定轴相对性（1）：陀螺漂移 ωd = Md / H 定轴相对性（2）：章动（）现象 当陀螺仪受到冲击力矩时，旋转轴会向原来的空间方位附近移动。 圆锥振荡运动的二自由度陀螺运动方程：从定性到定量的初步分析：坐标系介绍 Ø外、内框架和转子坐标系 Ø任务：描述施加扭矩时陀螺框架角度α、β沿内外框架轴线 方程的变化规律 方法：力矩定理+康奈尔定律 二自由度陀螺运动方程：矢量表示 转子的绝对角速度：所涉及角的分解表示内架坐标系速度： 转子相对于内架的角速度： 转子绝对角速度： 转子动量矩： 二自由度陀螺运动方程： 求导 根据动量矩定理和考蒂尔定律 其中陀螺力矩方向怎么判断，二自由度陀螺运动方程：组合并简化 对于每个坐标分量，分别写出方程 上面称为反常欧几里德拉力动力学方程 实际中对于陀螺仪，一般赤道转动惯量 Jx = Jy 由第三个方程可得 Ø 当陀螺仪工作在稳态时，Mz = 0，因此 Ø 对于前两个方程，角的高阶小分量忽略速度并简化方程 Ø 关于框架角速度和施加力矩方向的二自由度陀螺运动方程：角速度投影 两个角速度之间的关系 Ø 内框架坐标系 xyz 的 ω 等于向量两个欧拉角速度之和 Ø 根据投影 Ø 代入化简方程，得 Ø 展开导数，忽略高阶小量，得到二自由度陀螺运动方程：力矩投影 Ø 变换的扭矩 代入上式，可得 实际β角很小，上式简化为 上式称为陀螺仪技术方程。
二自由度陀螺仪系统模型技术方程（转动惯量和进动矩）的物理意义： 拉普拉斯变换 二自由度陀螺仪技术方程的拉普拉斯变换 当初始条件为全部为零，得到二自由度陀螺仪系统模型： 系统框图 Ø 拉普拉斯变换方程 Ø 重写方程并画出系统框图 Ø 每个力矩同时引起陀螺仪的两个运动，并且陀螺仪扭矩起到耦合作用。 二自由度陀螺系统模型：传递函数 Ø 通过拉格朗日对两个框架角α和β求解变换方程得到 Ø 由此可以得到Mx1和My分别到α和β的四个传递函数Ø 改写分母项固有振荡频率二自由度陀螺仪脉冲响应：输入和输出Ø 冲击扭矩数学模型：脉冲函数，数值极大，时间极短，随时间积分是有限值Ø 代入系统拉普拉斯变换模型： Ø 求解α(s)和β(s)，得到二自由度陀螺脉冲响应：假设响应轨迹为Jx = Jy = Je陀螺力矩方向怎么判断，令ω02 = H2 /(Jx·Jy)。 将部分分数展开，拉普拉斯逆变换为： 可以看出，力矩Mx1使转子轴同时绕内、外框架运动。 等幅、相位差 90 度的振荡。 Ø 消除时间变量，得到轨迹方程：轨迹圆、半径...圆心...频率...二自由度陀螺仪脉冲响应： 计算示例 例：设 Jx = Jy = Je = g·cm·s2, H = 5160 g·cm·s , Mx1 = 36200 g·cm 陀螺仪阶跃响应：输入和输出 如果陀螺仪上的扭矩为常数值，则可以表示为阶跃函数： 当陀螺系统初始条件为零，频域输出响应为： 假设Jx=Jy=Je，令ω02=H/(Jx·Jy)拉普拉斯逆变换，时域响应为： 二阶自由度陀螺阶跃响应：时域响应 动态响应：章动 稳态响应：进动和等效弹簧效应 双自由度陀螺阶次 跳跃响应：平移项后轨迹与两边平方相加将上式代入，得到转子轴的轨迹方程： 摆线：圆周运动（章动）和平动运动（进动）的合成。
说明： 圆周运动线速度： 圆心移动速度： 两个运动合成的结果： 车轮无摩擦滚动 - 进动起主导作用的摆线 二自由度陀螺仪阶跃响应： 计算示例 示例：My = 1 g·cm； H=10000克·厘米·秒； Jx=Jy=Je=4g·cm·s2； 恒定扰动力矩作用时间t=60秒。 陀螺仪漂移率 漂移角 章动幅度 章动频率 Ø 恒定扰动扭矩的原因和影响 二自由度陀螺仪正弦响应：输入和输出 如果施加扭矩的方向不断变化，可以粗略地用一个简单的描述调和函数。 初始条件全部为零。 时，陀螺仪的频域输出响应为： 设 ω02 = H2 / (Jx·Jy)，进行部分分式展开和拉普拉斯逆变换，得到二自由度陀螺仪正弦响应：时域响应章动项迫使简谐振动项 常数项 假设 ωa < ωo ，Jx = Jy = Je，则上述响应表达式可简化为： 二自由度陀螺仪正弦响应：轨迹 可见Mx1使转子轴线同时绕内、外架轴线作受迫振动。 