从经典理论来看，我们经常使用坐标和动量来描述系统的运动状态。 同样，我们还讨论能量（哈密尔顿），它决定系统随时间的演化。 事实上，我们也可以说能量描述了系统的运动状态。 例如，能量的大小决定了物体在引力场下的轨道。 椭圆、抛物线或双曲线； 在基本量子力学中，我们经常区分正能量和负能量来讨论势阱下粒子的束缚态或散射态。
根据经典经验，角动量是坐标和动量的延伸。 它还描述了系统的运动状态，即围绕某一点的运动。 角动量守恒通常意味着相对于参考点的表面掠过速度保持不变。 当然，在某些情况下，它也揭示了系统的空间旋转不变性。
总之，我们只是想讨论量子理论中的角动量！
角动量算子
从基本量子力学的角度来看，角动量算子是基于经典关系式完全推广的
hat L = hat r times hat p
进一步考虑坐标算子和动量算子之间的对易关系，得到角动量分量之间的对易关系。 共有三篇，我就写一篇。
[L_x,L_y]=ihbar L_z
请注意，交换关系也是从分析力学的泊松括号中推广而来的。 因此，我没有采用通过空间旋转不变性推导角动量算子的方案，而是基于正则量化方案的逻辑。 当然椭圆轨道角动量守恒吗，还有一些非常直接尖锐的问题：既然坐标和动量不能同时确定，那么角动量怎么得到呢？
即使我们对这个问题视而不见，物理学也不会：坐标和动量的不可交换性仍然被角动量继承，这直接导致了一个不太好的结果：角动量的三个分量不能交换。 这意味着您无法同时确定角动量的三个分量。 从某种意义上说，角动量不是量化后的矢量。
我们无法写出以下角动量算子的特征方程，因为这三个分量没有共同的特征向量
hat L |psi = xi |psi
我们需要找到另一种方法来描述系统的角动量。 幸运的是，我们发现角动量的平方和角动量的各个分量是可交换的，因此它们具有共同的本征态向量。
[L^2,L_z] = 0
也就是说，角动量的平方和某个角动量分量可以写出一个共同的特征方程，这也成为我们分析的起点（这三个分量在某种意义上是等价的，出于习惯椭圆轨道角动量守恒吗，我们选择z方向） 。
hat L^2 |psi = b |psi
hat L_z |psi = c |psi
事实上，如果我们的系统对于空间旋转不变并且角动量是守恒量，那么它们的共同特征向量也将是哈密顿量的特征向量，我们甚至可以添加一个哈密顿特征方程。
hat H |psi= |psi
目前，我们从角动量的描述中可以明显感受到量子理论与经典理论的区别。 对于角动量，在量子框架中，我们只能通过它的平方值和某个分量来描述它，而不是三个权重，不容易接受。
角动量算子的特征值谱
好吧，接下来我们需要从已有的内容开始，得到角动量算子（准确的说是指角动量平方算子和角动量分量算子，角动量算子本身是没有意义的。）对应的特征值谱？
这个分析思路很有趣，因为我们对角动量算子完全不了解。 我们只知道各分量的交换关系和角动量平方算子的定义（以下下标不再添加算子）：
L^2 = L_x^2 + L_y^2 + L_z^2
根据内蕴方程我们知道
(L_x^2 + L_y^2) |psi=(bc^2) |psi
由于这个算子显然是一个正算子，它的特征值应该是非负的，因此存在不等式。 首先记住
c^2 le b
我们知道角动量的平方和它的三个分量之间的关系，我们可以得到一个不等式，这显然是不够的。 我们还需要定义升序和降序算子，或者说，在摆弄角动量算子的过程中，我们无意中发现了这样的关系：
L_z (L_x pm i L_y) =(L_x pm i L_y)(L_z pm hbar)
如果定义算子 L_+ = L_x + i L_y 使其作用于角动量分量的特征向量上，我们会发现得到以下关系
L_z L_+ |psi= (c+hbar) L_+|psi
换句话说，该算子使系统的状态从特征值c对应的特征向量|psi变为特征值c+hbar对应的特征向量L_+|psi，从而导致角动量As z 分量增大，状态向量也变换为相应的本征态，我们称之为上升算子。 同理，还有归约算子。
