0 上述三个方程包含四个未知量，需要补充。 现选取CE为研究对象，其受力如图3-(b)所示。以C点为质心，力矩平衡方程为ΣMC(F)=0，-ql²+FDl+°=0，同时求解，我们得到
FAx=21.21kN, Fay=36.21kN, MA=57.43kN·m, FD=-37.43kN
=5.945kN
=0.773, ∠(F'R，i)=39.3°
3 第 4 章 考虑摩擦力平衡
1、摩擦角：物体处于临界平衡状态时，完全约束力与法线之间的夹角。 tanψm=fs 2、自锁现象：当主动力，即合力Fa的方向和大小改变时，只要Fa的作用线在摩擦角之内，C点总是在B点的右侧，物体始终保持平衡。 这种平衡现象称为摩擦自锁。
例4-3 梯子AB靠在墙上，其重量W=200N，如图4-7所示。 梯子的长度为l，梯子与水平面的夹角为θ=60°。 已知接触面之间的摩擦系数为0.25。 现在有一个重650N的人正在爬梯子。 人能到达的最高点C到A点的距离s是多少？
整体应力解如图4-7所示。 设C点为人所能到达的极限位置。 此时
FsA=fsFNA，FsB=fsFNB
ΣFx=0，FNB-FsA=0
ΣFy=0, FNA+FsB-W-W1=0 ΣMA(F)=0, -θ-θ+Wcosθ+θ=0 同时求解
S=0.456l
第5章 天力体系
1、空间汇聚力系统平衡的充要条件是：力系统的合力为零，即FR=ΣFi=0 2、空间平衡的解析条件收敛力系为：力系中各力在三个坐标轴上的投影的代数和分别为零。 3、要平衡刚体，主损失和主力矩必须都为零，即空间中任何力系统平衡的充分必要条件是：力系统对任意点的主损失和的主矩为零，即 FR`=ΣFi=0，Mo=ΣMo(Fi)=0 4. 均质物体的引力位置完全取决于物体的几何形状，与物体的几何形状无关。与物体的重量有关。 若物体为均质薄板，则省略Zc，坐标为xc=ΣAi*xi/A，yc=ΣAi*yi/A 5.确定物体重心的方法（1）查表法
(2)组合法：①分割法； ② 负面积（体积）法 (3) 实验方法
第2部分
运动学第6章点的运动学
6.2 直角坐标法
运动方程 x=f(t) y=g(t) z=h(t)
消去t即可得到轨迹方程f(x,y,z)=0其中
例6-1 椭圆规机构如图6-4(a)所示。 曲柄oc绕O以恒定角速度w旋转，连杆AB带动滑块A、B在水平和垂直凹槽中运动，OC=BC=AC=L。 求：（1）连杆上M点（AM=r）的运动方程； (2) M点的速度和加速度。
解： (1) 写出该点的运动方程
由于M点在平面内的运动轨迹未知，因此建立坐标系。 M点是BA杆上的一点，杆的两端分别被限制在水平和垂直方向上移动。 曲柄以恒定角速度旋转，Φ=wt。 根据这些约束，写出 M 点的运动方程 x=(2L-r)coswt
y= 消去t得到轨迹方程：(x／2L-r)²+(y/x)²=1
(2) 求速度和加速度并推导运动方程得到
dx/dt=-(2L-r) dy/dt= 然后推导出 a1=-(2L-r)w²coswt
a2=-rw²sinwt 由公式可知a=a1i+a2j=-w²r
6.3 自然法
2.自然坐标系：b=t×n 其中b是次法线n和主法线t 3.点的速度v=ds/dt
切向加速度 at=dv/dt
正常加速度
an=v²/p
第7章刚体的基本运动
7.1 刚体的平行运动：刚体平移时，其内部所有点的轨迹具有相同的形状。 在同一时刻，所有点都具有相同的速度和加速度。 刚体的平移问题可以归结为点的运动问题。
