开普勒第三定律的证明
刘伟胜
（唐山师范大学物理系，河北 唐山）
摘要：行星在太阳的影响下沿着椭圆轨道运行，行星相对于太阳的角动量保持不变。 因此，行星始终在平面内运动开普勒三大定律证明，其运行轨道为平面椭圆轨道。行星运动周期T的平方与其椭圆轨道半长轴a的立方之比为常数开普勒三大定律证明，即
T2 ka3。
关键词：开普勒； 轨道; 时期; 角动量
CLC 分类号：O311.1 文件识别代码：B 文章编号：1009-9115 (2004) 02-0056-02
开普勒第三定律的内容是：行星运动周期T的平方与其椭圆轨道半长轴a的立方之比为常数，即T2=ka3，其中常数k为所有行星都一样。 下面证明该定律。
行星在太阳的影响下沿椭圆轨道运行，行星相对于太阳的角动量保持不变。 因此，行星始终在平面上运动，其轨道是平面椭圆轨道。 假设行星质量为m，其轨道角动量大小为：r
R rsin 博士
L mR sin mRsin mlim
DT TT 0
从图1可以看出：R rsin 等于阴影三角形的面积
在一个运动周期内对方程 (1) 进行积分：ds
sT0
距离2米
(2) 或 T LL2m
这里s ab 是长半轴a、短半轴b的椭圆的面积。
在极坐标系下，椭圆轨道方程为[3]：
得到了S
(3)
1 生态
其中 e
是偏心率，e,P是常数
L2
P; G是万有引力常数，M是太阳质量，E2
GMm 是地球的能量。
当0时，行星与日心之间的距离最小。 行星在椭圆轨道上距离日心最近的点称为近日点。 近日点与日心之间的距离为： rmin
2次（忽略小角区域）。
；在椭圆轨道上行星距日心最远的点是 1 e
p;
1e
设s表示阴影部分的面积，则
R rsin 2 s 所以 L 2mlim
t0
称为远日点，远日点到日心的距离为：rmax
安全数据表 2m tdt
∴
dsL
常数 (1) dt2m