我们很快发现，角动量平方算子与升、降算子是可交换的，也就是说，升、降算子作用后，其状态向量L_pm |psi仍然是平方算子的特征向量
L^2 L_pm |psi= b L_pm|psi
至此，我们意识到了一件事。 对于平方特征值b来说，它对应一系列分量特征值c，c-hbar，c+hbar，...，并且两个特征值存在不等式。 关系c^2le b，平方特征值b约束分量特征值c的取值范围。 当然，我们认为如果你在边界上应用升序和降序运算符，你将一无所有，因为你已经达到了物理上不可能的状态。 这很容易理解。 分量如何才能大于范数？假设分量特征值的最大值为c_{max}，最小值为c_{min}，则有
L_+ |psi_{b,c_{max}}=0
L_- |psi_{b,c_{min}}=0
将上式左边分别乘以L_-和L_+可得
L_- L_+ |psi_{b,c_{max}}=(b-c_{max}^2-hbar c_{max}) |psi_{b,c_{max}} = 0
L_+ L_- |psi_{b,c_{min}}=(b-c_{min}^2+hbar c_{min}) |psi_{b,c_{min}} = 0
您还可以了解最大值和最小值之间的关系，
b-c_{max}^2-hbar c_{max} = b-c_{min}^2+hbar c_{min} = 0
简化一下就可以了
(c_{max} + c_{min})(c_{max}-c_{min}+hbar)=0
根据这个关系，由于第二个因子明显大于零，我们得到
c_{最大值} = -c_{最小值}
分量特征值的最大值和最小值有正有负，这意味着分量特征值的值是一系列与零值对称的值，间隔为hbar。 最大值和最小值的差值显然是hbar倍的整数倍，我们完全可以用l来标记，也就是说b有2l个值。
-lhbar,(-l+1)hbar, ..., (l-1)hbar, lhbar
然后我们可以进一步代入，得到角动量平方算子的特征值
l(l+1)hbar^2, l =0,1/2,1,...
角动量 z 分量算子的特征值为
mhbar, m=-l,-l+1,...,l-1,l
我们简称为角动量算子的特征值谱。 它表示角动量的平方和分量的可能值，用l和m标记。 前者代表系统角动量的大小，我们称之为角量子数。 后者代表角动量分量的大小。 不同的值可以理解为不同的方向，或者说是外部磁场中角动量的方向，因此被称为磁量子数。
我们还注意到，对于量子化的角动量，某个方向分量永远不可能等于角动量的范数。 当角动量平方l(l+1)hbar^2确定后，最大角动量分量只能是lhbar，且其范数l^2hbar^2总是小于角动量平方，与经典的上向量的部分关系不同。 这也很容易理解，如果其他两个分量为零，就相当于你同时确定了角动量的三个分量，但是交换关系告诉你，你永远无法确定角动量的三个分量。
离散特征值的值告诉我们，量子背景下的角动量，无论是平方值还是分量，都是离散的、量子化的。 这根源于坐标和动量之间的关系。
为了区分不同特征值的特征向量，我们将引入下标来标记不同的角动量本征态。 请记住这个符号的含义。
|psi_{l,m}
另外，可以看到，角动量的特征值谱完全是根据角动量的交换关系得到的，与具体算子的形式和物理意义无关。 也就是说，如果我们也定义某个物理量，那么它的三个分量之间的换向关系与角动量换向关系是一样的，可以得到同样的结论。 这就是自旋角动量的由来。 代表轨道运动的不是传统意义上的角动量，而是系统固有的自由度。 当然，受限于非相对论量子力学，我们目前只能理解自旋。 因此，为了区分这两种角动量，我们分别将它们称为轨道角动量和自旋角动量。 自旋角动量的内参方程与轨道角动量的内参方程相同：
S^2 |psi = s(s+1)hbar^2 |psi
S_z |psi = m_s hbar |psi