7.2 刚体定轴旋转：瞬时角速度w=lim△θ∕△t=dθ/dt
瞬时角加速度a=lim△w∕△t=dw/dt=d²θ/dt²
旋转刚体中任意一点的速度代数值等于该点到旋转轴的距离与刚体角速度的乘积a=√(a² +b²)=R√( α²+w²) θ=|a|/b =|α|/w²
旋转刚体中任意点的速度和加速度与该点到旋转轴的距离成正比。
5 第 8 章 点的综合运动
8.1 合成运动的概念：相对于某个参考系的运动可以由相对于其他参考系的多个运动组成。 这种运动称为合成运动。
当研究问题涉及两个参考系时，固定在地球上的参考系通常称为确定参考系，简称固定系。 相对于固定系统运动的参考系称为动态参考系，简称动态系统。 研究对象是移动点。 运动点相对于固定参考系的运动称为绝对运动； 运动点相对于运动参考系的运动称为相对运动； 移动参考系相对于固定参考系的运动称为牵涉运动。 动态系统作为一个整体运动。 因此，牵连运动具有刚体运动的特征。 关联运动的常见形式是平移或定轴旋转。
动点的绝对运动是相对运动和牵连运动综合的结果。 绝对运动又可分为相对运动和牵涉运动。 在研究较复杂的运动时，如果动态参考系选择得当，往往可以将较复杂的运动分解为两个相对简单的运动。 这种研究方法无论在理论还是实践上都具有重要意义。
相对运动中动点的速度和加速度称为动点的相对速度和相对加速度，分别用vr和ar表示。 绝对运动中动点的速度和加速度称为动点的绝对速度和绝对加速度，分别用va和aa表示。 也就是说，固定系统中观察者观察到的运动点的速度和加速度分别是绝对速度和绝对加速度； 在运动系统中观察到的运动点的速度和加速度分别是相对速度和相对加速度。
在某一时刻，移动参考系上与移动点M重合的点称为该时刻移动点M的牵连点。 如果某一时刻运动点没有相对运动，则运动点将沿着涉及点的轨迹运动。 牵连点是动力系统上的一个点。 动态点移动到的动态系统上的点就是动态点的牵连点。 定义某一瞬时蕴涵点相对于固定参考系的速度和加速度称为动点的蕴含速度和蕴含加速度，分别用ve和ae表示。
动态系统O'x'y'与固定系统Oxy之间的坐标系变换关系为：
x=x0+x'cosθ-y'sinθ
y=y0+x'sinθ+y'cosθ
消去一点的绝对运动方程中的时间t，就得到该点的绝对运动轨迹； 消去点相对运动方程中的时间t，即可得到该点的相对运动轨迹。
例8-4 矿石从传送带A落到另一条传送带B上，如图所示。 站在地面上观察矿石下落速度为v1=4m/s，方向与垂直线成30度角。 已知输送带B的水平传输速度为v2=3m/s。 求矿石相对于传送带 B 的速度。
解：以矿石M为移动点，移动系统固定在传送带B上，矿石相对于地面的速度v1为绝对速度； 隐含速度应为移动参考系上与移动点重合的点的速度。 可以想象，移动参考系是无限的。 由于是平移的，所以每个点的速度等于v2。 因此v2等于动点M的隐含速度。
根据速度合成定理，三个速度构成一个平行四边形，绝对速度一定是对角线。 因此，速度平行四边形如图所示。由几何关系求得
Vr=√(ve²+va²-°)=3.6 m/s Ve 与 va 之间的角度
β=（ve/vr*sin60°）=46°12'
综上所述，在分析这三种运动时，首先要选择运动点和运动参考系。 运动点相对于运动系统运动，因此它们不能在同一物体内； 为了便于确定相对速度，运动点的相对轨迹应简单、清晰。