Ø 消除时间变量，得到轨迹方程 Ø 椭圆：长短半轴的判断 Ø 不同类型干扰力矩对陀螺仪精度的影响比较：常数值>正弦>冲击二元响应总结自由度陀螺仪施加的扭矩。 力矩二自由度陀螺仪动态响应（双轴） 动态静态响应（同轴） 等效弹簧静态响应（正交轴） 进动静电陀螺仪 静电陀螺仪概述 静电陀螺仪概述 发展概述 发展概述 结构组成： 概述结构组成：静电陀螺仪概述 框架陀螺：追求精度，三浮结构复杂，成本高 静电陀螺（Gyro）：更彻底支持创新球形转子； 电极球腔静电悬浮； 超高真空 Ø 静电陀螺优点：精度高，真正的自由转子结构，结构简单，可靠性高 Ø 应用：战略武器、火箭 Ø 缺点：工艺复杂 发展概况 发展阶段 Ø 1952年提出 Ø 1970年代初（0/h） Ø 20世纪70年代中期（0/h） Ø 20世纪70年代末进入实际使用。 Ø1995（0/小时）。 Ø2004年10-11斯坦福大学（0/h）。 主要研发机构： Ø20世纪50年代末，美国开始开发。 Ø20世纪60年代末至80年代，法国、英国、前苏联、我国也相继启动了静电陀螺仪的研制。 结构部件：概述 Ø 球形转子 Ø 陶瓷球形空腔 Ø 凹球形电极 高压/小间隙/强电场/悬浮/控制回路稳定 Ø 驱动线圈：转子旋转 Ø 定心线圈：转子轴线对准 Ø 钛离子泵：抽真空 Ø光电传感：读角度振动陀螺 振动陀螺概述 机械陀螺：基于牛顿力学原理 Ø 转子陀螺：三浮式、静电式，制造工艺复杂、成本较高 Ø 振动陀螺： 原理：利用质量高时产生的可丽耐加速度-频率振动由底座旋转。 特点：结构简单、体积小、重量轻、可靠性高、承载能力大、性能稳定、成本低。 发展历程：1940年代-50年代，美国研制出音叉陀螺仪。 Ø 20世纪60年代，美国研制出压电振动陀螺仪（通用型）。 Ø 20世纪70年代后，美国研制出壳谐振陀螺。 电气和微机械：精度较低（战术导弹、车辆、坦克、雷达） 壳谐振陀螺仪：精度较高，达到惯性级别，是光学陀螺仪的竞争对手。
音叉振动陀螺仪的基本原理和结构：利用音叉末端的振动质量（Sonic Prong）在底座带动下旋转时产生的大锅效应来感应角速度。 基本结构： Ø 音叉的两臂为弹性臂， Ø 受激振动时，音叉的两臂作对称弯曲振动。 Ø 端部质量作对称直线振动。 Ø音叉下部通过软轴与底座连接。 光学陀螺仪光学陀螺仪概述1 机械陀螺仪：转子和振动陀螺仪 激光陀螺仪：针对捷联惯性导航的需要 基本原理：作用，工作物质是激光束，全固态陀螺仪 优点：简单结构、性能稳定、动态范围宽、启动快、响应快、过载大、可靠性高、数字输出 开发 1960 年 激光器出现 1963 年第一台样机问世 1970 年代 精度突破，达到惯量水平 1980 年代 初步应用于各个领域 ∎早期发展机构 机构： ∎： 三角形谐振腔，机械抖动 偏置频率： 三角形谐振腔，机械抖动 偏置频率： 四边形谐振腔，机械抖动 偏置频率： 四边形谐振腔，机械抖动 偏置频率： 三角形谐振腔，机械抖动 偏置频率： 三角形谐振腔，机械抖动偏置频率 镜偏置频率：三角谐振腔、磁镜偏置频率 ∎ 国内开发应用现状 国内开发应用现状 ∎ 中后期，中后期开始开发，后期， ∎ 进入实用化，进入实用化 ∎ 应用已达到顶峰 应用已达到顶峰 ∎ 面临问题 面临问题 ∎ 成本较高，体积过大，无法完全适应捷联系统。 成本较高，体积过大，不能完全适应捷联系统的要求。 光学陀螺仪的要求概述2 Ø 光纤陀螺仪：适应捷联系统的需要。 Ø 基本原理：与激光陀螺仪相同，只是使用外部激光源并通过光纤传播。
优点：成本低、体积小、重量轻。 Ø发展： 1970年代 光纤技术发展 1976年犹他瓦里大学设想并论证 1978年麦道公司开发出第一个实用产品 20世纪80年代后，、、、、英国、法国、德国、日本、苏联等国家也展开开发。 Ø国内80年代初，80年代后期原理研究和测试（少数大学），2000年代实质性发展，进入实用阶段Ø精度：国外0/h，国内0/h