8.3 当涉及的运动为平移时，运动点的绝对加速度等于涉及的加速度与相对加速度的矢量和。
第9章
刚体平面运动
9.1 刚体平面运动分析：其运动方程x=f1(t)
y=f2(t) θ=f3(t) 完全确定了平面移动刚体的运动规律
在刚体上，可以选择平面图形上的任意一点作为基点，平面运动可以分解为平移和旋转。 平面图形平移的速度和加速度与基点的选择有关，而平面图形绕基点旋转的角速度和角加速度则与基点的选择无关。
9.2 刚体平面运动速度分析：
在平面图形中的某一时刻，任意两点的速度在两点连线上的投影相等。 这就是速度投影定理。 Vcosa=vcosb
例9-1 椭圆尺AB由曲柄OC驱动。 曲柄绕轴线O以匀速角速度ω0旋转，如图9-7所示。 OC=BC=AC=r。 当找到如图所示的位置时，滑块A和B的速度以及椭圆尺AB的角速度。
解：已知OC绕轴O旋转，椭圆尺AB在平面内移动，vc=ω0r。
(1) 用基点法求滑块A的速度和AB的角速度。 由于C的速度已知，因此选择C作为基点。
vA=Vc+VAC 式中vc的大小和方向已知。 vA 的方向沿y 轴，vAC 的方向垂直于AC。 可以画出速度矢量图，如图9-7所示。
由图形的几何关系可得
vA=°=ω0r,Vac=Vc,Vac=ωABr 可解
ωAB=ω0（顺时针）
(2) 利用速度投影定理求滑块B的速度。B的速度方向如图9-7所示。
[vB]BC=[vC]BC
°=° 求解
Vb=vC=ω0r
7 第三部分
动力学
第10章粒子动力学基本方程
1、牛顿第一定律：不受作用（包括平衡力系统作用）的粒子将保持静止或匀速直线运动。 也称为惯性定律。
2、牛顿第二定律：质点的质量与其加速度的乘积等于作用在质点上的力的大小，且加速度的方向与力的方向相同。 F=ma
3、牛顿第三定律：两个物体之间的作用力和反作用力总是大小相等、方向相反、沿同一直线、同时作用在两个物体上。
例10-5 将木块放在光滑的水平面上并连接到弹簧，如图10-5所示。 木块的质量为m，弹簧的刚度系数为k。 当弹簧拉伸变形a时，块体被释放。 求物体的运动规律。
解：以弹簧未变形位置为坐标原点O。假设任意坐标x处的块体弹簧变形量为|x|，弹簧力F=k|x|，指向O点，如图 10-5 所示，则该块沿 x 轴运动的微分方程为 m=Fx=-kx 令 ω²n=，将上式转化为自由振动微分方程的标准形式+ω²nx=0。 上式的解可写为 X=Acos( ωnt+θ) 其中 A 和 θ 是任意常数，应由运动的初始条件确定。 根据题意，当t=0，=0，x=a时，代入上式，则解为θ=0，A=a，代入式，运动方程可解为X=acosωnt
第11章动力学定理
p=mvc1。 动量：等于粒子的质量与其速度的乘积。 2、粒子系统动量定理：
①微分形式：粒子系统动量对时间的一阶导数等于作用在粒子系统上的所有外力的矢量和。 ②积分形式：任意时间间隔内粒子系统动量的变化量等于同一时间间隔内粒子系统动量的变化量。 指向系统上所有外力的矢量和（淋浴定理） 3、质心运动守恒定律：如果作用在质心系统投影在 x 轴上的所有外力的代数和总是等于0，即ΣF=0，则Vcx=常数，表示质心横坐标xc不变或者质心沿x轴的运动均匀。
8 例11-5：已知液体在直角弯头ABCD内稳定流动，流量为Q，密度为ρ，AB端流入断面直径为d，另一端CD处的流出截面为d1。 求液体对管壁施加的附加动压力。
以求解一段液体ABCD为研究对象，假设流出和流入速度分别为v1和v2，则
V1=, V2=
建立坐标系，附加动反力在x、y轴上的投影为 F''Nx=ρQ(v2-0)= F''Ny=ρQ [0-(-v1)]
例11-7：在图11-6所示的曲柄滑块机构中，假设曲柄OA在力偶的作用下以匀角速度w旋转，滑块B沿x轴滑动。 若OA=AB=l，则OA、AB均为均质棒，质量为m1，滑块B的质量为m2。 试求该系统质心的运动方程、该系统的轨迹和动量。
解开
假设当t=0时杆OA是水平的，那么我们有=wt。 认为系统由三个质点组成，分别位于杆 OA 的中点、杆 AB 的中点和 B 点。系统质心的坐标为 Xc=cosωt=lcosωt Yc=sinωt=lsinωt。 上式即为系统质心C的运动方程，将上述两个方程消去时间t，可得[xc]²+[]²=1，即质心的运动轨迹C为椭圆，如图11-6中虚线所示。需要指出的是，系统的动量，用式（11-15）投影为
Px=mvcx=(2m1+m2)=-2(m1+m2)lωsinωt Py=mvcy=(2m1+m2)=m1lωcosωt
9 例11-11：将平板D放置在光滑的水平面上。 该板配有曲柄、滑杆和套筒机构。 十字套C保证滑杆AB平移运动，如图所示。 已知曲柄OA是一根长度为r、质量为m的均质杆，绕轴线O以均匀角速度w旋转。 滑杆AB的质量为4m，套筒C的质量为2m，机构其余部分的质量为20m。 假设机构初始静止，试求平板D的水平运动规律x(t)。
将整体分解为粒子系统，并称所受到的外力包括各部分的重力和水平面的反作用力。 由于外力在水平轴上的投影为零且初始静止，因此粒子系统质心在水平轴上的坐标保持不变。建立坐标系，并假设质心之间的水平距离板 D 与 O 点的质量为 a，AB 的长度为 l，C 与 O 点的水平距离为 b，则粒子系统质心水平轴的初始坐标为
Xc1=
假设时间t后，板D向右移动x(t)，曲柄OA旋转角度wt。 此时粒子系统的质心坐标为
Xc2=
因为水平方向质心守恒，xc1=xc2，
解：X(t)=(1-cosωt)
第12章动量定理
1. 粒子及粒子系统的动量矩：
⑴指向点到O点的动量矩在z轴上的投影等于该点到z轴的动量矩，即“Lo(mv)”=Lz(mv) ⑵粒子系统到固定点O的动量矩等于每个粒子到同一点O的动量矩的矢量和。即：Lo=ΣLo(mv)
2、绕固定轴旋转的刚体相对于旋转轴的动量矩等于刚体相对于旋转轴的惯性矩与角速度的乘积。 (Lz=wJz) 3、平行轴定理：刚体相对于任意轴的转动惯量等于刚体相对于刚体质心的转动惯量。 并且将与轴平行的轴的转动惯量加上刚体的质量与两轴之间的距离的平方的乘积。 4、动量矩定理：质点的动量矩对固定点对时间的一阶导数等于作用在质点上的力。 同一时刻的时刻。
10 例12-2：已知均质细棒和均质圆盘的质量均为m，圆盘的半径为R，棒的长度为3R。 求穿过悬挂点 O 并垂直于图中 Z 轴的摆副的旋转。 惯性。
摆锤绕 Z 轴的转动惯量为
Jz=Jz棒+Jz板
杆绕 Z 轴的转动惯量为
Jz rod = ml ² = m (3R) ² = 3mR ² 圆盘朝向其质心的转动惯量为
Jzc2=mR ² 利用平行轴定理
Jz盘 = Jzc2+m（R+l²）=mR²+16mR²=mR² 所以
Jz= Jz 杆+Jz 盘=3mR²+mR²= mR²
例12-3：质量为M1的塔可以绕垂直于绘图的轴线O旋转。 缠绕在塔轮上的绳索，塔轮之间没有相对滑动。 缠绕在半径为r的轮盘上的绳索的刚度为一个系数为k的弹簧，弹簧的另一端固定在墙上。 将质量为 M2 的重物垂直悬挂在一根绕在半径为 R 的轮子上的绳子的另一端。如果锥轮的质心位于轮盘的中心 O，则其绕轮盘的转动惯量O轴为Jo=2mr，R=2r，M1=m，M2=2m。 求弹簧拉伸 s 时重量 M2 的加速度。
锥轮绕固定轴旋转。 如果瞬时角速度为w，重物作平动运动，则其速度为v=Rw。 它们在O点的动量矩分别为Lo1和Lo2，其大小为Lo1=-Jo·w=-2mr2ω，Lo2=-2mR2w=-8mr2ω²。 系统在O点的外力矩为M0()=F·r-m2g·R=ksr-4mgr。 根据动量矩定理L0=ΣM0()，可得 10mr²=(4mg- ks)r α==
由于重物的加速度a2=Rα，所以：a2=Rα=
11第13章动能定理
1、粒子系统动能的微分等于作用在粒子系统上的所有力所做的元功之和。 这就是微分形式的粒子系统动能定理。 (13-23) 2.积分形式的质点系统动能定理：质点系统在一定运动过程中动能的变化量等于作用在质点系统上的所有力所做的功之和。过程中的粒子系统。 (13-24, 13-25) 3. 力的功率等于切向力与施力点速度的乘积 (13-28) 4. 作用在旋转物体上的力的功率刚体等于力叠加旋转轴的力矩与角速度的乘积。 (13-29) 5、粒子系统动能对时间的一阶导数 等于作用在指向系统上的所有力的幂的代数和（幂方程13-30）
例13-5：重物A和重物B通过动滑轮D和定滑轮C运动。如果重物A开始时向下的速度为v0，那么重物A在其速度增加一倍之前下降多远？ 假设重物A、B的质量均为m1，滑轮D、C的质量均为m2，均为均质圆盘。 重物B与水平面的动摩擦系数为f。 绳子无法拉伸，其质量可以忽略不计。
解决方案以系统为研究对象。 在该系统中，重物A和B进行平移运动，定滑轮C进行定轴旋转，动滑轮D进行平面运动。 A初始瞬间的速度为v0，则滑轮D中心的速度为v0，角速度为ωD=； 定滑轮C的角速度为ωC=； 重物B的速度为2v0。因此，系统运动初始时刻的动能为
T1=m1v0²+m2v0²+(m2rD²)() ²+(m2rC²)() ²+m12v0 ²=(10m1+7m2) 速度增加一倍时的动能为 T2=(10m1+7m2) 假设重量 A 下降 h在高空，速度加倍。所有力所做的功为：Σ=m1gh+m2gh-f'm1g·2h=[m1g(1-2f')+m2g]h。 公式为：
(10m1+7m2)= [m1g(1-2f')+m2g]h 求解得到 h=
12
例13-7：在对称杆的A点，作用有垂直恒力F，系统初始静止。 求连杆OA移动到水平位置时的角速度。 假设连杆长度为l，质量为m，均质圆盘质量为m1，进行纯滚动。
解开
将系统作为研究对象。系统开始从静止中移动，因此系统的最初瞬时动能是
当杆OA移动到水平位置时，T1 = 0是杆端B是杆AB速度的瞬时中心，因此车轮B的角速度为零。该时构建了杆OA的角速度。 由于OA = AB，因此杆AB的角速度也为w。 此时系统的动能是
t2 =joaΩ²+jabω²=（）ω²+（）ω=ω²所有力所做的工作均为∑ = 2（mg）+flsinα=（mg+f）lsinα通过ω²-0 =（mg+f）lsinα求解。 ω=
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